Comprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2

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1 Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo Pr um curv lis por prtes definição do comprimento é mesm, plicd cd um dos subintervlos onde curv é lis. Exemplo 2 Pr cúspide temos e : : { x(t) 3t 2 y(t) 2t 3 1 t 1 { x(t) 6t y(t) 6t 2 1 t 1 v (t) 36t t 4 6 t 1 + t Exemplos, cont. Introdução ontinução do Exemplo 2 L() t 1 + t 2 dt 6( t) 1 + t 2 dt + 3 u du ( 8 1) u du 6 6t 1 + t 2 dt 2 1 u du Um cmpo de forçs F (x, y) P(x, y) ı + Q(x, y) j é um grndez vetoril, que vmos considerr gindo sobre um prtícul que se move segundo um equção horári (t) (x(t), y(t)), t [, b]. A forç F pode ser vist como tx de trnsferênci (de energi) por deslocmento. Ou sej, um forç tem propriedde de mudr o movimento d prtícul. Diz-se que um forç reliz trblho se, qundo gindo num corpo, existe um deslocmento do ponto de plicção n mesm direção d forç. Assim, num ddo instnte t, tx de vrição do trblho em relção o tempo é medid pelo produto esclr d forç e do vetor velocidde (direção) do movimento, no ponto plicdo. 3 4

2 Logo o trblho será τ F v dt Introdução, cont. d r F dt dt r A potênci é tx de vrição do trblho em relção o tempo. A potênci e o trblho são grndezs esclres. onceitulmente potênci requer um mudnç no universo físico e um intervlo de tempo no qul mudnç ocorre. Já o trblho é um conceito que somente mede mudnç totl no universo físico. A mesm quntidde de trblho é necessári pr mover um prtícul de um ponto A té um ponto B num certo cminho, independendo se el se move rpidmente ou devgr. No entnto é necessário mis potênci se o movimento tiver de ser rápido. Definição 3 Sej um curv lis em R 3, x x(t) : y y(t) z z(t) t [, b]. Sej F um cmpo vetoril contínuo sobre o trço de, com expressão em coordends F (x, y, z) P(x, y, z) ı + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k. 5 6 cont. Definição Então integrl de linh do cmpo F o longo d curv, que se denot por r, é definid pel seguinte integrl de Riemnn b F d r F ( r (t)) v (t) dt [P(x, y, z) x (t) + Q(x, y, z) y (t) + R(x, y, z) z (t)] dt, onde (x, y, z) (x(t), y(t), z(t)). A integrl de linh de um cmpo sobre um curv lis por prtes se define d mneir usul: F d r 1 F d r + 2 F d r + + F d r, onde i é k lis. 7 Exemplos Exemplo 4 Sej F (x, y, z) x ı + y j + z k. lcule integrl de linh de F o longo d hélice : x(t) cos t y(t) sen t z(t) t t [0, 2π]. Exemplo 5 Sej F (x, y) x 2 y ı + j. lcule integrl de linh de F o longo d cúspide x(t) 3t 2 : t [ 1, 1]. y(t) 2t 3 8

