Integrais em curvas e superfícies

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1 Análise Mtemátic III Integris em curvs e superfícies Mnuel Guerr onteúdo 1 Integris em curvs omprimento de um curv urvs prmetrizds pelo seu comprimento Integrl de um função rel o longo de um curv Integrl de um cmpo vectoril o longo de um curv Integris em superfícies Produto externo Áre de um superfície Integrl de um função rel sobre um superfície Integrl de um cmpo vectoril sobre um superfície Bibliogrfi 18 Índice remissivo 19 1

2 Este texto é um breve introdução os integris definidos sobre curvs e superfícies. Os integris de funções reis sobre curvs e superfícies são, respectivmente, nálogos os integris de funções reis com domínio num intervlo de R ou num região de R 2. Além deste tipo de integris definem-se tmbém integris de cmpos vectoriis sobre curvs e superfícies, cuj definição tem em cont o fcto de curvs e superfícies serem subconjuntos de espços de mior dimensão. 1 Integris em curvs 1.1 omprimento de um curv onsidere-se um curv poligonl i.e., um curv compost pelos segmentos de rect que unem sequencilmente os ponto, 1, 2,..., m R n ). Então, o comprimento de cd um dos segmentos de rect que compõem est curv é Logo, o comprimento totl é L i i i 1, i 1, 2,..., m. L m i i 1. O comprimento de um curv simples não poligonl) pode ser proximdo escolhendo um número finito de pontos o longo d curv e clculndo o comprimento d curv poligonl que pss por esses pontos. Est idei é formlizd n seguinte definição. efinição 1 onsidere-se um curv simples possivelmente fechd),, e sej γ : [, b], um prmetrizção de. O comprimento de é definido por { m } L sup γ t i ) γ t i 1 ) : t < t 1 < t 2 <... < t m b, m N. O luno interessdo é conviddo verificr que se for um segmento de rect, então L γ b) γ ). Em consequênci, efinição 1 verific propriedde segundo qul um segmento de rect é curv mis curt que une dois pontos. No cso de um curv de clsse 1 o seu comprimento pode ser clculdo trvés de um integrl, nos termos do seguinte Teorem. Teorem 2 onsidere-se um curv simples de clsse 1 γ : [, b], um prmetrizção de de clsse 1. Então possivelmente fechd),, e sej L b γ t) dt. emonstrção. onsidere-se um prtição do intervlo [, b], P { t < t 1 < t 2 <... < t m b}. Qulquer prtição P { t < t 1 < t 2 <... < t k b } que stisfç P P, verific m γ t i ) γ t i 1 ) k γ t ) ) i γ t i 1. 2

3 Então, tendo em cont que γ é contínu, podemos considerr pens prtições que verificm γ t) γ t i ) ε, t [t i 1, t i ], i 1, 2,..., m, em que ε > é um constnte rbitrrimente pequen. Então, m m ti γ t i ) γ t i 1 ) γ t) dt t i 1. Ms Além disso, Logo, m γ t i ) γ t i 1 ) m γ t i ) γ t i 1 ) ti t i 1 γ t i ) dt t i t i 1 γ t) γ t i ) dt t i t i 1 γ t) dt t i t i 1 γ t i ) dt + t i t i 1 γ t) γ t i ) dt. ti ti γ t) γ t i ) dt t i 1 γ t) γ t i ) dt ε t i t i 1 ). t i 1 m γ t i ) t i t i 1 ) + ε t i t i 1 )) U γ, P ) + ε b ) ; m γ t i ) t i t i 1 ) ε t i t i 1 )) L γ, P ) ε b ). Tomndo prtições rbitrrimente fins, conclui-se que b γ t) dt ε b ) L b γ t) dt + ε b ). Tendo em cont que ε pode ser tomdo rbitrrimente pequeno, isto prov o Teorem. Exemplo 3 lculr o comprimento d curv {e t cos t, e t sin t), t [, π]}. Fzendo γ t) e t cos t, e t sin t ), t [, π], obtém-se L π π e t cos t sin t), e t cos t + sin t) ) dt e 2t cos t sin t) 2 + cos t + sin t) 2) dt π 2e t dt 2 e π 1). Observção 4 Exminndo demonstrção do Teorem 2, verific-se que condição γ t) contid n hipótese de γ ser um prmetrizção de clsse 1 ) não é usd em nenhum psso do rciocínio. As únics hipóteses usds n demonstrção são o fcto de γ ser um prmetrizção um bijecção de um intervlo sobre curv) e ser um função de clsse 1. onclui-se que ests são hipóteses suficientes pr grntir que L b γ t) dt. A efinição 1 pode plicr-se curvs seccionlmente de clsse 1. Pr isso, bst somr o comprimento dos vários segmentos simples que constituem. 3

