RESPOSTAS DA LISTA 2 - Números reais: propriedades algébricas e de ordem

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1 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 4 RESPOSTAS DA LISTA - Números reis: proprieddes lgéris e de ordem Pr filitr onsult, repetimos qui os xioms e s proprieddes lgéris e de ordem listds em ul. À medid que s proprieddes forem usds, será itd numerção, é lro que não há neessidde de memorizr numerção ds proprieddes. Pr,, R dmitem-se verddeiros os xioms lgérios desritos seguir. Axioms d Som Axioms do Produto Lei do fehmento AS : + R AP : R Lei ssoitiv AS : ( + ) + + ( + ) AP : ( ) ( ) Lei omuttiv AS3 : + + AP 3 : Lei do elemento neutro AS4 : 0 R; + 0 AP 4 : R; Lei do elemento simétrio AS5 :, R; + ( ) 0 (diz se : é o simétrio de ) Lei do elemento inverso AP 5 : 0, R; (diz se : é o inverso de ) Axiom d Som e Produto Lei distriutiv ASP : ( + ) + Propriedde PA Uniidde do elemento neutro d som Enunido: Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento neutro d som. Propriedde PA Uniidde do elemento neutro do produto Enunido: Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento neutro do produto. Propriedde PA 3 0 +, R. Propriedde PA 4, R. Propriedde PA 5 Uniidde do elemento simétrio Enunido: Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento simétrio. Propriedde PA 6 Uniidde do elemento inverso Enunido: Só existe um número rel que stisfz o xiom de existêni de elemento inverso. Propriedde PA 7 + 0, R. Propriedde PA 8, R e 0. Propriedde PA 9 ( ), R (lei-se: é o simétrio de ). Propriedde PA 0, R e 0 lei-se: é o inverso de. Propriedde PA ( + ) +,,, R. Propriedde PA 0 0 0, R. Propriedde PA 3 ( ) ( ), R. Propriedde PA 4 ( ) ( ) ( ),, R. Propriedde PA 5 ( ) ( ),, R. Propriedde PA 6,,, R, 0. Propriedde PA 7, R, 0. Propriedde PA 8,, R, 0, 0. Propriedde PA 9 d,,,, d R,, d 0. d + Propriedde PA 0 +,,, R, 0. Propriedde PA ( + ),, R. Propriedde PA Propriedde PA 3 Propriedde PA 4 +,,, R, 0.,, R,, 0. d, d,,, d R,,, d 0. Propriedde PA 5 A iguldde não se lter qundo som-se ou multipli-se o mesmo número nos dois ldos d iguldde. Sejm,, R. Vlem s seguintes proprieddes: i) + + (preservção d iguldde n som) ii) (preservção d iguldde no produto) Propriedde PA 6 Leis de nelmento d som e do produto (implições) Sejm,, R. Vlem s seguintes proprieddes: i) + + (é reípro d preservção n som) ii) e 0 (não é reípro d preservção no produto) Propriedde PA 7 Lei de nelmento d som (equivlêni) Sejm,, R. Temos que: + +. Propriedde PA 8 Lei de nelmento do produto (equivlêni) Sejm,, R, 0. Temos que:. Propriedde PA 9 Lei do nulmento do produto Pr, R, temos que: 0 0 ou 0. Propriedde PA 30 Pr, R vle seguinte equivlêni: ou 0. Propriedde PA 3 Teste d iguldde de frções. Pr,,, d R,, d 0, temos que: d. d Propriedde PA 3 Simplifições em soms de frções (redução o mesmo denomindor). Pr,,, d, p, q R,, d, p, q 0, vlem s seguintes igulddes: i) + d d d + d + d d ii) d d d d d d iii) Qundo mpdq, + d p p + q p + q dq m Propriedde PA 33 Prinipis produtos notáveis. Sejm, R, n N. Vlem s seguintes igulddes. i) ( + ) + + ii) ( + ) iii) ( ) + iv) ( ) v) ( )( + ) vi) 3 3 ( )( + + ) vii) ( + )( + ) viii) n n ( )( n + n + + n + n )

