Material Teórico - Módulo de Razões e Proporções. Proporções e Conceitos Relacionados. Sétimo Ano do Ensino Fundamental

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1 Mteril Teórico - Módulo de Rzões e Proporções Proporções e Conceitos Relciondos Sétimo Ano do Ensino Fundmentl Prof. Frncisco Bruno Holnd Prof. Antonio Cminh Muniz Neto Portl OBMEP

2 1 Introdução N ul nterior, prendemos que um rzão é um medid reltiv entre dus grndezs. Por exemplo, se em um sl de ul há 11 meninos e 12 menins, rzão entre meninos e menins será 11 : 12; por outro ldo, se em um outr sl existirem 22 meninos e 24 menins, rzão entre meninos e menins nest segund sl tmbém será 11 : 12, pois o simplificrmos frção obtemos 12. Com este exemplo, é possível perceber que dus ou mis frções podem representr um mesmo número. Neste cso específico, temos: = Definição 1.1 Dizemos que dus rzões com termos não-nulos, : b e c : d, formm um proporção qundo s frções b forem equivlentes, ou sej: e c d b = c d Representmos est proporção como : b = c : d e lemos está pr b ssim como c está pr d. Por exemplo, 2 : 3 e 4 : 6 formm um proporção, pois 2 3 = 4 6. Dess form, dizemos que 2 está pr 3 ssim como 4 está pr 6. Alterntivmente, dizemos que quádrupl (, b, c, d) é diretmente proporcionl qundo : b = c : d. Um cso prticulr ocorre qundo os dois elementos centris de um quádrupl proporcionl são iguis. Neste cso, dizemos trtr-se de um proporção contínu. Por exemplo, (4, 6, 6, 9) é um proporção contínu, um vez que 4 6 = 6 9. Portl OBMEP 2 Multiplicção em x Um método prático pr decidir se dus rzões são proporcionis é utilizr regr d multiplicção em xis (x). Ess regr decorre do fto de que iguldde b = c d é equivlente à iguldde b bd = c d bd (um vez que b e d são mbos não-nulos) ou, o que é o mesmo, d = bc. Portnto, iguldde b = c d é equivlente d = bc, sendo ess últim iguldde obtid multiplicndo os extremos, d e os meios b, c. Por exemplo, temos 2 : 3 = 4 : 6, um vez que 2 6 = 4 3. Em plvrs, diz-se usulmente que, em um proporção, o produto dos meios deve ser igul os produto dos extremos. Exemplo 1. Destque, nos itens seguir, s rzões que são porporcionis 3 : 4: ) 6 : 8. b) 8 : 10. c) 15 : 20. d) 9 : 16. Solução. Pr verificrmos quis rzões são porporcionis, fremos o teste d multiplicção em xis: ) 3 8 = 24 = 4 6. Portnto, 6 : 8 e 3 : 4 são proporcionis. b) 3 10 = = 4 8. Portnto, 8 : 10 e 3 : 4 não são proporcionis. c) 3 20 = 60 = Portnto, 15 : 20 e 3 : 4 são proporcionis. d) 3 16 = = 4 9. Portnto, 9 : 16 e 3 : 4 não são proporcionis. Exemplo 2. Verifique se s quádrupls seguir são porporcionis: ) (5, 6, 7, 8). b) (2, 5, 10, 25). Solução. ) Um vez que , temos que quádrupl (5, 6, 7, 8) não é proporcionl. b) Como 2 25 = 5 10, segue que quádrupl (2, 5, 10, 25) é proporcionl. 1 mtemtic@obmep.org.br

