Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9

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1 setor SP Aul 5 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) FUNÇÃO COMPOSTA Sej f um função de A em B e sej g um função de B em C. Chm-se função compost de g com f função h definid de A em C, tl que h(x) = g(f(x)) pr todo x pertencente A. Indicremos esss composição por gof(x). Esquem:. Sej y = f(x) um função definid no intervlo [, ] pelo gráfico: y A B C f g 0 x Exercícios h. Dds s funções em : f(x) = x + e g(x) = x + 5, otenh: ) f(g()) = f() = Clcule: ) f(f()) = f() = ) f(f(f())) = f() = 0 ) g(f()) = g() = 4 c) f(g(x)) = g(x) + = (x + 5) + = x + 6 d) f(f(x)) = f(x) + = (x + ) + = x +. Sendo f(x ) = x, clcule f(5). Temos: x = 5 x = Logo, f(5) = = 9 4. Ddo f(x) = x e f(g(x)) = x, otenh g(x). f(g(x)) = x g(x) = x g(x) = x + g(x) = x + ALFA ANGLO VESTIBULARES

2 Livro Unidde III Cderno de Exercícios Unidde II Tref Complementr Resolv os exercícios, 6 e 8, série 7. Resolv os exercícios 5 e 7, série 7. Tref Mínim Vej o exemplo 4, cp. 8. Resolv o exercício, série 7. Resolv os exercícios e 4, série 7. Aul 6 EXERCÍCIOS. N figur, temos esoços dos gráficos ds funções f e g, dds por f(x) = x e g(x) = x, em que é um constnte. y f. N figur, temos um esoço do gráfico de um função f periódic. Pr todo rel x e pr todo inteiro h, temos f(x + h ) = f(x). f(x) g 0 4 x ) Otenh o vlor d constnte. ) Clcule áre d região somred. ) Como (, ) f, temos f() =, ou sej, = e, portnto, = 0,5. ) III y I II f g x x Como s regiões I e III são equivlentes (sus áres são iguis), podemos concluir que áre d região II + III é igul à áre d região I + II. Ess áre é igul. Ddo que f() =, otenh: ) f(,4) ) f(006) c) f( 006) ) Pr x 4, temos Δy = Δx. Isto é, com 0 Δx, temos f( + Δx) = Δx. Logo, f (,4) = 0,4 ) N divisão euclidin de 006 por, temos quociente 668 e resto. Assim, 006 = e, portnto, f (006) = f ( ) = f() = 0,5 c) º- modo: 006 = + ( 668) f ( 006) = f ( ) = º- modo: N divisão euclidin de 006 por, temos quociente 669 e resto. Assim, 006 = + ( 669) e, portnto, f( 006) = f() = ALFA ANGLO VESTIBULARES

3 Fç os exercícios seguir: Tref Mínim. Otenh os pontos de intersecção d curv y = x x com ret y = x +.. N figur, cd ponto d semi-ret represent um pr ordendo (t, v), com t 0 e v = + 0t. Otenh áre S do trpézio em função de t. v (r) Tref Complementr Fç os exercícios seguir:. Otenh os pontos de intersecção d curv y = x x com práol y = x.. N figur, temos esoços dos gráficos ds funções f e g, dds por f(x) = x 4 e g(x) = x, em que é um constnte. y f g (t, v) S t Otenh o vlor de, sendo que áre d região somred é igul.. Se-se que, pr todo vlor positivo d constnte k, áre d região determind pels rets x = k e y = 0 e práol y = x é igul k. Otenh áre d região determind pel práol y = x e s rets y = 0, x = e x =. x Aul 7 NÚMEROS REAIS: NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS RACIONAIS. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: IN IN = {0,,,, } IN* = {,,, }. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEOS: = {,,,, 0,,,, } * = {,,,,,,, } + = {0,,,, } = {,,,, 0}. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: = e * isto é, um número x é rcionl se, e somente se, existirem números inteiros e, 0, tis que x =. Assim: ) ) 0, = 0 c) 0,666 = OBSERVAÇÃO: A representção deciml de todo número rcionl ou é finit ou é periódic infinit. Exemplos: ) c) 5 = 04, 5 ) d) 4 = 5, 4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Existem dízims infinits não periódics; são os números irrcionis. Como exemplos de números irrcionis, podemos citr: π =, =, 4456 = 0, =, 55 =, , Os números irrcionis não podem ser escritos n form com e inteiros e 0. ALFA ANGLO VESTIBULARES