2 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 5 Axiom d ordem. Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) é positivo (ii) 0 (iii) é positivo Conheido omo propriedde de triotomi d ordem. Qundo é positivo, diz-se que é negtivo. Axiom d ordem. Ddos, R vle s firmção: é positivo e é positivo + é positivo e é positivo. Propriedde PO Ddo R, um e só um ds três possiiliddes é verddeir: (i) > 0 (ii) 0 (iii) < 0 Tmém é onheid por triotomi d ordem. Propriedde PO Ddos,, R, vle implição: < + < +. Conheid omo propriedde de monotoniidde d dição ou lei de preservção d ordem n dição. Propriedde PO 3 Ddos,, R e > 0, vle implição: < <. Conheid omo propriedde de monotoniidde do produto ou lei de preservção d ordem no produto. Propriedde PO 4 Ddos,, R e < 0, vle implição: < >. Conheid omo lei de inversão d ordem no produto. Propriedde PO 5 Ddos,, R, vle implição: < e < <. Conheid omo propriedde trnsitiv d ordem. Propriedde PO 6 Ddos, R, um e só um ds possiiliddes é verddeir: (i) < (ii) (iii) > Propriedde PO 7 Ddos,, R, vle equivlêni: < + < +. Propriedde PO 8 Ddo R; 0, vlem s equivlênis: (i) > 0 > 0 (ii) < 0 < 0 Propriedde PO 9 Ddos,, R, > 0, vle equivlêni: < <. Propriedde PO 0 Ddos,, R, < 0, vle equivlêni: < >. Propriedde PO Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) < 0 > 0 (ii) > 0 < 0 (iii) < > (iv) > <. Propriedde PO Ddos, R, vlem s equivlênis: (i) > 0 ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) (ii) < 0 ( > 0 e < 0) ou ( < 0 e > 0) Propriedde PO 3 Ddo R, vle implição: > 0 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; > 0 temos que > 0. Propriedde PO 4 Ddo R, não vle reípro d propriedde nterior, isto é, > 0 > 0. Propriedde PO 5 Ddo R, vle implição: < 0 > 0. Outr form de esrever ess propriedde é: pr todo R; < 0 temos que > 0. Propriedde PO 6 Ddo R, vle equivlêni: 0 > 0. Propriedde PO 7 Ddo R, vlem s equivlênis: (i) > 0 3 > 0 (ii) < 0 3 < 0. Propriedde PO 8 Vle seguinte implição: R 0.

3 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 6 Resposts, om resolução. Cd questão pode ter muits resoluções, pois podemos esolher proprieddes diferentes em d resolução.. Considere R, 0 e elemento inverso R; R um inverso de. Suponh, por surdo, que tese é fls, isto é, existe outro AP 5 e. ( ) AP 4 Aplindo os xioms do produto, ( ) AP Ms e não podem oorrer simultnemente, portnto não é possível negr tese, isto é, o elemento inverso é únio.. R, temos + AS3 + ( ) AS R, 0, temos 4. R, 0, temos AP 3 Por outro ldo, usndo o ex.3, onluímos que. 5.,, R, 0, + AP 4. R AP 5 R dmite inverso ;., isto é, tmém é inverso de divisão ( + ) distriutiv + divisão ( ) AP 4. Pel uniidde do elemento inverso, +. 6., R, temos ( + ) P A3 ( )( + ) distriutiv ( ) + ( ) P A3. 7., R;, 0, temos, pelo xiom do inverso, AP5 AP4 8.,,, d R;,, d 0, temos que 9., R, n N é o inverso de AP5. Pel uniidde do elemento inverso, d divisão d Ex.7 d.. Por outro ldo,.. divisão i) ( + ) potêni ( + )( + ) ASP ( + )( + ) AP3 ( + ) + ( + ) PA potêni e AP AP PA + ( + ) ii) ( + ) 3 potêni PA33 i) ( + )( + )( + ) ( + )( + + PA ) ( + + ) + ( + + ) ASP potêni, AP, AP AS ASP e AP iii) ( ) diferenç PA33 i) ( + ( )) potêni e PA4 + ( ) + ( ) + ( ) + ( )( ) diferenç e potêni + ( ) + + PA4 e PA5 iv) ( ) 3 diferenç 3 PA33 