4 1.2 urvs prmetrizds pelo seu comprimento Sej R n, um curv que dmite um prmetrizção de clsse 1, γ : [, b]. onsidere-se função L γ : [, b] [, + [, definid por L γ t) t γ s) ds, que fz corresponder cd t [, b] o comprimento do segmento {γ s) : s [, t]}. efinição 5 Sej um curv de clsse 1. iz-se que um prmetrizção γ : [, L ] prmetriz pelo seu comprimento se L γ t) t, t [, L ] i.e., o comprimento de cd segmento {γ s) : s [, t]} é igul t). Proposição 6 Qulquer curv de clsse k k N { }) dmite um prmetrizção pelo seu comprimento que é um prmetrizção de clsse k. emonstrção. onsidere-se um curv,, com um prmetrizção de clsse k, γ : [, b]. Então, função comprimento, tem derivd L γ t) t γ s) ds L γ t) γ t) >. Logo, L γ é um função de clsse k e dmite invers de clsse k, L 1 γ η t) γ L 1 γ t) é um bijecção de clsse k de [, L ] sobre. Além disso, η t) γ L 1 γ t) ) L 1 γ ) γ L 1 t) γ t) ) γ L 1 γ t) ). : [, L ] [, b]. A plicção Isto prov que η t) 1, t [, L ]. Logo, η é um prmetrizção de clsse k. Além disso L η t) t η s) ds t 1 ds t, t [, L ]. Exemplo 7 Prmetrizr pelo seu comprimento curv { e t cos t, e t sin t ), t [, π] }. Fzendo obtém-se ver Exemplo 3) γ t) e t cos t, e t sin t ), t [, π], L γ t) t 2e s ds 2 e t 1 ). 4

5 Resolvendo equção 2 e t 1) s, obtemos função invers, ) s L 1 γ s) log Então, um prmetrizção de pelo seu comprimento é ) )) ) ))) s s s s η s) cos log 2 + 1, sin log Integrl de um função rel o longo de um curv O integrl de um função rel o longo de um curv é definido nos seguintes termos: efinição 8 onsidere-se um curv de clsse 1,, e um função contínu, f : R. hm-se integrl de f o longo de o integrl f ds Note-se que no cso prticulr f 1, iguldde 1) reduz-se L 1 ds. b Exemplo 9 lculr o integrl f ds, em que onsiderndo prmetrizção de, obtém-se f ds f γ t)) γ t) dt. 1) f x, y) x 3 + y, { 3t, t 3) : t [, 1] }. 1 γ t) 3t, t 3), t [, 1], 3t) 3 + t 3) t 2 ) 2 dt 14 [ 1 + t 4 ) 3 2 ] t1 t ) t t 4 dt A seguinte Proposição mostr que escolh d prmetrizção utilizd n efinição 8 fect pens o sinl do integrl, sem lterr o vlor bsoluto. Proposição 1 onsidere-se um curv de clsse 1,, e um função contínu, f : R. ds dus prmetrizções de clsse 1, γ : [, b], γ 2 : [c, d], verific-se b f γ t)) γ t) dt ± d c f η t)) η t) dt. emonstrção. Tendo em cont que γ e η são mbs prmetrizções de, existe um bijecção de clsse 1, α : [, b] [c, d], tl que γ t) η α t). Então, b f γ t)) γ t) dt b f η α t)) η α t)) α t) dt b f η α t)) η α t)) α t) dt. 5