4 5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: É o conjunto união do conjunto dos números rcionis com o conjunto dos números irrcionis. Exercício O número N = ( + ) + é rcionl ou irrcionl? IN N = N = OBSERVAÇÃO: Indicmos o conjunto dos números irrcionis por. N = (+ ) + = (rcionl) 6. SUBCONJUNTO DE Vejmos lguns suconjuntos de : * = {x x 0} + = {x x 0} + * = {x x 0} = {x x 0} * = {x x 0} 7. OBSERVAÇÕES ) Número pr Todo número d form n com n é chmdo número pr. O conjunto dos números pres é {, 6, 4,, 0,, 4, 6, } ) Número ímpr Todo número d form n + com n é chmdo número ímpr. O conjunto dos números ímpres é {, 5,,,,, 5, } c) Números opostos (simétricos) Dois números são chmdos opostos (ou simétricos) se som deles é zero. Assim, os números e são opostos, pois + ( ) = 0. Exemplo: 5 e 5 d) Números inversos (recíprocos) Dois números são chmdos inversos (ou recíprocos) se o produto deles é. Assim, os números ( 0) e inversos, pois = Exemplo: 5 e 5 são Livro Unidde III Lei os itens 5, cp,. Resolv os exercícios seguir:. Quntos elementos tem o conjunto A = { x x 0 }? ) 4 d) 7 ) 5 e) 8 c) 6. Ache dois números pres e consecutivos sendo que o doro do menor mis o mior dá resultdo 56.. Ache três números ímpres e consecutivos cuj som sej. Resolv os exercícios seguir: Tref Mínim Tref Complementr. (FUVEST) Quisquer que sejm o rcionl x e o irrcionl y, pode-se dizer que: ) x y é irrcionl. ) x y é rcionl. c) y é irrcionl. d) x + y é rcionl. e) x + y é irrcionl.. (MACK-SP) Se, e c são números nturis não nulos tis que c = 5 e + c = 60, os possíveis vlores de c são em número de ) d) 5 ) e) 6 c) 4 ALFA ANGLO VESTIBULARES

5 Aul 8 NÚMEROS REAIS: EXERCÍCIOS Sendo e,, números reis, definiremos os seguintes conjuntos chmdos de intervlos: ) [, ] = {x x } ) ], [ = {x x } c) [, [ = {x x } d) ], ] = {x x } e) [, + [ = {x x } f) ], + [ = {x x } g) ], ] = {x x } h) ], [ = {x x } Exercícios. Escrever n form com e inteiros: ) 0, 0x =, x = 0, 9x = x = ) 5,888 0x = 58,888 x = 5,888 9x = 5 x = 5 9 c),555 00x = 5,555 x =,555 99x = 48 x = x =. Ddos A = [, 5] e B = ], 7[, oter: ) A B ) A B A B logo, ) A B = ], 5] ) A B = [, 7[ ALFA ANGLO VESTIBULARES

6 Livro Unidde III Resolv os exercícios seguir:. Escrev n form, com e inteiros e 0, os seguintes números: ) 0, ) 0, c) 0,888 d) 0, e), Qul é o milésimo lgrismo d prte periódic d dízim gerd por 5 7? Tref Mínim Resolv os exercícios seguir:. Clssificr os seguintes números em rc. (rcionl) ou irrc. (irrcionl): ),46 ) π c) d) 4 8 Tref Complementr e) f),. Sendo A = [, [ e B = [, 5[, otenh: ) A B ) A B Aul 9 NÚMEROS COMPLEXOS INTRODUÇÃO PRODUTOS NOTÁVEIS ( + ) = + + ( ) = + ( + ) = ( ) = + = ( )( + ) + = ( i)( + i) = ( )( + + ) + = ( + )( + ) A equção x = possui dus soluções reis e distints, os números e. Temos que = e ( ) =. A equção x = possui dus soluções não reis e distints, os números i e i Temos que i = e ( i) =. O número i é chmdo de unidde imginári. O conjunto de todos os números d form + i, com e reis, é o conjunto dos números complexos e será indicdo por. Sendo z = + i, com e reis, dizemos que: é prte rel de z é prte imginári de z Oserve que z é um número rel se, e somente se, = 0. Os números complexos não reis são chmdos de números imginários. Em prticulr, os números d form i, com *, são chmdos de números imginários puros. Exercícios. Resolver em s equções ) x = 4 ) x = 4 x = 4 ( ) x = 4 i x = (i) x = ± i Respost: {i, i} ) x x + = 0 ) x x + = 0 = ( ) 4 () () = 4 8 = 4 = 4i ± i = Respost: { + i, i} ALFA ANGLO VESTIBULARES