ii) ( + ( )) ( ) + 3( ) 3 potêni e PA4 + ( ) 3 + 3( ) + 3( )( ) + PA4 e PA5 ( )( )( ) 3 +( 3 PA4 e PA5 )+3+( ) 3 +( 3 diferenç e potêni )+3+( ) v) ( )( + ) diferenç ( + ( ))( + ) ( ) potêni, diferenç, AS5 e PA4 + 0 AS4 ASP, dus vezes potêni, AP3 e PA4 + + ( ) + ( ) + + ( ) + vi) ( )( + + ) diferenç ( + ( ))( + + ASP, dus vezes ) ( ) + ( ) + potêni, AP, AP3 e PA4 ( ) ( ) + ( ) + ( Potêni e AS3 ) ( ) + + ( ) + ( 3 diferenç, AS54 e AS4 ) 3 3 vii) ( ) 3 potêni ( )( )( ) PA5 ( ) PA4 () potêni 3, provmos que ( ) 3 3, R ( ) ( ) PA9 ( 3 ( 3 )) (*) ( 3 ( ) 3 PA33 vi) ) ( ( ))( + ( ) + ( ) ) ( + )( diferenç, potêni e PA5 + ( ) + ( )( )) ( + )( + ) potêni, PA9 e PA4 viii) Vi ser útil plir propriedde seguir e ind não provmos: ( ),,, R ( ) Provndo ( ), ( ) PA9 ( + ( )) distriutiv + ( ) PA4 + ( ) diferenç. Provndo o que foi pedido: ( ) n + n + n n 3 + n n AP e (*) + n + n + n n 3 + n + n + n n n 3 + n 3 n n potêni n + n + n n 3 + n + n + n n n n n n AS, AS3 e AS5 n n n n

4 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 7 0. Vmos provr primeiro id ( ). Ddo R e < 0 xiom d ordem existêni do inverso 0 0;. Tmém, < 0 diferenç 0 > 0 > 0. Suponh, por surdo, que > 0. Assim, temos > 0 PA8 > 0, o que é um surdo. xiom d ordem > 0 e > 0 PA4 ( ) > 0 Logo semos que 0 e não podemos supor > 0, pelo xiom d triotomi d ordem, < 0. Provndo volt ( ). Se > 0, já estmos dmitindo 0 e R. Se > 0, podemos plir o que já provmos n id, isto é, < 0 < 0 PA0 < 0.. Sej,, R e < 0. ( ) é propriedde P O4 já provd. ( ) > e > 0 PA8 (ii) > e < 0 PA4 < AP 5 < AP 4 <.. Sej R. > 0 lógi > 0 e > 0 xiom definição de potêni nturl > 0 > Contr-exemplo: R. ( )( ) > 0 ssim, pr temos que hipótese p : Pr < 0, pelo xiom, temos que tese q : > 0 é fls. Por lógi semos que p verddeir e q fls siginifi que p q. > 0 é verddeir. 4. Sej R. < 0 PO > 0 lógi > 0 e > 0 xiom ( )( ) > 0 PA5 > 0 potêni > Sej R. 0 xiom PO3 e PO5 > 0 ou < 0 > 0 ou > 0 lógi > Sej R. (i) ( ) ( ) > 0 PO3 > 0 e PO (i) > 0 potêni nturl > 0 3 > 0. Primeiro oservmos que 3 potêni potêni. Assim, 3 > 0 > 0 xiom d ordem lei do nulmento 0 0 e 0 lógi 0 ( ) Tmém, 3 > 0 PO (i) > 0 ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0). Vmos verifir que ( < 0 e < 0) é fls. ( ) Por ( ) temos que 0. Ms, 0 PO6 xiom d ordem > 0 < 0 é fls lógi ( < 0 e < 0) é fls. Assim, ( > 0 e > 0) ou ( < 0 e < 0) (ii) ( ) ( ) lógi e (**) ( > 0 e > 0) lógi > 0. < 0 PO5 < 0 e PO (ii) > 0 potêni nturl < 0 3 < 0. Primeiro oservmos que 3 potêni potêni. Assim, 3 < 0 < 0 xiom d ordem lei do nulmento 0 0 e 0 lógi 0 ( ) Tmém, 3 < 0 PO (ii) < 0 ( < 0 e > 0) ou ( > 0 e < 0). Vmos verifir que ( > 0 e < 0) é fls. ( ) Por ( ) temos que 0. Ms, 0 PO6 xiom d ordem > 0 < 0 é fls lógi ( > 0 e < 0) é fls. Assim, ( < 0 e > 0) ou ( > 0 e < 0) lógi e (**) ( < 0 e > 0) lógi < 0. triotomi d ordem PA9, PO3 e PO5 7. ( ) R 0 ou > 0 ou < 0 0 ou > 0 lógi 0. Oservção: é muito importnte ontr-positiv dess propriedde, isto é, se existem números que stisfzem s proprieddes lgéris e < 0 R. 8. () Contr-exemplo: x. Testndo primeir iguldde ( ) e ( 3) (4 3). Logo iguldde (x ) (x 3) é verddeir pr x. Testndo segund iguldde,, logo iguldde x é fls qundo x. Logo, pr x, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls.

