INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.

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1 INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo dos XX e por um dd função y = f (. Sej f um função, rel de vriável rel, definid num intervlo,. Chm-se prtição P desse intervlo qulquer deomposição, em n suintervlos d form i tis que: < < < < =. [ ] de [ ] = 0 n Sej f um função, rel de vriável rel, definid num intervlo [, ] e P um prtição desse intervlo. Chm-se Som de Riemnn de f em relção à prtição P, tod epressão d form: n i= f ( w i ) i, onde w i é um vlor qulquer do intervlo i. 44

2 Sej f um função, rel de vriável rel, definid num intervlo, e P um prtição desse intervlo. Chm-se integrl definido de [ ] f desde té e esreve-se onde w i é um vlor do intervlo f (, o limite tl que = lim f ( wi ) i P 0, i= i. n NOTAS: ) Se tl limite eiste então dizemos que f é integrável no intervlo,. [ ] ) A e hm-se limites de integrção: limite inferior do integrl; limite superior do integrl., supomos que definição nterior pode ser estendid o so > : 3) Sempre que utilizmos um intervlo [ ] =. <. Ms Como onsequêni imedit temos o resultdo seguinte: ( = 0 f. 45

3 O teorem que se segue trnsform o difíil prolem de lulr integris definidos por meio de álulo de limites de soms, num prolem em mis fáil que se resume, prtimente, n determinção de um primitiv d função dd. Teorem Fundmentl do Cálulo: Sej f um função, rel de vriável rel, ontínu definid num,. Se F é su primitiv então intervlo [ ] = F( ) F( ). Notção: Pode-se esrever: = F( ou [ ] = F(. Proprieddes do integrl definido. Tod função ontínu em [, ] é integrável em [ ],.. Se f é integrável em [, ] e k é um número rel então função k f é ind integrável no mesmo intervlo e tem-se k = k. 3. Se f e g são dus funções integráveis em [, ] então função f + g ind é integrável no mesmo intervlo e tem-se: [ + g( ] = f ( + g(. 46

4 4. Se < < e f é integrável nos intervlos [, ] e [ ] função f é integrável em [, ] e tem-se: = + f (., então 5. Se f é integrável num intervlo [ ] 0. f, [, ], e ( 0, então 6. Se f e g são dus funções integráveis em [ ] [ ],, então f ( g(., e g(, Not: As tels e s ténis de integrção utilizds pr o álulo de integris indefinidos são ind válids pr o álulo de integris definidos. Eemplo: Clule os seguintes integris definidos: 0 ) 5 ln 3 ) 0 5e 47

5 Mudnç de vriável no álulo do integrl definido Sej f um função ontínu no intervlo [, ]. Pretende-se lulr por mudnç de vriável. Sej t nov vriável tl que t = g(. Qundo se fz mudnç de vriável os limites de integrção, por dizerem respeito à vriável presentd, deim de ter signifido, pelo que surge neessidde de tmém se efetur mudnçs nos limites de integrção. Pr tl, st lulr os vlores orrespondentes de e em função d nov vriável: t = g( ) e t = g( ). Utilizndo estes vlores torn-se então desneessário voltr à vriável originl pós integrção. Eemplo: Clule 5. 48

6 Cálulo de áres APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL ) Cálulo d áre de um região pln limitd pelo eio ds isss, pelo gráfio de um função e por dus rets vertiis Se f é um função ontínu num intervlo [ ] [, ] Se ( 0 é dd por:, e 0,, então áre so o gráfio de f de té é dd por: f, [, ]. Se f mud de sinl em [ ] dd por:.., então áre so o gráfio de f de té, um número finito de vezes, então é y = f ( A A A= A= 49

7 ) Cálulo d áre de um região pln limitd por dus urvs e por dus rets vertiis Se f e g são funções ontínus no intervlo [ ] [, ], e se g(, então áre d região pln fehd, limitd pels urvs y = f (, y = g( e pels rets vertiis = e =, é dd por: Not: [ g( ] A =. Se flhr ondição g(, A g(. = 3) Cálulo d áre de um região pln limitd por dus urvs e por dus rets horizontis Se f e g forem funções ontínus no intervlo [ d] y [,d], e se f ( y) g( y), então áre d região pln fehd, limitd pels urvs = f (y), = g(y) e pels rets horizontis y = e y = d, é dd por d [ f ( y) g( y) ] A = dy. Not: Se flhr ondição f ( y) g( y), A f ( y) g( y) dy. = 50

8 Eemplos: ) Clule medid d áre d região fehd limitd pel função sen( 0,π. y = e pelo eio ds isss qundo [ ] ) Clule medid d áre d região limitd pels rets y = +, y = + 3 e = 0. ) Clule medid d áre de um írulo de rio 3. d) Clule áre d região fehd limitd pels funções y = +, y = 0 e = 0. e) Clule medid d áre d região fehd ompreendid entre os 3 gráfios ds funções y = e = y. 5