6 Aplicndo mudnç de coordends u α t), est iguldde reduz-se b f γ t)) γ t) dt ± d c f η u)) η u) du, em que o sinl + corresponde o cso em que α ) c, α b) d, e o sinl corresponde o cso em que α ) d, α b) c. A Proposição 1 mostr que s prmetrizções de um curv podem ser clssificds de cordo com o sinl do integrl 1). Prmetrizções que dão origem um integris com o mesmo sinl são prmetrizções que percorrem curv no mesmo sentido. Prmetrizções que dão origem integris com sinis opostos percorrem curv em sentidos opostos. Este fcto dá origem à seguinte definição. efinição 11 Um curv R n munid de um prmetrizção γ : [, b] concret), chmse um curv orientd. Nesse cso, o integrl em ordem o comprimento é sempre entendido como o integrl com o sinl ddo por b f γ t)) γ t) dt. iz-se que um prmetrizção η : [c, d] preserv orientção dd por γ se os integris b f γ t)) γ t) dt, d tiverem o mesmo sinl qulquer que sej f : R, contínu. c f η t)) η t) dt urvs simples fechds contids no plno R 2 têm um orientção nturl : efinição 12 onsidere-se um conjunto berto não vzio, A R 2, cuj fronteir sej um curv simples fechd. iz-se que um prmetrizção confere orientção positiv f r A) se percorre fr A) no sentido que deix o conjunto A do ldo esquerdo d curv. Nesse cso, diz-se que curv A A Figur 1: f r A) percorrid no sentido directo esquerd) e no sentido retrógrdo direit) é percorrid no sentido directo. so contrário curv é percorrid no sentido retrógrdo. onsidere-se um conjunto berto não vzio, A R 2, cuj fronteir sej união de um número finito de curvs simples fechds que não se intersectm. Slvo indicção explícit em contrário, consider-se sempre que s curvs que compõem fronteir de A são orientds por prmetrizções que s percorrem no sentido que deix o conjunto A do ldo esquerdo d curv. Nesse cso diz-se que fronteir de A tem orientção hbitul. 6

7 Exemplo 13 onsidere-se o conjunto A { x, y) R 2 : 1 < x 2 + y 2 < 4 } A fronteir de A é união ds circunferêncis 1 { x, y) R 2 : x 2 + y 2 4 }, 2 { x, y) R 2 : x 2 + y 2 1 }. A orientção hbitul d fronteir de A é dd pels prmetrizções γ 1 t) 2 cos t, 2 sin t), t [, 2π] ; γ 2 t) cos t), sin t)), t [, 2π]. γ 1 percorre 1 no sentido directo, γ 2 percorre 2 no sentido retrógrdo. Exemplo 14 lculr f ds, em que f x, y) x2 + y 2 e é fronteir do qudrdo [, 1] [, 1]. A orientção hbitul d fronteir do qudrdo é dd pel prmetrizção t, ), t [, 1] ; 1, t 1), t [1, 2] ; γ t) 3 t, 1), t [2, 3] ;, 4 t), t [3, 4]. Então, γ é um prmetrizção seccionlmente de clsse e verific γ t) 1, y ], 1[ ]1, 2[ ]2, 3[ ]3, 4[. Logo, f ds 1 [ t 3 3 t 2 + 2) dt + 2 ] 1 + [ t + 1 t 1) t 1) 2) dt + ] [ t 3 2 ] 3 3 t) [ 3 t) ) dt + ] 4 4 t) t) 2) dt 1.4 Integrl de um cmpo vectoril o longo de um curv O integrl de um cmpo vectoril o longo de um curv é o número rel definido nos seguintes termos: efinição 15 onsidere-se um curv de clsse 1, R n, orientd por um prmetrizção de clsse 1, γ : [, b]. Sej F : R n, um função contínu. hm-se integrl de F o longo de o integrl b F ds F γ t)) γ t) dt. Notção 16 O integrl F ds tmbém se indic com notção F ds F 1 x) dx 1 + F 2 x) dx F n x) dx n. Por exemplo, expressão ydx xdy represent o integrl F ds, em que F x, y) y, x). 7