5 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 8 () Contr-exemplo x e y. Testndo n primeir desiguldde: 8 > 4 8 e > 8 4 < 8, verddeir, logo primeir desiguldde é verddeir nesse exemplo. Testndo n segund desiguldde: 4 e +. Como 4 <, segund desiguldde é fls nesse exemplo. Logo, nesse exemplo, hipótese (primeir desiguldde) é verddeir e tese (segund desiguldde) é fls, pel lógi, implição é fls. 9. Em todos os item x, y R. () Verddeiro. Semos que x 5 potêni potêni e AP xxxxx x x 3. ( ) ( ) x > 0 PO 3 e PO7 x > 0 e x 3 > 0 xiom de ordem x x 3 > 0 (*) x 5 > 0. ( ) x 5 > 0 (*) x x 3 xiom d ordem > 0 x x 3 PA 9 0 x 0 e x 3 0 lógi x 0 Por outro ldo, por PO 8, x < 0 é flso x R. Logo, por lógi, x < 0 e x 3 < 0 é flso. ( ). Voltndo, x 5 > 0 x > 0 e x 3 > 0 ou x < 0 e x 3 Lógi e (**) < 0 x > 0 e x 3 PA 7 > 0 x > 0 e x > 0 lógi x > 0. () Verddeir. Semos que x 6 potêni potêni e AP xxxxxx x x x. ( ). x 0 lógi PA 9 x 0 e x 0 x 0 lógi x 0 e x lógi e PA 9 0 x x 0 e x PA 9 0 x x x 0 (*) x 6 0. () Fls. Contr-exemplo: x,. x no lugr do, Testndo n primeir desiguldde: x, e, > x > é verddeir. x no lugr do, Testndo n segund desiguldde: x, e, < 3 x < 3 PO 6 x 3 é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese (primeir desiguldde) é verddeir e tese (segund desiguldde) é fls, pel lógi, implição é fls. (d) Fls. Contr-exemplo: x 0; y. Testndo n primeir desiguldde: x + y 0 + e 0 + > 0 x + y > 0 é verddeir. xiom d ordem lógi Testndo n segund desiguldde: x 0 x > 0 é flso x > 0 e y > 0 é flso. Logo, nesse exemplo, hipótese (primeir desiguldde) é verddeir e tese (segund desiguldde) é fls, pel lógi, implição é fls. (e) Fls. Contr-exemplo: x ; y. Temos que x y ( ) + e > 0 x y > 0, logo hipótese é verddeir. xiom d ordem Tmém x e < 0 x < 0 tese x > 0, é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (f) Fls. Contr-exemplo: x ; y. Hipótese verddeir, pois xy ( )( ) > 0. x e < 0 trnsitividde lógi x < 0 x > 0 é fls x > 0 e y > 0 é fls, isto é, tese é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (g) Verddeir. Justifitiv. Semos que y < 0 é fls pr todo y R. ( ) xy > 0 PO i) x > 0 e y > 0 ou x < 0 e y < 0 (h) Verddeir. Justifitiv. Semos que x < 0 é fls pr todo y R. ( ) x y < 0 PO ii) x > 0 e y < 0 ou x < 0 e y > 0 (i) Fls. Contr-exemplo: x, y. x y ( ) > 0 hipótese é verddeir nesse exemplo. lógi e (*) x > 0 e y > 0 lógi x > 0. lógi e (*) x > 0 e y < 0 lógi y < 0. x e < 0 trnsitividde xiom d ordem x < 0 x > 0 é fls lógi tese x > 0 e y > 0 é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (j) Fls. Contr-exemplo: x, y. x 3 y 5 ( ) 3 () 5 ( )() e < 0 trnsitividde x 3 y 5 < 0, hipórese é verddeir nesse exemplo. x e < 0 trnsitividde xiom d ordem lógi x < 0 x > 0 é fls tese x > 0 e y < 0 é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls.