7 . Oter s soluções não reis d equção x = 8. x 8 = 0 x = 0 (x ) (x + x + 4) = 0 x = 0 x = x + x + 4 = 0 = 4 4 () (4) = 4 6 = = i x = ±i Livro Unidde IV Cderno de Exercícios Unidde III Tref Mínim Lei os itens 5, cp.. Fç o exercício (,, c, d), série. Tref Complementr Fç o exercício (e, f, g, h), série. Respost: + i e i Aul 0 NÚMEROS COMPLEXOS IGUALDADE E CONJUGADO IGUALDADE DE COMPLEXOS Sendo,, c e d números reis, temos que = c + i = c + di = d Exercícios. Oter os reis x e y tis que: ) x + + (y 4)i = 5 + 7i ) x + y + (x y)i = 4 i ) x + = 5 e y 4 = 7 Respost: x =, y = x + y = 4 () ) x y = () Somndo memro memro, temos x = x = Sustituindo em () temos y = y = Respost: x =, y =. Oter todos os pres ordendos (x, y), com x e y, de modo que x y + (y )i = 4 x y + (y ) i = 4 + 0i x y = 4 () y = 0 () De () temos: y = Sustituindo em (): x = 4 x = 5 x = ± 5 Respost: ( 5, ) e ( 5, ) ALFA ANGLO VESTIBULARES

8 CONJUGADO COMPLEXO Ddo o número complexo z = + i, com e reis, chmse de conjugdo complexo de z o número z = i Exemplos z = + i z = i z = 5 i z = 5 + i z = 4i z = 4i z = 0 z = 0 Exercício. Resolver em : z + i z = 7 + 8i Sendo z = + i, com e reis, segue que ( + i) + i ( i) = 7 + 8i + i + i i = 7 + 8i + i + i + = 7 + 8i ( + ) + ( + ) i = 7 + 8i + = 7 + = = 4 = 8 + = 6 = + = 8 + = 8 = 6 = Logo, z = + i Respost: { + i} Livro Unidde IV Cderno de Exercícios Unidde III Tref Mínim Lei o item 7, cp.. Fç o exercício, série. Fç o exercício (,, c), série. Tref Complementr Fç o exercício 8, série. Fç o exercício (d, e), série. ALFA ANGLO VESTIBULARES

9 Aul NÚMEROS COMPLEXOS: DIVISÃO E POTÊNCIAS NATURAIS DA UNIDADE Exercícios. Otenh form lgéric de: ) + i ) + 4i + i 4 i ) = + 4 i 4 i 6 8 i + i 44 i = 9 6 i (6 + 44) + ( 8) i = i 5 Respost: + i i + i ) = i + i i + 4 i + 4 i = i (6 4) + (6 + 4) i = i Respost: + 5 i. Simplificr ) i i ) i c) i i i = i d) i 4 i i = 6 + 4i i e) i 5 i 4 i = i f) i 6 i 4 i = g) i 7 i 4 i = i h) i 8 i 4 i 4 =. Sej n um número inteiro e sej r o resto d divisão de n por 4. Mostre que i n = i r. demonstrção n = 4q + r, onde q é o quociente d divisão de n por 4. i n = i 4q + r = i 4q i r = (i 4 ) q i r = () q i r = i r = i r (c. q. d) 4. Simplificr ) i 996 ) ( + i) 96 ) i 996 = i 0 Respost: ) ( + i) 96 = [( + i) ] 48 = (i) 48 = 48 i 48 = 48 i 0 Respost: 48 ALFA ANGLO VESTIBULARES