8 Exemplo 17 lculr o integrl ydx xdy, em que é circunferênci de rio 1 e centro n origem. Um prmetrizção que confere à circunferênci su orientção hbitul é Então, ydx xdy 2π γ t) cos t, sin t), t [, 2π]. sin t, cos t) sin t, cos t) dt 2π sin 2 t cos 2 t dt 2π. A seguinte Proposição mostr que o integrl F ds não depende d prmetrizção utilizd, dependendo pens d orientção conferid por ess prmetrizção.. Proposição 18 onsidere-se um curv de clsse 1, R n, orientd por um prmetrizção de clsse 1, γ : [, b], e sej η : [c, d], um prmetrizção de clsse 1 que preserv orientção de γ. Qulquer que sej função contínu, F : R n, verific-se b F γ t)) γ t) dt d c F η t)) η t) dt. emonstrção. Por hipótese, existe um bijecção de clsse 1, α : [, b] [c, d], tl que γ t) η α t), α t) >, t [, b]. Então, usndo mudnç de coordends s α t), obtém-se d c F η t)) η t) dt α 1 d) α 1 c) F η α s)) η α s)) α s) ds b F γ s)) γ s) ds. O Teorem fundmentl do cálculo grnte qulquer função de clsse 1, f : R R, verific b f x) dx f b) f ),, b R. Um resultdo nálogo existe pr funções com domínio em R n. onsidere-se um função de clsse 1, f : R n R, e um curv, R n, dmitindo um prmetrizção de clsse 1, γ : [, b]. Nesse cso, f γ : [, b] R é um função de clsse 1 e Logo, f γ) t) f γ t)) γ t), t [, b]. f ds b f γ) t) dt f γ b)) f γ )). qui se conclui que o integrl de f o longo de depende pens ds extremiddes de. ito de outr form, qulquer outr curv de clsse 1,, com o mesmo ponto inicil e o mesmo ponto finl verific f ds f ds. O Teorem seguinte mostr que est é um propriedde que crcteriz os grdientes. Teorem 19 onsidere-se um conjunto berto conexo, U R n, e um função contínu, F : U R n. As seguintes condições são equivlentes: 8

9 1. Existe um função de clsse 1, φ : U R, tl que F φ; 2. Qulquer que sej curv orientd seccionlmente de clsse 1, U, o vlor do integrl F ds depende pens dos pontos inicil e finl d curv i.e., os integris correspondentes dus curvs que tenhm o mesmo ponto inicil e o mesmo ponto finl têm vlores idênticos). emonstrção. Suponh-se que existe um função, φ : U R, tl que F φ. As considerções que ntecedem o Teorem provm que, qulquer que sej curv de clsse 1, verific-se {γ t), t [, b]} U, F ds φ γ b)) φ γ )). onsidere-se então um curv seccionlmente de clsse 1, U, e considere-se um decomposição em curvs de clsse 1 k {γ i t) : t [ i, b i ]}, em que cd um dos cminhos γ i é de clsse 1 e Então, b i i+1, γ i b i ) γ i+1 i+1 ), i 1, 2,..., k 1. F ds k φ γ b i )) φ γ i )) φ γ b k )) φ γ 1 )). Isto prov que condição 1 implic condição 2. Suponh-se que existe um função g : U U R, tl que, qulquer que sej curv seccionlmente de clsse 1, {γ t), t [, b]} U, se verific F ds g γ ), γ b)). Fixe-se um ponto x U. Pr cd ponto x U, indique-se por x, um curv seccionlmente de clsse 1, contid em U, unindo o ponto x o ponto x. Sej φ : U R, função definid por φ x) g x, x) F ds. x Pr provr que φ é contínu, fixe-se um ponto x U. Pr todo x U suficientemente próximo de x, verific-se φ x) F ds F ds + x x Logo, φ x) φ x) 1 { x+tx x), t [,1]} F ds φ x) + 1 F x + t x x)) x x) dt. 1 F x + t x x)) x x) dt F x + t x x)) x x dt x x mx F y), y x x x 9