6 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 9 (k) Fls. Contr-exemplo: x e y 0. x y 0 0 lógi x y 0 hipótese verddeir. xiom d ordem y 0 tese y < 0 é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (l) Verddeir. Prov: xy 0, pel lógi, temos dois sos dmissíveis e distintos: (i) xy 0 (ii) xy > 0. (i) xy 0 (ii) xy > 0 Logo, xy 0 lei do nulmento x 0 ou y 0. ( ) PO i) x, y > 0 ou x, y < 0. ( ) (m) Fls. Contr-exemplo: x. ( ) 8 (*) e (**) x 0 ou y 0 ou x, y > 0 ou x, y < 0 lógi x, y 0 ou x, y 0. potêni nturl : ( ) ( ) ( ) ( ) 8 vezes PA 5 09 vezes AP e AP4. potêni nturl e AP : ( ) ( ) ( ) 09 vezes Logo, x 8 ( ) 8 e > 0 trnsitividde x 8 > 0 lógi x 8 0 hipótese verddeir. x e < 0 trnsitividde x < 0 tese x 0 fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (n) Verddeir. x {3} (o) Verddeir. x 3 Prov: definição do onetivo ou x {3} ou x {π} união x {3} {π} x {3, π} Prov: 0. Em todos os itens, R. definição do onetivo ou x 3 ou x π. () Verddeir. Prov: semos que 5 potêni potêni e AP 3. ( ) ( ) 5 < 0 (*) 3 xiom d ordem < 0 3 PA e 3 0 lógi 0 Por outro ldo, por PO 8, < 0 é flso R. Logo, por lógi, < 0 e 3 > 0 é flso. ( ). Voltndo, 5 PO ii) < 0 > 0 e 3 < 0 ou < 0 e 3 > 0 > 0 e < 0 lógi < 0. () Verddeir. Prov: () Verddeir. Prov: > potêni : vezes onetivo lógio ou > ou lógi. (AS) 0 vezes 55 vezes 0 lógi (i) 0 ou (ii) > 0. Logo, (i) 0 (*) vezes (ii) > 0 0 xiom d ordem 0 (**) 0 Lógi e (**) > 0 e 3 PA 7 < 0 (potêni) 0 ( ) lei do nulmento } 0 ou 0 {{ ou ou 0 } vezes PO 6 PO i) > vezes lógi 0 ( ) xiom d ordem 0 < 0 é fls lógi 0 < 0 e < 0 é fls ( ) Por outro ldo, 0 > 0 (***) 0 > 0 e > 0 lógi > 0 lógi 0. PO i) 0 > 0 e > 0 ou 0 < 0 e < 0 (d) Fls. Contr-exemplo: e. e ( ) hipótese verddeir,, tese fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (e) Verddeir. Prov: 3 3 (PA 7, AS5, AS4) (PA 36 vi)) ( )( + + ) 0 > 0 lei do nulmento 0 ou + + (PA 7, AS5, AS4) 0 ou Pr provr que ou ++ 0, preisremos provr que ++ 0, R;. Prov de que + + 0, R; :

7 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 0 Vmos seprr em tods s hipóteses dmissíveis e distins d posição reltiv entre e tl que. so: < < 0 (PO e PO 5) < 0 e < 0 > 0, > 0, > so: < 0 < 0 e 0 (xiom d ordem ) + + (xiom d ordem ) > 0 (PO 5 e PA ) > 0, 0, > 0 (xiom d ordem ) so: < 0 < < 0 e > 0 (PO ) < 0, PO 8 > 0. ( ) Por outro ldo, Por PO 8 e por ( ), temos que > 0 e ( + ) 0 produto notável ( + ) ( ) (PO 7) ( + ) + ( ) > 0 + ( + ) 0 trnsitividde ( + ) > 0 (**) + + (xiom d ordem ) > so: 0 < 0 e > 0 (PO 5 e PA ) 0, 0, > > 0 (xiom d ordem ) so: 0 < < (PO e PO 5) > 0 e > 0 > 0, > 0, > (xiom d ordem ) + + (xiom d ordem ) > 0 (f) Verddeir. Prov: 4 4 (PA7, AS4, AS5 ) produto notável produto notável ( ) ( + ) + 4 lei do nulmento 0 0 ou + 0 ou (PA 7, AS5, AS4) ou