10 Livro Unidde IV Cderno de Exercícios Unidde III Tref Complementr Fç o exercício 6(d, e), série. Fç os exercícios 5 e 7, série. Tref Mínim Lei o item 6, cp.. Fç o exercício 6(,, c), série. Fç o exercício 4, série. Aul NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS, MÓDULO Até este ponto, usmos, pr representr um número complexo expressão + i, em que e são números reis e i é unidde imginári. Com,, c e d reis, temos que: + i = c + di = c e = d ( + i) + (c + di) = ( + c) + ( + d)i ( + i) (c + di) = (c d) + (d + c)i Podemos representr cd número complexo simplesmente por um pr ordendo (, ), com e reis. Assim, temos, por exemplo: + 4i = (, 4) 4 + i = (4, ) i = (, 0) i = (0, ) Desse modo, o conjunto dos números complexos pode ser descrito como sendo um conjunto de pres ordendos de números reis, tis que: (, ) = (c, d) = c e = d (, ) + (c, d) = ( + c, + d) (, ) (c, d) = (c d, d + c) O plno de Argnd-Guss é um representção gráfic do conjunto ; nele, cd número complexo (, ), ou sej + i, com e reis, é representdo pelo ponto P de sciss e ordend. O ponto P é chmdo de fixo do número complexo. P Ddo o complexo z = + i, com e reis, chmmos de módulo de z o número rel não negtivo z = +. Note que, no plno de Argnd-Guss, o módulo de z é à distânci d origem seu fixo. Proprieddes Pr quisquer números complexos z e w, temos z 0 z = z z z w = z w z w z = w (w 0) z + w z + w z w z w z P ALFA ANGLO VESTIBULARES

11 Exercícios. Sejm z = + 4i e w = iz. Represente z e w no plno de Argnd-Guss e clcule z, w e z + w.. Represente, no plno de Argnd-Guss, o conjunto {z : z = z + i} 4 (Z) (W) 4 w = i( + 4i) w = 4 + i z = + 4 = 5 w = ( 4) + = 5 z + w = ( + 4i) + ( 4 + i) z + w = + 7i z + w = ( ) + 7 = 50 z + w = 5 Note que z + w z + w Sendo z = x + yi, com x e y reis, temos: x + yi = x yi + i yi = i y = Livro Unidde IV (Cp. ) Cderno de Exercícios Unidde III Fç o exercício 9, série. Tref Mínim Tref Complementr Fç os exercícios 5 8, série. Aul NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA, OPERAÇÕES Ddo o complexo não nulo z = + i, com e reis, chmmos de rgumento de z o número rel θ, 0 θ π, tl que cos θ = e sen θ =, com ρ = z ρ ρ Do item nterior, temos = ρ cos θ e = ρ sen θ. Logo, + i = ρ cos θ + i ρ sen θ. Assim, nesss condições, temos que, todo complexo não nulo z = + i pode ser representdo pel expressão ρ(cosθ + i senθ), em que ρ e θ são, ness ordem, o módulo e o rgumento de z. Ess representção é chmd de form trigonométric (ou form polr) de z. θ ρ ALFA ANGLO VESTIBULARES

12 Exercícios. Otenh form trigonométric de cd um dos complexos seguir: ) z = + i π/4. Sendo α e β números reis, mostre que (cos α + isen α)(cos β + isen β) = cos(α + β) + isen(α + β) (cos α + i sen α)(cos β + i sen β) = = cos α cos β + i cos α sen β + + i sen α cos β + i sen α sen β = cos α cos β sen α sen β + + i(sen α cos β + sen β cos α) = cos(α + β) + i sen (α + β) π z = cos + i sen 4 π 4 ) z = + i π/ π z = cos + isen π c) z = i Livro Unidde IV (Cp. ) Cderno de Exercícios Unidde III z = z = cos π + i sen π Fç o exercício, série. Tref Mínim Tref Complementr Fç o exercício, série. ALFA ANGLO VESTIBULARES

