CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II INTEGRAIS MÚLTIPLAS

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1 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II INTEGAIS MÚLTIPLAS A ierenç prinipl entre Integrl eini F ) F ) e s Integris Múltipls resie no to e que, em lugr e omeçrmos om um prtição o intervlo [, ], suiviimos um região o plno- ou um sistem ooreno z. As integris múltipls permitem-nos onsierr plições que envolvem sólios e superíies não-homogêneos mis geris o que os otios pel revolução e um região pln ou um urv em torno e um ret. Swokowski, 59 Integris upls:. EXEMPLO: Volume egião por: {,,z) Є ³ /,) Є e Z,) } Interpretção Geométri Integrl upl pr Cálulo e Volume: Volume V ). A Propriees: ), A, A, pr too rel; ) [, ) g, )]. A, A g, A ) Se é união e us regiões não-superposts e, A, A, A ) Se,) em to, então, A,. 5),. ),,.. Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r

2 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II MOELO PAA EFINIÇÃO E LIMITES E INTEGAÇÃO. si si entr,. entr. entr si si entr,. Os: Integrl Iter ompost onsigo mesm, repetição ) emprego e um seqüêni init e operções em que o ojetivo e um é o resulto que preee. TEOEMA PAA O CÁLCULO E INTEGAIS UPLAS egião g ) h ) h ) g ) egião Prlelo ou Perpeniulr Prlelo ou Perpeniulr Sej região igur im. Se é ontínu em, então: Sej região igur im. Se é ontínu em, então:, A,., A g ) si g ) entr h ) si h ) entr,. g ) si,. g ) entr ) si,. h ) entr h Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r

3 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II Eemplos resolvios om álulo e integris upls: ) π.os.. os: os 9,9 os,5 π. sen π sen sen. sen. sen. os u ou u. u.... sen. π sen º.. Métoo Sustituição : ontinução... os os ) os ) 9 os9,5 ) 9,9),5,9,5 8,5,5,55 9. sen. senu os u os senu. u u.... Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r

4 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r ). ) ) ) ).. ). ]..... [,... 5 : : ].. 8. [ ou

5 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II Eeríios: Clule s integris upls seguir: ) ).. espost: 7 )... espost: / ou, ) ) ) ).... espost: /5 ou,8 espost: /5 ou, INTEGAIS TIPLAS EM COOENAAS CATESIANAS Usmos integris tripls pr enontrr o volume e orms triimensionis, mss e os momentos e sólios e o vlor méio e unções sore um região triimensionl.,, z V z q p q p,, z.. z O VOLUME E UMA EGIÃO FECHAA E LIMITAA NO ESPAÇO É V V.. z Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r 5

6 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II COMO CALCULA: Um primeiro so simples e se lulr é quno região e integrção é um prlelepípeo: P [, ] [, ] [p, q] e unção esrit em oorens rtesins se mostr e áil integrção. Neste so, ssim omo pr s integris upls, resolvemos integrl tripl zeno integris iters. Por eemplo:,, ) V P q p,, z.. z Nturlmente, esolh orem e integrção e quem vi resolver integrl. E esolh nturl é quel que torn integrl mis áil e resolver. Se pr integris upls tmém hvi outrs regiões em pts oorens rtesins omo quels entre ois gráios e unções e um vriável, s hms regiões tipo I e tipo II), pr integrl tripl situção não seri outr. Não vmos ir qui enumerno ou esreveno regrs e omo proeer em so pois relmente hmos isso ontrprouente A melhor estrtégi é: usque um esrição região e integrção em notção e onjuntos e li reonheç omo est esrição se equ um orem equ e integrções iters. Por eemplo, onsiere que queremos zer um integrl no interior e um eser e rio, e que, por rzões e simetri, st integrrmos no primeiro otnte. Um mneir e esrever est região é: {,, z) : ² ² z² ²,,, z }. Ms ess orm não é equ pr esrevermos integris iters rtesins. Ms se notrmos que í sim poeremos esrever {,, z) :,, z },, ) V,, z z.. One, é lro, se unção or mis em pt à outr orem e integrção, evemos usr outr esrição est mesm região já que el permite) e otr quel que tornr integrl mis simples Cunh, Umg Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r

7 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II POPIEAES: As integris tripls têm s mesms propriees lgéris que s integris upls e simples, ssim: SE F F X, Y, Z ) E G G X, Y, Z ) FOEM CONTÍNUAS, ENTÃO: ) Multiplino por onstnte: F. V k. k. F. V, pr qulquer vlor e k; ) Som e ierenç: ± G V F. V ± F G. V ) ominção: F. V ) se F em. ) F. V G V se F G em ) Aitivie: F. V E. V F. V se or união e us regiões não soreposts e. EXEMPLO: CALCULE.. z V SE { X, Y, Z ) : X, Y, Z } : Solução:.. z z.... z z.. Integrno em z.. z.. z ).. Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r 7

8 CÁLCULO IFEENCIAL E INTEGAL II {...) )... ) } [ ] Integrno em. Integrno em... 8 Eeríios: esolv s Integris Tripls seguir: ) z.. z ) z 5 z.. z z ).. z. espost: 9/ ou 9,5 espost: 77 espost: / ou,8 BIBLIOGAFIA: CALCULO COM GEOMETIA ANALÍTICA VOLUME EAL WILLIAM SWOKOWSKI EITOA MAKON BOOKS e CALCULO VOLUME GEOGE B. THOMAS EITOA AISON-WESLEY. Pro.Ms.Crlos Henrique Emil: rloshj@hoo.om.r 8