ou Pr provr que ou ou ou preismos provr que ou Primeiro vmos provr que e 0. Vmos provr ontr reípro, isto é, 0 ou ( ) Vmos ver todos os sos dmissíveis e distintos (são 3): so 0 e 0 (PO 6, PA) > 0 e 4 0 AS xiom d ordem > (PO 6, PA) so 0 e 0 0 e 4 > 0 AS xiom d ordem > so 0 e 0 PO 6 > 0 e 4 xiom d ordem > xiom d ordem > Logo, +4 0 (*) PA 0, 0 0, 0, 0 lógi, lógi ou (g) Verddeir. Prov: Análogo o que foi provdo no exeríio nterior, isto é nálogo (h) Igul o exeíio 9 (m). (i) Verddeir. dois sos). Prov. Vmos nlisr dois sos dmissíveis e distintos pr um ddo R, (dess form só há Cso > 0 lógi > 0 ou > 0. Cso 0 + > 0 e 0 PO + > 0 e 0 PO + > 0 e 0 AS5, AS4 > e 0 trnsitividde > 0 lógi > 0 ou > 0.. () Fls. Não vle reípro. Contr-exemplo:. e ( ) > hipótese verddeir e < 0 < tese fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. () Verddeir. Vej respost do exeríio 6(ii). () Verddeir. Igul o exeríio 9(), trondo x por. (d) Verddeir. Igul o exeríio 9(), trondo x por. (e) Fls. Contr-exemplo (únio):. A hipótese é verddeir ms tese é fls, logo implição é fls.

8 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) (f) Verddeir. Prov: (g) Verddeir. Prov: Pr 0. ( ): 0 e 0 e 4 0 e 4 0 e e 4 ( ) e 0. ( ): 0 e e e ( ) 0 e 4 ( ) 0 0 e 0 e 0. Pr 0, mos de provr que vle equivlêni e em qulquer so, 4 4 ou, temos 0. Logo em qulquer so, 4 4 ou, só rest possiilidde 0 e 0. Pr produto notável ( )( + ) 0 ( ) 0 ou ( + ) 0 ( ) 0. ( ) : 0 e 0, temos que > 0 e > 0, logo + > 0 e + 0. (h) Fls. Contr-exemplo: 3 e. (i) Verddeir. Prov. Supondo 0 e 3 > 3. 0 e 3 > e 3 > e 3 > 0 0 e > 0 >. Supondo 0 e 3 > 3. 0 e 3 > 3 0 e 3 3 > 0 0 e ( )( + + ) > 0 ( ) > 0 >. ( ) : Vmos provr que + + > 0, 0. Completndo o qudrdo nos dois primeiros termos, Semos que + 0 e pr 0, (j) Verddeiro. Prov: ( ) 0 e 0 0 e ( ) + 0 e suponh, por surdo, que > 0. Logo som desses termos é positiv. 0 > > > e 0 + > Contrdição om hipótese + 0. Podemos fzer demonstrção nálog, supondo, por surdo que 0. (k) Flso. Contr-exemplo: e. Vmos verifir se implição ( ) é verddeir nesse exemplo () 3 + ( ) 3 + ( ) 0, logo nesse exemplo hipótese é verddeir. 0, logo nesse exemplo tese é fls. Hipótese verddeir e tese fls signifi que implição ( ) é fls. (l) Flso. Contr exemplo: e. e ( ), logo nesse exemplo hipótese é verddeir. 3 3 e 3 ( ) 3 3 3, logo nesse exemplo tese é fls. Hipótese verddeir e tese fls signifi que implição ( ) é fls. (m) Verddeiro. Prov: Cso : 0. 0, e ou 0 ou 0 0 e e. Cso : ( )( + + ) 0 0 ou ( ) 0 e e. ( ) n prov do ex..(i) já provmos que 0 é verddeiro que + + > (n) Flso. Contr exemplo: e. e ( ), logo nesse exemplo hipótese é verddeir. ( + ) ( + ) 4 e ( + ) ( + ) 0 0 ( + ) ( + ), logo tese é fls. Hipótese verddeir e tese fls signifi que implição ( ) é fls.