13 Aul 4 NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA OPERAÇÕES Ddos, pels sus forms trigonométrics, os números complexos z = r(cos α + i sen α) e w = s(cos β + i sen β), temos: z w = r s[(cos(α + β) + i sen(α + β)] z r = w s [cos(α β) + i sen(α β)] z n = r n [cos(n α) + i sen(n α)], com n z c) = [cos(45º 5º) + i sen(45º 5º)] w = (cos 0º + i sen 0º) = + i = + i Sendo z = r e w = s, temos: z w = r s = z w z w r z = = s w z n = r n = z n Tmém são importntes s proprieddes: z z = z z + w z + w Exercícios. Ddo que z = (cos45º + i sen45º) e que w = cos5º + i sen5º, otenh form lgéric de: ) z w ) z z c) w. Sendo z = + i, determine: ) o módulo de z 0. ) o menor inteiro positivo n, tl que z n sej um número rel. ) z = ( ) + z = z 0 = 0 z 0 = z 0 = 04 ) z = (cos 0º + i sen 0º) z n = n [cos (n 0º) + i sen (n 0º)] z n sen(n 0º) = 0 Nesss condições, o menor vlor inteiro positivo de n é 6. ) z w = [cos(45º + 5º) + i sen(45º + 5º)] = (cos 60º + i sen 60º) = + i = + i ) z = [cos( 45º) + i sen( 45º)] = 8(cos 5º + i sen 5º) = 8 + i = 4 + 4i ALFA ANGLO VESTIBULARES

14 LEITURA COMPLEMENTAR Consideremos s equções, n incógnit z, d form z n = k, em que n é um constnte inteir positiv e k é um constnte complex não nul. Como, por exemplo, z = 8i e z 5 =. Sendo ρ(cos θ + i sen θ) form trigonométric de k, podemos resolver esss equções do seguinte modo: Como k não é nulo, podemos concluir que z 0 e, portnto, z tmém tem um form trigonométric. Suponhmos então que z = r(cos α + i sen α). De z n = k, temos [r(cos α + i sen α)] n = ρ(cos θ + i sen θ) r n [cos(nα) + i sen(nα)] = ρ(cos θ + i sen θ) Ess iguldde ocorre se, e somente se r n = ρ, cos(nα) = cos θ e sen(nα) = sen θ. Devemos ter r = n ρ e nα = θ + hπ, ou sej, α θ = + h π, com h. n n Note que com h n, temos α π e, com h 0, temos α 0, pois 0 θ π. Assim, 0 h n. Oservções importntes Ns condições nteriores, considerndo equção z n = ρ(cos θ + i sen θ), temos: há extmente n rízes distints; n tods s rízes tem módulo igul ρ ; os fixos ds n rízes pertencem à circunferênci λ, de n rio ρ e centro (0, 0); os rgumentos ds rízes, tomdos em ordem crescente, θ π formm um PA de primeiro termo e rzão ; n n os fixos ds rízes dividem circunferênci λ em n prtes iguis. π n Os fixos ds rízes cúics de 8i: 8i Resumindo, de z n = ρ(cos θ + i sen θ), temos z = r(cos α + i sen α), com r = n ρ e α θ = + h π n n, h {0,,,..., n } + i + i Exemplo: De z = 8i, temos: [r(cos α + i sen α)] π π = 8(cos + i sen ) r π π [cos(α) + i sen(α)] = 8(cos + i sen ) r π = 8 e α = + h π, h {0,, } e α = π r = 8 + h π, h {0,, } 6 π 5π π r = e α {,, } 6 6 π π Logo, z = (cos + i sen ), ou 6 6 5π 5π z = (cos + i sen ), ou 6 6 π π z = (cos + i sen ). N form lgéric, temos: z = + i, ou z = + i, ou z = i Esses três números são chmdos de rízes cúics de 8i. Exercício Resolvido Represente no plno de Argnd-Guss s rízes quints d unidde imginári. z 5 = i [r(cos α + isen α)] 5 = (cos90º + isen90º) r 5 = r = 5 α = 90º + h 60º α = 8º + h 7º, h {0,,,, 4} Z Z i Z Z 4 Z 0 ALFA ANGLO VESTIBULARES

15 z 0, z, z, z e z 4 São s rízes d equção z 5 = i z 0 = cos8º + isen8º z = cos90º + isen90º = i z = cos6º + isen6º z = cos4º + isen4º z 4 = cos06º + isen06º Fç o exercício, série. Fç os exercícios 9 e 0, série. Aul 6. (, ) e (, 0). t + 5t Aul 7. C. 8 e 0. 5, 7 e 9 Livro Unidde IV (Cp. ) Cderno de Exercícios Unidde III Tref Mínim Tref Complementr Resposts ds Trefs Mínims Aul 8. ) ) c) d) e). 8 Aul 6. (0, 0), (, 4) e (, ).. Resposts ds Trefs Complementres 4 7 Aul 7. E. B Aul ) rc ) irrc c) rc d) irrc e) irrc f) rc. ) [, 5[ ) [, + [ ALFA ANGLO VESTIBULARES