10 o que prov que φ é contínu no ponto x. Pr provr que φ F, fixe-se um ponto x U e indique-se por e i, o vector cuj i-ésim coordend é igul 1 e tods s restntes coordends são nuls. Então, φ x) φ x + he i ) φ x) lim x i h h 1 lim h h lim h { x+the i, t [,1]} 1 1 lim h h 1 F ds lim h h F x + the i ) e i dt lim h Logo, continuidde de F implic φ x) x i F ds + x 1 F i x). 1 { x+the i, t [,1]} F x + the i ) he i ) dt F i x + the i ) dt. ) F ds F ds x Exemplo 2 lculr o integrl y cos xy) dx + x cos xy) dy, em que é o rco d prábol y x 2 que lig o ponto 1, 1) o ponto 1, 1). Note-se que y cos xy), x cos xy)) sin xy), x, y) R 2. Logo, o Teorem 19 grnte que y cos xy) dx + x cos xy) dy y cos xy) dx + x cos xy) dy, em que é qulquer curv seccionlmente de clsse 1 que une o ponto 1, 1) o ponto 1, 1). Então, podemos substituir curv pelo segmento de rect Assim obtém-se y cos xy) dx + x cos xy) dy O Teorem 19 tem o seguinte orolário. {t, 1), t [ 1, 1]}. 1 1 cos t, t cos t) 1, ) dt 1 1 cos t dt 2 cos 1. orolário 21 onsidere-se um conjunto berto, U R n, e um função de clsse 1, φ : U R. Qulquer que sej curv fechd seccionlmente de clsse 1, U, verific-se φ ds. emonstrção. considere-se um prmetrizção seccionlmente de clsse 1, γ : [, b]. Sej c ], b[ fixo). As funções γ t), t [, c] ; η t) γ c + b t), t [c, b] prmetrizm curvs contids em U que ligm o ponto γ ) γ b) o ponto γ c). Então, o Teorem 19 grnte que φ ds φ ds. {γt),t [,c]} {ηt),t [c,b]} 1

11 Além disso, η e γ percorrem o segmento {η t), t [c, b]} em sentidos opostos. Isso implic φ ds φ ds + φ ds {γt),t [,c]} φ ds {γt),t [c,b]} {γt),t [,c]} {ηt),t [c,b]} φ ds. Exemplo 22 lculr o integrl centro n origem. Tendo em cont que x 1 + x 2 + y 2, y 1 + x 2 + y 2 xdx 1+x 2 +y + ydy 2 1+x 2 +y, em que é circunferênci de rio 1 e 2 ) 1 2 log 1 + x 2 + y 2), x, y) R 2, o orolário 21 grnte imeditmente que xdx 1 + x 2 + y 2 + ydy 1 + x 2 + y 2. 2 Integris em superfícies Nest Secção considermos pens elementos de superfície simples de clsse 1 contidos em R Produto externo Pr definir integris em superfícies utilizremos o chmdo produto externo. efinição 23 O produto externo entre dois vectores x, y R 3 é o vector x y R 3, definido por x 1, x 2, x 3 ) y 1, y 2, y 3 ) x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). 2) Notção 24 A expressão 2) não é fácil de memorizr. Por isso é útil considerr o seguinte esquem. onsiderem-se os vectores Mnipulndo expressão forml i 1,, ), j, 1, ), k,, 1). i j k det x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 como se i, j, k fossem números, obtém-se mnemónic i j k x 1, x 2, x 3 ) y 1, y 2, y 3 ) det x 1 x 2 x 3. 3) y 1 y 2 y 3 O produto externo tem s seguintes proprieddes: Proposição 25 onsiderem-se vectores x, y R 3 e um constnte c R. Então, 11

12 1. x y y x; 2. cx) y c x y) ; 3. x x y) y x y) ; 4. x y x y sin α, em que α é o ângulo formdo entre os vectores x e y. emonstrção. Pr provr s igulddes 1 e 2, bst usr memónic 3) e s proprieddes correspondentes dos determinntes. Pr provr iguldde 3 bst verificr directmente que Finlmente, note-se que x x y) x 1 x 2 y 3 x 3 y 2 ) + x 2 x 3 y 1 x 1 y 3 ) + x 3 x 1 y 2 x 2 y 1 ). x y 2 x 2 y 3 x 3 y 2 ) 2 + x 3 y 1 x 1 y 3 ) 2 + x 1 y 2 x 2 y 1 ) 3 x 2 2y 2 3 2x 2 y 2 x 3 y 3 + x 2 3y x 2 3y 2 1 2x 1 y 1 x 3 y 3 + x 2 1y x 2 1y 2 2 2x 1 y 1 x 2 y 2 + x 2 2y 2 1 x 2 1y x 2 1y x 2 2y x 2 2y x 2 3y x 2 3y 2 2 2x 1 y 1 x 2 y 2 2x 1 y 1 x 3 y 3 2x 2 y 2 x 3 y 3 x x) y y) x 2 1y 2 1 2x 1 y 1 x 2 y 2 2x 1 y 1 x 3 y 3 x 2 2y 2 2 2x 2 y 2 x 3 y 3 x 2 3y 2 3 x x) y y) x y) 2 x 2 y 2 x 2 y 2 cos 2 α x 2 y 2 sin 2 α, o que prov iguldde 4. Observção 26 Note-se que iguldde 4 d Proposição 25 implic que norm do vector x y é igul à áre do losngo de ldos x, y. 2.2 Áre de um superfície A áre de um elemento de superfície simples de clsse 1 é definid trvés de um expressão nálog à fórmul dd pelo Teorem 2 pr o comprimento de um curv de clsse 1. efinição 27 onsidere-se um elemento de superfície simples de clsse 1, S R 3, e sej φ : S, um prmetrizção de S. A áre de S é definid por A S φ u φ v du dv. 4) Pr provr que efinição 27 é independente d prmetrizção usd, utilizremos o seguinte Lem. Lem 28 onsidere-se plicções de clsse 1, φ : R 3 R 2, α : R 2 R 2. Então, φ α u 1, u 2 ) φ α u 1, u 2 ) φ J α u 1, u 2 ) φ ) α u 1, u 2 ). 12