9 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) (o) Verddeiro, Prov: ( ) 0 e e ( ) e suponh, por surdo, que > > > 4 e > Contrdição om hipótese Podemos fzer demonstrção nálog, supondo, por surdo que 0. (p) Flso. Contr exemplo: 0 e e , logo nesse exemplo hipótese é verddeir. 0, logo tese < 0 é fls. Hipótese verddeir e tese fls signifi que implição ( ) é fls. (q) Verddeiro. Prov: so : 0. 0 e ou < 0 0. so : 0. 0 e ( < 0 ou > 0) e ( < 0 e ) ou ( > 0 e ). Verifindo que segund firmção d firmção ompost, isto é, firmção ( > 0 e ) é fls. > 0 e 0 3 > 0 e > e > Logo s dus firmções não podem ser simultânemente verddeirs, isto é, firmção é fls. Assim só rest primeir firmção d firmção ompost, isto é, firmção ( < 0 e ) ser verddeir. Logo, 0 e ( < 0 e ) < 0 < 0 ou 0 0. (r) A implição ( ) é verddeir (ver exeríio nterior). A reípro ( ) é fls. Contr-exemplo:, 0. e < 0 < 0 0. Logo, nesse exemplo hipótese é verddeir. e 0 3 ( ) 3 e Logo, nesse exemplo, tese é fls. Hipótese verddeir e tese fls signifi que reípro ( ) é fls. (s) Verddeir. Prov: ( ) 0 e 0 0 e ( ) e suponh, por surdo, que 0. 0 > > > 4 e > Contrdição om hipótese Podemos fzer demonstrção nálog, supondo, por surdo que 0.. Em todos os itens, R. () Fls. Contr-exemplo: 0 e., lógi, < < hipótese verddeir. ( ), < lógi < tese > é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. Como implição é fls, pel lógi, equivlêni tmém é fls, isto é, pel lógi, equivlêni é verddeir qundo implição e reípro são verddeirs. () Verddeir. Prov: PO 6 Um prte d hipótese: 0 > 0. ( ) PO 9 e (*) Outr prte d hipótese: < < PA 8 < >. () Verddeir. Prov: PO 7 Um prte d hipótese: < 0 3 < 0. ( ) PO 0 e (*) Outr prte d hipótese: < > 3 PA 8 > 3 3 <. (d) Verddeir. Prov: PO 6 Hipóteses, 0 e 0 > 0 e xiom d ordem > 0 + > 0 PO 8 + > 0 lógi + 0. (e) Verddeir. Prov: Hipóteses, 0 e 0 PO 6 > 0 e > 0 xiom d ordem + > 0 PO 8 + > 0.

