3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

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1 3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo Som de Riemnn Pr motivr o oneito de integrl, vmos reorrer à noção intuitiv de áre Consideremos um unção ontínu [, ] IR : que tom vlores positivos O nosso ojetivo é de determinr áre A d região R, limitd pelo gráio de, pelo eixo dos xx e pels rets x = e x = Deompomos o intervlo [, ] em n suintervlos [ ], x, x,,[ x ] n,, om = x < x < x < < xn < xn =, [ ], x não neessrimente de mesmo omprimento, e onsidermos em d intervlo [ x, ] i x i, om i=,,n um ponto qulquer ω i

2 Então um vlor proximdo d áre n A é A ( i )( xi xi ) i= ω, em que d um ds prels represent áre de um retângulo de se i x i x e de ltur ( ) ω i Deinição : Chm-se prtição P do intervlo [, ] qulquer deomposição de [, ] em suintervlos d orm [ x, x ], [ x ], x,, [ x ] n, x n tis que, onde n IN e os números x i são = x < x < x < < xn < xn = Deinição : O omprimento do mior suintervlo d prtição P, design-se por mplitude de P e represent-se por P, ou sej, P = máx { xi xi } = máx xi i=,, n i=,, n Not: Se os n suintervlos d prtição P têm o mesmo omprimento, mplitude de P é igul à n

3 Deinição 3: Sejm um unção ontínu num intervlo ehdo [, ] e P um prtição de [ ], Chm-se som de Riemnn de, ssoid à prtição P, qulquer expressão S p d orm n S p = ( ω i )( xi xi ), onde i [ x i, xi ] i = ω, i =,, n Not: Pr um dd prtição, existe um ininidde de soms de Riemnn É intuitivo, que se tivermos um mior número de suintervlos [ x i, x i ] pertenentes um prtição de [ ],, menores serão s mplitudes desses intervlos e menor será o erro ometido o proximrmos áre onsiderdos A pel som ds áres dos retângulos Portnto, dd um unção ontínu, positiv e limitd no intervlo [, ], podemos onsiderr um suessão de prtições ( n ) n IN P tis que suessão ds respetivs mplitudes tenh limite zero Assim, orrespondente suessão de soms de Riemnn ( S P, n ornee vlores tão próximos qunto ) n IN queirmos do vlor d áre d região R Ou sej, A = SP, n = lim ( i )( xi xi ) P n lim ω P i = 3

4 3 Deinição do integrl de Riemnn Deinição : Se existir o limite ds soms mplitude dos suintervlos [ x, ] i x i S p qundo, i =,, n do intervlo [, ] tende pr zero, e esse limite or inito, então diz-se, segundo Riemnn, que unção é integrável no intervlo [, ] Este limite hm-se integrl deinido ou integrl de Riemnn de em [ ], e denot-se por ( x) dx, ou sej, ( x) dx= n lim ( )( ) P i xi xi i = ω Not: O vlor numério do integrl não se lter se mudrmos letr que represent vriável de integrção por qulquer outr vriável, ou sej, ( x) dx= ( y) dy= () t dt, por isso, vriável de integrção é dit mud Est deinição de integrl tem um vlor prátio muito limitdo Por isso, se nd or dito em ontrário, vmos onsiderr que os suintervlos têm mesm mplitude e esolher omo ponto ω i, x i ou x i Depois, exprimimos s soms de Riemnn S p em termos do número nturl n 4

5 Assim, pr lulr o integrl deinido st determinr o limite qundo n tende pr ininito de Ou sej, ( x) dx= S p n lim ( ω i )( xi xi ) n i= Exemplo : Clule x dx Sugestão: dividir [,] em n suintervlos [ x, ] mplitude i x i onsiderr ω i = x i, pr todo o i =,, n de igul Reordr: Se suessão( u n ) é um progressão ritméti, então u ( u + u ) n n + u + u3 + + un = Assim ( n ) ( n ) n + = Teorem 3: Consequênis imedits dx = dx = Sej IR k k dx = k( ) 5