3 3 Aplicção: figurs semelhntes Um exemplo prático de plicção de proporções em nosso di--di está ns figurs semelhntes. Observe que qulquer foto de um pesso é simplesmente um representção proporcionl d fisionomi rel, porém em menor escl. Dess form, se Pedro tem 10cm de cbelo e 3cm de brb e em um de sus fotos su brb tem 1cm, é possível clculr medid de seu cbelo nest foto resolvendo equção obtid pel proporção entre s medids reis e s respectivs medids n foto. Mis precismente, se x é o tmnho do cbelo de Pedro n foto, temos que 3 10 = 1 x Multiplicndo em xis, obtemos: 3x = 10 x = 10 3 = 3, 34. Um outro exemplo prático onde encontrmos utilizção de proporções é n confecção de mps. Nesse cso, usulmente encontrmos escrito no mp escl em que o mesmo foi confecciondo, isto é, proporção entre s distâncis no mp e s distâncis reis. Pr exemplificr, suponh que em um mp com escl de 1cm : 100km, distânci entre dus ciddes A e B sej igul 23cm. Um vez que cd 1cm no mp corresponde 100km n relidde, utilizndo proporções podemos clculr fcilmente distânci rel entre s dus ciddes como sendo de 2300km. De fto, denotndo por x distânci rel (em km) entre s dus ciddes, temos 1cm 100km = 23cm 1 x = x = xkm 4 Algums definições úteis Portl OBMEP Nest seção, prenderemos lgums definições que são bseds no conceito de proporcionlidde e cujo uso é frequente em livros e exmes. Definição 4.1 Ddos números e b, mbos diferentes de zero, chmmos terceir proporcionl entre e b (ness ordem) o número x que verific proporção contínu b = b x. Por exemplo, terceir proporcionl dos números 4 e 6 é o vlor x tl que 4 6 = 6 x. Aplicndo regr d multiplicção em xis, obtemos: Definição 4.2 4x = 36 = x = 9. Ddos números, b e c, todos diferentes de zero, chm-se qurt proporcionl entre, b e c (ness ordem) o número x que verific proporção b = c x. À guis de ilustrção, considere os números 4, 6 e 8. A qurt proporcionl entre eles (ness ordem) é o vlor x tl que 4 6 = 8 x. Multiplicndo em xis e resolvendo equção ssim obtid, encontrmos fcilmente x = 12. Observe que, em mbos os csos cim, ordem em que os números são considerdos é importnte. Relmente, no exemplo ddo n terceir proporcionl, se clculássemos terceir proporcionl x entre 6 e 4, obterímos 6 4 = 4 x 6x = 16 x = 8 3. D mesm form, qurt proporcionl y entre 6, 4 e 8, ness ordem, é tl que Definição = 8 x 6x = 32 x = Ddos os números positivos e b, chmmos médi geométric entre e b o número positivo x que verific proporção contínu x = x b. Pr resolver equção nterior em x, começmos multiplicndo em xis pr obter x 2 = b, de sorte que x é precismente riz qudrd de b: x = b. Note que, como b = b, ordem em que considermos e b não fet o cálculo de su médi geométric. Por exemplo, médi geométric de 20 e 5 é x = 20 5 = 100 = mtemtic@obmep.org.br