13 emonstrção. φ α φ α φα) α 1 α1 φα) + φα) α 2 ) φα) α 1 + φα) α 2 ) )) φα) α 1 + φα) α 2 + α2 φα) ) ) α 1 α 1 φα) φα) + α 1 α 2 φα) φα) + ) ) + α2 α 1 φα) φα) + α2 α 2 φα) φα) ) ) ) α1 α 2 α 2 α 1 φα) φα) J φ α φ α. )) φα) α 1 + φα) α 2 Temos então seguinte Proposição que prov que o vlor do integrl 4) é um propriedde d superfície, independente d prmetrizção usd pr descrever. Proposição 29 onsidere-se um elemento de superfície simples de clsse 1, S R 3, dmitindo s prmetrizções φ : S, ψ : B S. Então φ u 1, u 2 ) φ u 1, u 2 ) du 1 du 2 ψ u 1, u 2 ) ψ u 1, u 2 ) du 1 du 2. emonstrção. Se φ e ψ são mbs prmetrizções de S, então existe um bijecção de clsse 1, α : B, que dmite invers de clsse 1, e verific φ ψ α. Então, o Lem 28 implic que φ φ du 1 du 2 ψ J α ψ ) α du 1 du 2 ψ ψ ) α J α du 1 du 2. Pel fórmul de mudnç de coordends, isto é φ φ du 1 du 2 B B ψ ψ ) du 1 du 2. Exemplo 3 lculr áre d superfície S { x, y, z) R 3 : z x 2 + y 2 1 }. Podemos considerr prmetrizção φ u, v) u, v, u 2 + v 2), u 2 + v 2 1. Então φ u, v) u φ u, v) v det i j k 1 2u 1 2v 2u, 2v, 1). 13

14 Logo, A S Usndo coordends polres, obtém-se A S 2π 1 {u,v):u 2 +v 2 1} ρ 4ρ dρ dθ 2π 4u2 + 4v du dv. [ 1 4ρ ) ] π 5 ) Observção 31 A áre clculd no Exemplo 3 pode tmbém ser clculd usndo função ψ ρ, θ) ρ cos θ, ρ sin θ, ρ 2), ρ [, 1], θ [, 2π]. A função ψ não é um prmetrizção de S porque ψ ρ, ) ψ ρ, 2π) e Rnk ψ, θ)) 1. No entnto, é um prmetrizção de um elemento de superfície simples de clsse em cd um dos domínios ε [ε, 1] [, 2π ε] ε >, pequeno). Pode-se provr que Então, tendo em cont que ψ ρ, θ) ρ obtém-se directmente A S lim ε + A ψ ε) ψ ρ, θ) θ det A S lim ε + A ψ ε) 1 2π 1 2π ψ ρ, θ) ρ i j k cos θ sin θ 2ρ ρ sin θ ρ cos θ 4ρ4 + ρ 2 dρ dθ 1 ψ ρ, θ) θ dρ dθ. 2ρ 2 cos θ, 2ρ 2 sin θ, ρ ), 2π 2.3 Integrl de um função rel sobre um superfície ρ 4ρ dρ dθ. O integrl de um função rel sobre um superfície é definido de form nálog o integrl o longo de um curv. A seguinte Proposição grnte que definição dd seguir efinição 33) não depende d prmetrizção usd pr descrever superfície. Proposição 32 onsidere-se um elemento de superfície simples de clsse 1, S R 3, dmitindo s prmetrizções φ : S, ψ : B S. Qulquer que sej função contínu, f : S R, verific-se f φ u 1, u 2 ) φu 1,u 2 ) φu 1,u 2 ) u du1 2 du 2 B f ψ u 1, u 2 ) ψu1,u2) ψu1,u2) du1 du 2. emonstrção. A demonstrção é um simples generlizção d demonstrção d Proposição 29. Se φ e ψ são mbs prmetrizções de S, então existe um bijecção de clsse 1, α : B, que dmite invers de clsse 1, e verific φ ψ α. Então, o Lem 28 implic que ) f φ φ du 1 du 2 f ψ α ψ J α α du 1 du 2 φ f ψ ψ 14 ψ ψ ) ) α J α du 1 du 2.