10 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 3 (f) Fls. Contr-exemplo:,.,, < lógi < > hipótese é verddeir. ( ) ( ) 4 3 e 3 3 < 0 trnsitividde < 0 Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (g) Verddeir. Prov: Semos que produto notável ( )( + ) ( ) tese é fls. > > 0 trnsitividde >, > 0, def mior do que > 0 > 0, > 0, xiom d ordem > 0 > 0, xiom d ordem e (*) + > 0 ( )( + ) > 0 PO 8 > 0 lógi 0. (h) Fls. Contr-exemplo:, 3., 3, < trnsitividde 3 < hipótese verddeir. 3,, < 3 trnsitividde triotomi d ordem < tese < é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (i) Verddeir. Prov: > 0, > 0, < PO 9 < (AP5, PA8, AP4) <. (j) Verddeir. Prov: > 0, < 0, < (PO 9, PO 0) > (AP5, PA8, AP4) >. 3. Exemplo : Pr, R, temos que. Exemplo : Pr, R,, 0, temos que. Exemplo 3: Pr x R, temos que x < x < 3. Exemplo 4: Pr R, temos que > >. Exemplo 5: Pr x R, temos que x x. Exemplo 6: Pr x R, temos que < x x < x. 4. Em todos os itens onsidermos,, R. () Fls. Contr-exemplo: π. definição de módulo π e π < 0 π ( π) PA 9 π hipótese π é verddeir. π e π π tese π é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. () Verddeir. Justifitiv: (iii) PA 7 diferenç e AS 4 +( ) +( ) 0 lógi 0. () Fls. ontr-exemplo: e. Temos que,, < firmção < é verddeir. Temos que, < 0,, < 0, usndo definição de módulo, otemos ( ) e ( ). Logo, de,, >, onluímos que >, dí, pel triotomi d ordem, tese < é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (d) Verddeir. Justifitiv: < 0 def módulo lei do nelmento + + ( ) AS (e) Fls. Contr-exemplo. Pr 0 não vle volt, isto é, + 0 < 0. Qundo 0 temos que , logo hipótese d volt + 0 é verddeir. Ms 0, pel triotomi d ordem, onluímos que tese d volt, < 0 é fls. Logo, nesse exemplo, hipótese é verddeir e tese é fls, pel lógi, implição é fls. (f) Verddeir. Justifitiv: < < 0 < e < 0 trnsitividde def módulo < 0 e < 0 e. ( ) Por outro ldo, < e < 0 (g) Verddeir. Justifitiv: > e > 0 > 0 > PO 0 > (*) >. def módulo ( ) PA 7 diferenç e AS4 + ( ) > 0 + ( ) > 0 (*) > 0.

11 List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 4 (h) Verddeir. Prov: Um hipótese: < e < trnsitividde <. Outr hipótese: > exeríio nterior > 0. Logo: < e > 0 (v) PA, PA 9, AS3 ( ) < < < <. (i) Fls. Contr-exemplo:,,. Sustituindo no ldo esquerdo, + + ( ) Sustituindo no ldo direito, ( ( ))3. Como 4, nesse exemplo, + +, logo iguldde é fls, pois pr ser verddeir, teri que ser verddeir pr quisquer vlores de,,. (j) Verddeir. Prov: 0 e 0 (i) > 0 e > 0 PO 8 > 0 e > 0. Assim, < PO 9 < PO 9 e AP3 5. Sejm,, x R, > 0. < AP3 e AP4 <. x < (v) (PO 7) (AS3, AS4, AS5, def diferenç) < x < + < x + < < x <. se > se + > 0 PO 7, AS5 e AS4 6. (i), R. Logo, máx {, } se máx {, } se + 0 se < se + < 0 AP4 e ASP máx {, } Por definição, se > 0 se 0 se < 0 se > 0 0 se 0 se < 0 (ii), R. Logo, mín {, } AP4, ASP e PO9 mín {, } Ms, por definição de módulo, PO9 máx {, } se > 0 0 se 0 se < 0 Comprndo definição de e ( ), onluímos que máx{, }. se < se se > se < 0 0 se 0 se > 0 PO 7, AS5 e AS4 mín {, }, isto é, mín {, } se > se 0 ( ) se > 0 Comprndo e ( ), onluímos que mín{, }., isto é, se > 0 0 se 0 se < 0 se + < 0 se + 0 se + > 0 se > 0 0 se 0 se < 0 7. Vmos provr primeiro que, R, temos que máx {, } e mín {, } Pel triotomi d ordem, sá há três sos dmissíveis e distintos, (i) <, (ii), (iii) >. Primeiro vmos plir definição de máx {, }: (i) < < e máx {, } lógi < máx {, } lógi máx {, } (ii) máx {, } lógi máx {, } (iii) > máx {, } lógi máx {, }. Logo, por (i), (ii), (iii), onluímos que máx {, }. ( ) Agor vmos plir definição de mín {, }: (i) < mín {, } lógi mín {, } (ii) mín {, } lógi mín {, } (iii) > > e mín {, } lógi > mín {, } lógi mín {, }. Conluímos que mín {, }. ( ) Agor, sustituindo por em ( ) e ( ), otemos máx {, } e mín {, }. Aplindo (i) e (ii) do exeríio nterior, onluímos que e. 8., R lógi e, R. É mesm firmção do exeríio nterior, já provd. ( ) ( )