3. LOGARITMO. SISTEMA DE LOGARITMO

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1 0. LOGARITMO. SISTEMA DE LOGARITMO.. LOGARITMO ritmo. Agor que já "semos" o que é, podemos formlizr definição de Definição Sejm e números reis positivos, om. Chm-se ritmo de n se, o epoente que stisfz equção =. = = é o ritmo é se é o ritmndo As restrições imposts à se e o ritmndo deorrem ds seguintes Oservções * + ) R, pr que tenh signifido R. 2), pois, so ontrário, só teri signifido pr =. ) R + * pois, omo > 0, temos que > 0. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

2 Proposição.. Se, R + *,, eiste um únio número rel tl que Segue imeditmente d Propriedde P 9 ), onsiderndo que = = =. Eemplo Clule 02, 2 Solução: 2 2 = (0,2) = 2 (0,2) = ,2 4 = = 2 = = 2 = 2 0,2 2 Como onsequênis imedits d definição de ritmo temos que se, R * +, e α R, então: ) = 0 0 = = = 0. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

3 2 2) = = = = ) α = α α α = = = α 4) = = = ) = = = = ( III ) = = ( IV ) De ( III ) e ( IV ) onluímos que =. * + Sejm,,, R, e α e β R, β 0. Temos s seguintes proprieddes P ) () = + Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

4 Consideremos que () = = = = Então, = z = z z + z + z = = = = = + z P 2 ) = Consideremos, = = = = Então, = z = z z z = = = = = z z Temos o seguinte so prtiulr: = = = Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

5 4 P ) α = α Consideremos, = = e α α Então, Cso prtiulr: ( ) = = α α α α = = = = = α. n = n n = n = n P 4 ) β = β Consideremos, Então, β β ( ) β () = = = e = = β = = β = = β Csos prtiulres: i) () = Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

6 ii) n =n i) () = = ii) n = / n () = / n =n Eemplo Aplindo s proprieddes de ritmos, desenvolv e são números reis positivos. 2 ( + ), supondo que, Solução: 2 ( + ) 2 ( ) 2 / ( ) ( ) = + = + + = = 2 2 () + ( + ) = = ( + ).2. SISTEMAS DE LOGARITMOS DE BASE. MUDANÇA DE BASE. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

7 6 Chmmos de sistem de ritmos de se, o onjunto de todos os ritmos n se ( > 0 e ). Qundo trlhmos om ritmos podemos utilizr qulquer se, > 0 e. Nturlmente não preismos onstruir tels dos vlores dos ritmos pr todos os sistems. Conheendo-se em um sistem, podemos prtir d tel oter o vlor do ritmo de um número em qulquer se. Pr isto, preismos de um fórmul que relione ritmos de ses diferentes. A fórmul é seguinte: = É válid se,, R * +, e. De fto, onsiderndo temos que =. Assim, Como, segue-se que A fórmul onstnte. = = e ( ) ( ) = = = = = 0 e, portnto, = = = nos diz que ritmos em diferentes ses diferem por um Consequênis: Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

8 7. = Segue imeditmente d propriedde dd im. = = = Eemplos ) Se, e são números reis positivos, e, então ( )( ) = + ( )( ) ( ) = (+ ) = + = + + = ( ) + + = 2) Se, e são reis positivos om, então =. Sejm = e =. Vmos mostrr que =. = =. ( V ) = =. ( VI ) De ( V ) e ( VI ), temos que = e, portnto, =. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

9 8 ) Se,, e d são reis positivos diferentes de e, então d d + d d + d d = d d d d Prtindo do 2 o memro d epressão, hegremos o o memro. Vejmos: d. d. d d = d. d. d = d ( ) = d. d. d + + d d d = d. d+ d. d+ d. d. Dentre infinidde de vlores que pode ssumir se, e portnto dentre infinidde de sistems de ritmos, dois se destm por sus plições prátis: o sistem de ritmos deimis e o sistem de ritmos neperinos. = O SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMAIS A preferêni pelos ritmos deimis nos álulos se deve, evidentemente de usrmos um sistem de numerção de se 0. Os ritmos deimis tmém são hmdos de ritmos de Briggs, por ter sido o inglês Henr Briggs (6-6) quem primeiro utilizou o número 0 pr onstrução de táus de ritmos. Briggs puliou su primeir táu em 67; depois em versão em mis mplid, em 624 (Arithmeti Logrithmi) que ontinh o ritmo dos primeiros inteiros e dos números entre e luldos om 4 ss deimis! O espço deido por Briggs entre e foi preenhido por Adrin Vlq, um mtemátio holndês que puliou um táu dos ritmos dos primeiros números inteiros, ind em 624. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