3 Notção Se (t) (x(t), y(t), z(t)) e F (x, y, z) P(x, y, z) ı + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, denotmos integrl de linh F o longo de por Lembrndo que podemos usr notção dx x (t)dt dy y (t)dt dz z (t)dt então d r dx ı + dy j + dz k e integrl de linh pode ser denotd por r Pdx + Qdy + Rdz onde entendemos r como o produto esclr. 9 uiddo! É comum ver lguns estudntes clculndo o termo d direit n iguldde r Pdx + Qdy + Rdz como integrl em x, y e z. Embor integrl de linh sobre segmentos de ret n direção de x, y ou z cbem sendo numericmente iguis, pelo menos nquel direção, isso não funcion pr curvs que não são formds por segmentos de ret. E conceitulmente está incorreto, menos que, por exemplo, você trblhe com prmetrizção de em termos de x e trnsforme tudo em função de x. Ficmos com x, y p(x) e z q(x). E teremos dx, dy p (x)dx e dz q (x)dx. Exemplo 6 lcule xy dx + (x y) dy, onde consiste dos segmentos de ret de (0, 0) (2, 0) e de (2, 0) (3, 2). 10 urv Invers Definição 7 Sej : [, b] R 3 um curv lis e sej curv com mesmo trço de, ms percorrido no sentido inverso. A curv é curv percorrid no sentido inverso de, ou curv invers de. Assim, seus pontos inicil e finl são respectivmente os pontos finl e inicil de. É sempre possivel prmetrizr por (u) (α(u)), onde α(u) + b u. omo os vetores tngentes de e são opostos teremos que r F d Independênci d prmentrizção É possível demonstrr que integrl de linh r não depende d prmetrizção de utilizd, desde que não se invert su orientção. Tmbém é possível provr que pr dus prmetrizções distints e, de um mesm curv com trço, que têm mesm orientção, existe um função α(u) tl que (u) (α(u)). A curv é chmd de reprmetrizção de

4 Notção Exemplo omo integrl de linh independe d prmetrizção utilizd (desde que mntid orientção), podemos definir r F d r, onde é o trço de um curv lis simples munido de um sentido de percurso e é qulquer curv lis simples com trço, cuj orientção corresponde o sentido de percurso de. Exemplo 8 Sej intersecção do cilindro x 2 + y 2 1 com o semiplno x + z 0, x 0, percorrid de modo que su projeção no plno 0xy tenh sentido nti-horário. Sej F (x, y, z) x 2 ı + y 2 j + z 2 k. lcule F d Definição 9 Sej um curv lis em R 3, (t) (x(t), y(t), z(t)) e ϕ ϕ(x, y, z) um cmpo esclr contínuo definido sobre o trço de. A integrl de linh de ϕ o longo de, em relção o comprimento de rco, que se denot por ϕ ds, é definid pel integrl de Riemnn ϕ ds ϕ(x(t), y(t), z(t)) v (t) dt, onde entendemos notção ds v (t) dt. Sej ϕ 1. Definimos nteriormente L() onde é um curv lis por prtes. Logo, L() v (t) dt v (t) dt, 1 ds Proprieddes ds. Definimos integrl de linh sobre um curv lis por prtes d mneir usul

5 Proprieddes, cont. Exemplo As integris de linh de cmpo esclr tmbém são independentes d prmentrizção escolhid. Mis ind, els são independentes d orientção d curv. Assim, se R 3 é o trço de um curv lis simples, podemos definir ϕ ds ϕ ds, onde é um curv lis simples qulquer, de trço. Exemplo 10 Sej intersecção do cilindro prbólico y x 2 com prte do plno z x tl que 0 x 1. lcule ϕ ds, onde ϕ(x, y, z) x. Exemplo 11 lcule (x + y) ds, onde é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1) omponente tngencil de cmpo vetoril Dd um curv e um cmpo vetoril F, podemos considerr função (ou cmpo esclr) ϕ, definid o longo de ϕ(t) F (x(t), y(t), z(t)) T (t), omponente tngencil de cmpo vetoril, cont. Então temos ϕ ds ϕ(t) v (t) dt ( F (x(t), y(t), z(t)) T (t)) v (t) dt onde v (t) T (t), é o vetor tngente unitário de. v (t) Assim definid, ϕ é componente de F o longo de, isto é, é o módulo d projeção de F sobre T. 19 ( F (x(t), y(t), z(t)) F (x(t), y(t), z(t)) v (t) dt v (t) v (t) ) v (t) dt 20

6 omponente tngencil de cmpo vetoril, cont. Ou sej, integrl de linh do cmpo vetoril F o longo de é integrl de linh em relção o comprimento de rco d componente tngencil de F. 21