15 Pel fórmul de mudnç de coordends, isto é f φ φ φ du 1 du 2 B f ψ ψ ψ ) du 1 du 2. A Proposição 32 permite-nos introduzir seguinte definição efinição 33 onsidere-se um elemento de superfície simples de clsse 1, S R 3, dmitindo prmetrizção φ : S. Sej f : S R, um função contínu. O integrl de f estendido S é definido por S f ds Exemplo 34 lculr x ds, em que S onsidere-se prmetrizção de S, Então, Logo, x ds S 6 f φ u, v) φ u, v) u φ u, v) v du dv. S { x, y, z) : z x 2 + y, x 1, 1 y 1 }. φ u, v) u, v, u 2 + v ), u [, 1], v [ 1, 1]. φ u, v) u [,1][ 1,1] 2 3. φ u, v) v det u 4u du dv i j k 1 2u u, 1, 1). u [ 1 4u du dv 2 4u ) ] Integrl de um cmpo vectoril sobre um superfície Pr definir o integrl de um cmpo vectoril sobre um elemento de superfície simples começremos por definir o que é um orientção de um elemento de superfície. Pr isso, utilizremos o conceito de vector norml unitário, que seguir se define. efinição 35 onsidere-se um elemento de superfície simples de clsse 1, S R 3, dmitindo prmetrizção φ : S. hm-se vector norml unitário ou simplesmente vector norml) S no ponto S o vector 1 φ û1, û n 2 ) φ û ) 1, û 2 ), φû1,û2) φû1,û2) em que û 1, û 2 ) é o único ponto que verific φ û 1, û 2 ). Observção 36 Pel iguldde 3 d Proposição 25, o vector norml unitário é ortogonl φû1,û2). Logo, é um elemento do espço norml à superfície no ponto. Esse é um espço de e φû 1,û 2 ) dimensão igul 1, logo contém exctmente dois vectores distintos cuj norm é 1. 15

16 Observção 37 onsidere-se um elemento de superfície simples de clsse 1, S R 3, munido d prmetrizção φ : S. Pr cd prmetrizção de clsse 1, ψ : B S, indique-se por n ψ ), o vector norml ψ ψ 1 ) ) ψ 1 ) ) ) n ψ ) ψψ 1 )) 1 ψψ 1 )) ψ O Lem 28 implic que n ψ ) J φ 1 ψ ψ 1 ) )) φ φ ) ) ) J φ 1 ψ ψ 1 ))) φφ 1 )) φφ 1 )) J φ 1 ψ ψ 1 ) )) J φ 1 ψ ψ 1 ))) n φ ).. φ φ 1 ) ) ) Isto implic que n ψ ) n φ ) se existir lgum ponto no qul J φ 1 ψ ψ 1 ) )) > e n ψ ) n φ ) se existir lgum ponto no qul J φ 1 ψ ψ 1 ) )) <. Por outrs plvrs, um prmetrizção define qul o ldo d superfície pr o qul pont o vector norml. Os fctos indicdos ns observções 36 e 37 sugerem seguinte efinição: efinição 38 Um elemento de superfície de clsse 1, S R 3, munido de um prmetrizção concret, φ : S, chm-se um elemento de superfície orientdo. iz-se que um outr prmetrizção de clsse 1, ψ : B S, preserv orientção dd por φ se J φ 1 ψ u 1, u 2 ) >, u 1, u 2 ) B. A superfície de um sólido tem um orientção nturl. efinição 39 onsidere-se um conjunto berto limitdo, V R 3, cuj fronteir é união de um número finito de elementos de superfície simples de clsse 1. iz-se que fronteir de V tem orientção hbitul se o vector norml cd um dos elementos de superfície simples for dirigido pr o exterior de V. Slvo indicção explícit em contrário, consider-se sempre que os elementos de superfície que compõem fronteir de um sólido são munidos d orientção hbitul. Os conceitos que cbm de ser introduzidos permitem introduzir seguinte definição: efinição 4 onsidere-se um elemento de superfície simples de clsse 1, S R 3, munido d prmetrizção φ : S. Sej F : S R 3, um função contínu. O integrl de F sobre o elemento de superfície S é definido por S F dn S F n ds F φ u, v)) φ u, v) u φ u, v) v du dv. 5) Note-se que Observção 37 grnte que o vlor do integrl 5) é independente d prmetrizção escolhid pr descrever superfície. Qulquer outr prmetrizção que preserve orientção de S corresponde o mesmo vlor do integrl. Um prmetrizção que não preserve orientção de S corresponde um integrl com o mesmo vlor bsoluto ms sinl oposto. 16