9 Cálulo de volumes de sólidos de revolução Fzendo-se girr um região pln em torno de um ret do plno, o sólido resultnte hm-se sólido de revolução. Neste so, diz-se que o sólido é gerdo pel região e ret, em torno d qul se proess revolução, é hmd eio de revolução. Eemplo: Fzendo-se girr em torno do eio dos um região limitd pelo gráfio d um função ontínu não negtiv f, pelo eio dos XX e pelos gráfios de = e de =, de ordo om figur, otém-se um sólido do tipo eiido n figur. Figur Figur Sej f : y = um função, rel de vriável rel, ontínu em [, ]. O volume V do sólido de revolução gerdo pel rotção, em torno do eio dos XX, d região limitd pelos gráfios de y = f (, =, = e pelo eio dos XX é ddo por: [ ] V = π. 5

10 Sej f : y = um função rel de vriável rel ontínu em [, d]. O volume V do sólido de revolução gerdo pel rotção, em torno do eio dos YY, d região limitd pelos gráfios de = f ( y), y=, y=d e pelo eio dos YY é ddo por: = d [ f ( y) ] V π dy. Sejm f : y = e g : y = g( funções, reis de vriável rel, ontínus em [, ], om g( 0. O volume V do sólido de revolução gerdo pel rotção, em torno do eio dos XX, d região limitd pelos gráfios de y = f (, y = g(, = e = é ddo por: ([ ] [ g( ] ) V = π. Sejm f : y = f ( y) e g : y = g( y) funções, reis de vriável rel, ontínus em [, d], om f ( y) g( y) 0. O volume V do sólido de revolução, gerdo pel rotção em torno do eio dos YY, d região limitd pelos gráfios de = f ( y), = g(y), y=, de y=d é ddo por: V d ([ f ( y) ] [ g( y) ] ) = π dy. 53

11 Eemplos: ) Clule medid do volume do sólido gerdo pel rotção d região do plno limitd pelos gráfios ds funções y = +, y = 0, = e =, em torno do eio dos. ) A região do plno limitd pelos gráfios ds funções y =, y = e y = rod em torno do eio dos. Determine medid do volume do sólido gerdo. ) Utilizndo integris definidos, prove que o volume de um esfer 4 3 de rio r é ddo por V = πr. 3 d) Determine o volume do sólido de revolução, gerdo pel rotção d região limitd pelos gráfios de y = e y =, em torno do eio dos yy. e) Clule o volume do sólido de revolução, gerdo pel rotção em torno do eio dos yy, d região limitd por y =, y = e = 0. f) Utilizndo integris definidos, prove que o volume de um ilindro irulr reto de ltur h e rio r é ddo por V = πr h. 54

12 INTEGRAIS IMPRÓPRIOS A definição de integrl definido foi esteleid pr um função definid num intervlo [, ] e ontínu nesse intervlo. Vmos gor onsiderr os sos: [,[, ],] e ], [. Nestes intervlos não tem sentido generlizr definição de integrl definido usndo soms de Riemnn pois terímos de usr prtições om um infinidde de suintervlos. Eemplos: Consideremos s funções: 50 g. ) =, [ 0, [ ; ) ( =, [, [ Sej f um função, rel de vriável rel, definid num intervlo,, X om X [ [ e integrável em qulquer intervlo do tipo [ ] ritrário, superior. Se eistir que o integrl impróprio = L. X lim = L então dizemos é onvergente e que 55

13 Sej f um função ontínu no intervlo [,[ X. Se eistir lim = L então dizemos que áre d figur limitd pelo gráfio de f, pel ret e é igul L. Not: =, pelo eio dos XX e tl que >,eiste ) No so do limite não eistir ou ser infinito diz-se que o integrl impróprio é divergente ou que medid d áre não eiste. ) No so do integrl impróprio mntém-se tudo o que foi dito desde que se onsidere o limite: lim. Y Sej f um função integrável em qulquer intervlo fehdo. Sej um número rel qulquer. Se eistirem X lim = A e lim = B então dizemos que o integrl impróprio y y é onvergente e que = A + B. Eemplo: Clule +. 56

14 Sej f um função ontínu e positiv num intervlo [ ] num ponto, om [, ]. Tem-se que: om f ) = + f (, y ( = lim f ( e = lim y,, eepto f (. z + z Qundo tis limites eistem, diz-se que o integrl onverge. Cso ontrário diverge. Eemplo: Clule Eemplos: Determine nturez dos seguintes integris impróprios: ) e ) + ) + d) ln( ) e) 0 0 f) g) ( ln( ) / 5 π h) tn( ) i) 0 0 sen ( ln( ) 57

15 j) ln( ) e k) + e l) sen. 0 58