10 9 Emor os ritmos deimis tenhm perdido su importâni omo instrumento de álulo mnul, eles ind estão presentes em váris situções prátis. Vejmos eemplos em lgums áres. Quími - O ftor ph é um índie muito usdo pelos químios pr medir onentrção de íons positivos num solução. Soluções Conentrção iôni áids moles por litro ásis moles por litro neutr 0-7 moles por litro Como esses números são muito pequenos, ou equivlentemente, têm denomindores muito grndes, seus ritmos são mis dequdos pr rterizr s onentrções. Isto é onsequêni do vgroso resimento dos ritmos. Um vez que os ritmos são negtivos ( já que os números são menores que ) prefere-se definir o ph omo o oposto do ritmo d onentrção. Temos ssim: Soluções ph áids < 7 neutr 7 ási >7 Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

11 40 Sismoi - Em sismoi, medid d intensidde ds onds que emnm de um entro sísmio se fz om um esl rítmi deiml, hmd de "esl Rihter". Como no so do ph em Quími, tmém qui oorrem números muito grndes ns medids d energi lierd nos terremotos, sendo, pois preferível trlhr om o ritmo pr onstruir esl de medição d intensidde dos los. Aústi - Tmém em Aústi os ritmos deimis são usdos n onstrução d esl deiel, que serve pr medir intensidde dos sons. As esls são onstruíds om ritmos deimis (poderi ser outr se) pr que os números d esl não fiquem muito grndes. É omum se utilizr notção em lugr de 0. Por terem sido stnte utilizdos no pssdo, e ind preerem em váris áres do onheimento, us-se notção io pr os ritmos deimis: Notção trdiionl pr os ritmos deimis: 0 = Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

12 4 SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS Trt-se de um sistem de ritmos n se e =2, Este número é um número irrionl. O nome neperino vem de John Npier, mtemátio esoês, onsiderdo o ridor dos ritmos. Este sistem é tmém hmdo de sistem de ritmos nturis, pois no estudo dos fenômenos d nturez gerlmente pree um lei eponenil de se e. Em gerl us-se seguinte notção: Notção trdiionl pr os ritmos neperinos: e = ln No Cpítulo 6 fremos um estudo mis detlhdo sore o número e e os ritmos neperinos... EXERCÍCIOS.. Clule: (2- ) 2 6 ) 0 ) ) 4 d) Determine E nos seguintes sos: ) E = ( - ) - 2( + ) + 4 ) E =.. Sendo 42 = p e 648 = q, lule 6. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.

13 42.4. Sendo ( - ) = m e ( ) = n, lule ( + ).. Sendo m = 2, m = e m =, lule m. n n n.6. Pr d inteiro n, n >, mostre que: n n n =.7. Mostre que se três números positivos estão em P.G. então seus ritmos, num se, estão n ordem orrespondente, em um P.A. Se q é rzão d P.G. e r rzão d P.A., qul relção entre q e r? 2.8. As rízes d equção + = 0 são = e 2 =. Mostre que. =.9. As rízes d equção 2 - s + p = 0 são () e (). As rízes d equção 2-2S + P = 0 são () e (/). Clule p e P em função de s e S..0. Se = e ( Sugestão: Esrev s igulddes n se ) =,, mostre que ( ) = ( ).. Dd equção 2 p+ B m om rízes reis e, prove que: B + B + B + B = mp 4.2. Sejm, e s medids dos ldos de um triângulo retângulo de hipotenus, tis que - e +. Mostre que + = Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Dominguez G., Freire I., Borges L., Msrenhs M.