17 Exemplo 41 onsidere superfície S { x, y, z) R 3 : z x 2 + y 2 1 }, orientd de modo que o vector norml form um ângulo gudo com o semieixo positivo dos zz. lculr,, 1) dn. onsidere-se prmetrizção S φ u, v) u, v, u 2 + v 2), u 2 + v 2 1. Então Exemplo 3), φ u, v) φ u, v) 2u, 2v, 1), u v pelo que φ preserv orientção de S. Logo,,, 1) dn,, 1) 2u, 2v, 1) du dv 2π. S {u,v):u 2 +v 2 1} Exemplo 42 lculr o integrl y, z, x) dn, em que S é superfície d esfer de rio 1. S onsidere-se plicção φ : [, 2π] [, π] S, definid por φ θ, ϕ) cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ). Então, φ θ, ϕ) θ φ θ, ϕ) ϕ det i j k sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos θ cos ϕ cos θ cos ϕ sin ϕ cos θ sin 2 ϕ, sin θ sin 2 ϕ, cos ϕ sin ϕ ) sin ϕ) φ θ, ϕ). Logo, φ não preserv orientção hbitul de S, pelo que S y, z, x) dn π 2π π 2π π [ sin 2 θ 2 sin ϕ) sin θ sin ϕ, cos ϕ, cos θ sin ϕ) cos θ sin ϕ, sin θ sin ϕ, cos ϕ) dθ dϕ sin θ cos θ sin 3 ϕ + sin θ + cos θ) sin 2 ϕ cos ϕ dθ dϕ ] θ2π sin 3 ϕ + cos θ sin θ) sin 2 ϕ cos ϕ dϕ. θ 17

18 Referêncis [1] olley, S. J.: Vector lculus. Prentice-Hll. ISBN ). [2] emidovitch, B.: Problems e exercícios de nálise mtemátic. 6 Ed., Editor Mir 1987). [3] is Agudo, F. R.: Análise Rel. 2 Ed., Escolr Editor. ISBN ). [4] Postnikov, M.: Leçons de géométrie - Vrétés différentibles. Éditions Mir 199). [5] Spivk, M.: lculus on mnifolds - A modern pproch to clssicl theorems of dvnced clculus. Addison-Wesley Publishing ompny 1965). [6] Webb, J. R. L.: Functions of Severl Rel Vribles. Ellis Horwood 1991). 18

19 Índice Áre de um superfície, 12 omprimento de um curv, 2 urv orientd, 6 prmetrizd pelo seu comprimento, 4 Integrl de um cmpo vectoril o longo de um curv, 7 de um cmpo vectoril sobre um superfície, 16 de um função rel o longo de um curv, 5 de um função rel sobre um superfície, 15 Orientção convencionl de um curv fechd, 6 hbitul d fronteir de um subconjunto de R 2, 6 hbitul d superfície de um sólido, 16 positiv de um curv fechd, 6 Prmetrizção de um curv pelo seu comprimento, 4 que preserv orientção de um curv, 6 que preserv orientção de um superfície, 16 Produto externo, 11 Sentido directo, 6 retrógrdo, 6 Superfície orientd, 16 Vector norml um superfície, 15 19

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