6 3 Sej um unção integrável no intervlo [, ] Então tmém é integrável em [, ] e ( x) dx = ( x) dx 4 Sej um unção deinid no ponto Então, ( x) dx = 33 Proprieddes do integrl deinido e ritérios de integrilidde 33 Proprieddes do integrl deinido Teorem 3: Sejm e g dus unções integráveis no intervlo [, ] e um ponto de [ ], Então: Lineridde: unção α ± β g tmém é integrável e [ ( x) ± β g( x) ] dx = α ( x) dx β g( x) α ± dx, α, β IR tmém é integrável em qulquer suintervlo de [, ] 3 Regr de Chsles: ( x) dx ( x) dx + ( x)dx = 4 Se ( x), x [, ], então ( x) dx 5 Se ( x) g( x), x [, ], então ( x) dx g( x) dx 6

7 6 Se m ( x) M, x [, ], então ( ) ( x) dx M ( ) m 7 tmém é integrável em [, ] e ( x) dx ( x) dx 8 Se é um unção pr, então ( x) dx = ( x)dx 9 Se é um unção ímpr, então ( x) dx = Not: A propriedde 5 é um onsequêni imedit d propriedde 4 33 Critérios de integrilidde Est seção tem omo ojetivo indir lgums ondições que permitm deidir se um unção é ou não integrável Teorem 3: Se é um unção ontínu em [, ] então é integrável em [, ] 7

8 Teorem 33: Se é limitd em [, ] e é desontínu pens num número inito de pontos de [, ], então é integrável em [, ] Teorem 34: Se é monóton em [, ], então é integrável em [, ] Teorem 35: Se :[, ] IR é integrável em [ ] limitd em [, ], então é Corolário 36 (ontr-reíproo): Se não é limitd em [, ] então não é integrável em [, ] Teorem 37: Se é integrável em [, ] e g pens diere de num número inito de pontos de [, ], então g é integrável em [, ] e g( x) dx ( x)dx = Exemplo 38: A unção ( x) x e = x se se x x = é ontínu em IR, logo é integrável em qulquer intervlo [ ] IR, 8

9 34 Teorem Fundmentl do Cálulo Integrl Teorem 4: Fórmul Fundmentl do Cálulo Integrl ou órmul de Brrow Sejm um unção ontínu em [, ] e F um primitiv de Então, ( x) dx = [ F( x) ] = F( ) F( ) Exemplo 4: Clule ( 5) Exemplo 43: Clule 6x dx x dx Exemplo 44: Clule ln x x e e dx Teorem 45: Fórmul de integrção por prtes Sejm e g dus unções ontínus em [, ] e F um primitiv de em [, ], então ( x) g( x) dx = [ F( x) g( x) ] F( x) g ( x) dx Exemplo 46: Clule xe x dx 9

10 Teorem 47: Fórmul de dierenição de integris om limites de integrção vriáveis ou Regr de Leiniz Sej um unção ontínu e, u ( x) e ( x) diereniáveis num ddo intervlo I Então, v( x) u( x) () t dt = ( v( x) ) v ( x) ( u( x) ) u ( x) v dus unções Exemplo 48: Sendo F ( x) = dt, determine ( x) x x t 4 x t+ e dt Exemplo 49: Prove que lim = x x x t x e dt Exemplo 4: Mostre que lim = 3 x x e F 35 Mudnç de vriável no integrl deinido Teorem 5: Teorem d mudnç de vriável Sej um unção integrável no intervlo ind, g [, d] I () t x I IR e, I Sej : um unção om derivd ontínu tl que g = om g ( ) = e ( d ) g =, então ( x )dx = ( g() t ) g ( t)dt d

11 Exemplo 5: Clule vriável x t = e ln ( 3) x e + e x dx, usndo mudnç de 36 Aplições geométris do integrl o álulo de áres de regiões plns Deinição 6: Sej um unção ontínu e não negtiv no intervlo [, ] A áre d região R deinid por R = {( x, y) IR : x y ( x) } é dd por A ( R) = ( x) dx Deinição 6: Sejm e g dus unções ontínus no intervlo [, ] tis que g( x) ( x), x [, ] { } por R = ( x, y) IR : x g( x) y ( x) região R é dd por A ( R) = [ ( x) g( x) ] dx, e sej R região deinid A áre d

12 Exemplo 63: Determine áre d região limitd pelos gráios de y + x = 6 e y + x 3 = Por vezes, o álulo de áres de regiões plns torn-se mis simples se eeturmos integrção em relção à vriável y, ou sej, onsiderndo que y é vriável independente e que x é um unção de y