4 5 Exemplos Finlizremos este mteril discutindo lguns exemplos pr fixr os conceitos que form presentdos té qui. Exemplo 3. Amnd deve fzer dois retângulos de ppel proporcionis pr um trblho d escol. O primeiro recorte deve ter 50cm de ltur e o segundo recorte deve ter 32cm de comprimento. Além disso, o comprimento do primeiro retângulo deve ser igul à ltur do segundo. Clcule este vlor. 1 Solução. Sej x o vlor (em cm) ser descoberto. De cordo com s informções presentds, temos seguinte proporção: 50 x = x 32. Ou sej, x deve ser médi geométric entre 50 e 32. Portnto, x = = 1600 = 40. Exemplo 4. Um operdor de telefoni móvel oferece um plno que consiste de um trif fix (que é pg independente do uso) mis um vlor por cd minuto utilizdo. No mês de jneiro, Crl utilizou seu celulr por 12 minutos e pgou 27 reis. Em fevereiro, utilizou 15 minutos e pgou 33 reis. Qul é o vlor pgo por cd minuto e qul é trif fix desse plno? Solução. Sendo x o vlor d trif fix, temos que, em jneiro, Crl pgou 27 x pelos 12 minutos utilizdos. Por outro ldo, em fevereiro, el pgou 33 x pelos 15 minutos utilizdos. Um vez que um mesmo vlor é cobrdo por cd minuto utilizdo, os cálculos cim nos fornecem proporção 27 x = 33 x Simplificndo um ftor 3 dos denomindores, obtemos iguldde mis simples 2 Portl OBMEP 27 x = 33 x. 4 5 Multiplicndo em xis, obtemos ou, ind, 5(27 x) = 4(33 x) 135 5x = 132 4x. Logo, x = 3. Por fim, se trif fix cust 3 reis, o preço por minuto utilizdo é (como vimos cim) 27 3 = = 2. O luno tmbém pode resolver o exemplo nterior utilizndo um rciocínio mis elementr, como o presentdo seguir: Solução. Observe que, de um mês pr o outro, houve um créscimo de = 3 minutos utilizdos, o que correspondeu um créscimo de = 6 reis n cont. Isso signific que cobr-se 6 3 = 2 reis por cd minuto. (Vej que, qui, utilizmos o conceito de proporcionlidde: se três minutos correspondem seis reis, então um minuto corresponderá dois reis.) Dess form, no primeiro mês form cobrdos 12 2 = 24 reis pelos minutos que Crl utilizou o telefone. Portnto, trif fix é = 3 reis. Exemplo 5. Dois copos de suco, de mesmos volumes, form feitos prtir de um mistur de águ e polp de frut. No primeiro copo, rzão entre polp e águ utilizds foi igul 1 : 2, enqunto no segundo copo est mesm rzão foi de 3 : 4. Ao misturrmos estes dois copos em um jrr, qul será rzão entre polp e águ? Solução. Suponh que o volume de cd copo sej x. Segundo o enuncido, no primeiro copo, o volume de polp será x 3 e o volume de águ 2x 3. No segundo copo, o volume de polp será 3x 7 e o volume de águ 4x 7. Ao misturrmos os dois copos teremos um volume de polp igul x 3 + 3x 7 = 7x x 21 = 16x 21. Além disso, teremos um volume de águ igul 2x 3 + 4x 7 = 14x x 21 = 26x 21. Por fim, clculndo rzão entre os volumes de polp e de águ encontrdos cim, obtemos: 16x 21 26x 21 = 16x x = = mtemtic@obmep.org.br

5 Portnto, depois de misturrmos os dois copos de suco n jrr, rzão entre polp e águ será 8 : 13. Exemplo 6. Em um empres, 500 funcionários são cpzes de produzir peçs por semn. Se o gerente dest empres decidir brir um filil com 75 funcionários, mntendo o mesmo nível de produtividde, qunts peçs mis serão produzids? Solução. Denotemos por x quntidde de peçs extrs que serão produzids pel filil. Como produtividde será mntid, concluímos que s rzões entre os números de funcionários e os totis produzidos pel mtriz e pel filil são proporcionis. Dess form, (500, 18000, 75, x) será um quádrupl proporcionl, prtir d qul encontrmos seguinte equção: = 75 x. Multiplicndo em xis, obtemos: 500x = x = x = x = Exemplo 7. Em um conferênci científic, rzão entre cientists brsileiros e estrngeiros er de 7 : 9. Se hvi 80 pessos ness reunião, quntos erm os brsileiros? Solução 1. Observe que, de cd 16 cientists, sete são brsileiros e nove são estrngeiros. Portnto, proporção de cientists brsileiros n conferênci er de Como hvi 180 cientists o todo, concluímos que quntidde de brsileiros er = 7 5 = 35. Outr solução um pouco mis técnic é seguinte: Solução 2. Se rzão entre cientists brsileiros e estrngeiros er de 7 : 9, isso signific que (e í temos utilizção d idei de proporção), se tivéssemos 7x brsileiros, terímos 9x estrngeiros, totlizndo 7x + 9x = 16x pessos. Por outro ldo, se hvi um totl de 80 pessos, então devemos ter 16x = 80, ou sej, x = 5. Dess form, o número de brsileiros er 5 7 = 35. Sugestões o Professor Reserve dois encontros de 50 minutos cd pr expor o conteúdo dest ul. No primeiro encontro, presente s definições e conceitos presentes ns seções de 1 4. No segundo encontro, resolv os exemplos presentdos n seção 5. Lembre-se de sempre dr lgum tempo pr os lunos desenvolverem sus própris soluções ntes de discutir quels presentds no texto. Portl OBMEP Créditos pels figurs: mtemtic@obmep.org.br