13 Deinição 64: Sejm x = ( y) e g( y) ontínus tis que ( y) g( y), y [, d] limitd pelos gráios de, g e pels rets por d ( R) = [ ( y) g( y) ] A dy x = dus unções A áre d região R y = e y = d é dd Exemplo 65: Clule áre d região limitd pelos gráios ds urvs deinids pels equções y = x + 4 e x = y 3

14 37 Integris impróprios Nest seção, vmos proeder o lrgmento do oneito de integrl Além dos integris deinidos, vmos onsiderr os integris em que o intervlo de integrção é ilimitdo ou/e unção integrnd não é limitd Estes novos integris são designdos por integris impróprios Se unção integrnd é positiv, o integrl impróprio, de poderá orresponder à áre de um região pln ilimitd 37 Integris impróprios de ª espéie Os integris impróprios de ª espéie são queles em que o intervlo de integrção é ilimitdo, isto é, são d orm: ( x)dx ; ( x)dx; ( x)dx Por exemplo os integris de ª espéie x dx e ( x ) dx + 3 são impróprios 4

15 37 Integrl de um unção ontínu em [,[, IR (respetivmente em ], ], IR ) Deinição 7: Se é um unção ontínu em [,[, (resp em ],] ), então ( x)dx = lim t desde que o limite exist t ( x)dx, (resp ( x)dx = lim t ( x)dx ), t Deinição 7: Se, n deinição, o limite existir e or inito, diz-se que o integrl é onvergente Se o limite não existir ou or ininito, diz-se que o integrl é divergente Exemplo 73: Anlise onvergêni dos seguintes integris: () sen x dx ; () xe x dx 37 Integrl de um unção ontínu em ], [ Pr nlisr nturez do integrl impróprio um unção ontínu em IR, esreve-se ( x)dx, onde é ( x)dx = ( x)dx+ ( x)dx, om IR, e estud-se os integris impróprios ( x)dx e ( x)dx 5

16 O teorem seguinte permite tirr onlusões er d nturez do ( x)dx Teorem 74: (i) A som de dois integris onvergentes é onvergente (ii) A som de um integrl onvergente e de um integrl divergente é divergente Exemplo 75: Determine nturez e x dx, om > 37 Integris impróprios de ª espéie Os integris impróprios de ª espéie são queles em que unção integrnd é ilimitd 37 Integrl de um unção ontínu em [, [, (respetivmente em ], ] ),, IR Deinição 76: (i) Se é ontínu em [, [ e lim ( x) = ± x, então ( x)dx= lim t t ( x)dx, desde que o limite exist 6

17 (ii) Se é ontínu em ], ] e lim ( x) = ± x +, então ( x)dx= lim + t t ( x)dx, desde que o limite exist Se os limites nteriores existirem e orem initos, diz-se que o integrl impróprio de ª espéie ontrário diz-se que o integrl é divergente ( x)dx é onvergente, so Exemplo 77: Anlise onvergêni dos seguintes integris: dx 3x () ; () dx x x 4 [ ] \ {} 37 Integrl de um unção ontínu em ], [, (resp, ),,, IR Deinição 78: (i) Se é ontínu em ], [ e, ( x) = ± lim x ( x) = ±, então lim e x + ( x)dx = ( x)dx+ ( x)dx = t desde que os limites existm lim + ( x)dx + t t lim t ( x)dx, (ii) Se é ontínu em [, ] \ { } e lim ( x) = ± x ±, então 7

18 ( x)dx = ( x)dx+ ( x)dx = lim t t ( x)dx + lim + t t ( x)dx, desde que os limites existm Se os limites nteriores existirem e orem initos, diz-se ( x)dx é onvergente, so ontrário diz-se que o integrl é divergente Exemplo 79: Anlise onvergêni do integrl dx x Deinição 7: Ao integrl impróprio que pode ser deomposto num som init de integris impróprios de ª e ª espéie, hm-se integrl impróprio misto ou integris de 3ª espéie O integrl misto será onvergente se e só se, nest deomposição todos os integris são onvergentes e será divergente se pelo menos um integrl é divergente Por exemplo o integrl x dx é impróprio misto 8