O Teorema de Pitágoras

Transcrição

1 A UUL AL A O Teorem de Pitágors Com jud de um pr de esqudros, desene dois triânguos retânguos de mesmo tmno. Represente num dees tur retiv à ipotenus, omo mostr figur d direit: Pr pensr I II III Reortndo os triânguos II e III, voê terá três triânguos. Esses triânguos são sementes entre si? Por quê? Reproduz figur ixo, se possíve mpindo-. qudrdo-se Reortndo ns ins trejds, sepre s ino peçs numerds. Enixe s peçs 1, 2, 3, 4 e 5 no qudrdo-se, de form que, junts, preenm-no ompetmente. A áre do qudrdo-se é igu à som ds áres ds ino peçs?

2 Noss u Desde épos muito remots, qundo omeçou erguer ss pr se rigr, o omem sentiu neessidde de onstruir ânguos retos pr verifir se s predes estvm no esqudro, isto é, perpendiures o ão. Atumente á instrumentos propridos pr isso, ms não foi sempre ssim. Veremos o que geometri tem ver om tudo isso. A geometri é um iêni muito ntig O triânguo de dos 3, 4 e 5 é utiizdo á muitos séuos peos onstrutores. Tvez voê já ten ouvido fr ds fmoss pirâmides egípis: são enormes monumentos de pedr onstruídos á muitos séuos. A mior desss pirâmides, oneid omo Grnde Pirâmide ou Pirâmide de Quéops, foi onstruíd á er de nos. Su se é um enorme qudrdo, ujo do mede proximdmente 230 m, dentro do qu erim qutro qurteirões. Su tur, que é de 146 m, equive à tur de um prédio de 50 ndres. Os pesquisdores impressionrm-se om o to gru de preisão desss onstruções. A se d Grnde Pirâmide é quse um qudrdo perfeito: s diferençs entre s medids de seus dos são muito pequens e seus ânguos são todos prtimente iguis 90º. Tis ftos nos evm rer que os egípios desenvoverm grndes oneimentos de geometri. Os diversos doumentos esritos nque épo revem que, por exempo, o triânguo de dos 3, 4 e 5 já er oneido dos rquitetos e onstrutores egípios. Diz Históri que os onstrutores usvm um ord, n qu dvm nós intervos de igu distâni, formndo om e esse tipo de triânguo. Os rquitetos do Egito Antigo onstruím ânguos retos usndo um simpes ord om nós. Texto extrído do Jorn do Teeurso 1º 1 Gru. Fundção Roerto Mrino, Ministério d Edução e Cutur, Fundção d Universidde de Brsíi, 1989.

3 O triânguo retânguo Um triânguo que têm um ânguo de 90º (ânguo reto) é mdo de triânguo retânguo. Nee, os dos reeem os seguintes nomes: teto ipotenus teto A ipotenus é o mior dos dos e é o do oposto o ânguo reto. Curiosidde Hipotenus er o nome ddo às ords do instrumento musi mdo ir. Esss ords formvm triânguos retânguos om os dos do instrumento. A ir, ssim omo rp, são os mis ntigos instrumentos de ord. N Gréi, invenção d ir er triuíd Apoo, deus d mitoogi greg. Pitágors e o triânguo retânguo Qundo fmos em triânguo retânguo, emrmos imeditmente de Pitágors, o grnde mtemátio que nseu n Gréi Antig, por vot do no 0.C. Aredit-se que ee ten otido oneimentos geométrios om grimensores egípios, que já usvm o triânguo de dos 3, 4 e 5. 3 m 5 m 4 m Pitágors pereeu que, onstruindo um qudrdo sore d um dos dos de um triânguo de dos 3u, 4u e 5u (sendo u um unidde ququer), omo mostr figur im, preeri seguinte reção: A áre do qudrdo formdo sore ipotenus é igu à som ds áres dos qudrdos formdos sore os tetos. No exempo im, voê poderá oservr que: 25 =

4 O Teorem de Pitágors Pr Pitágors, não stv que ess reção fosse váid pr o triânguo de dos 3, 4 e 5. Er preiso provr que reção vi, tmém, pr todos os triânguos retânguos. Ao onstruir gums figurs om ppe, ompnmos meor esse rioínio: 1. Reorte qutro triânguos retânguos iguis. I II III IV 2. Reorte um qudrdo de t form que seu do sej igu à som ds medids dos tetos de um dos triânguos Agor, monte figur ixo, sorepondo os triânguos e o qudrdo já reortdos: I II 2 III IV Oserve que o qudrdo o entro d figur tem do, portnto, su áre é igu ²².

5 4. Movimente os triânguos e forme est outr figur: I II 2 2 III IV Os dois qudrdos têm dos e. Portnto, sus áres são ² e ²². Conusão Como o qudrdo grnde (de do + ) é o mesmo nos dois sos, podemos onuir que o qudrdo de áre ²² é igu o qudrdo de áre ²² somdo o qudrdo de áre ² ², ² ou sej: ²= ² + ²² Assim, deduzimos o Teorem de Pitágors: Num triânguo retânguo, o qudrdo d medid d ipotenus é igu à som dos qudrdos ds medids dos tetos. Usndo semenç de triânguos, podemos demonstrr o Teorem de Pitágors de outr mneir, em omo prender outrs reções métris entre Cos dos de um triânguo retânguo. I Considere o triânguo ABC, ujos tetos são e e ipotenus é. A B C m III A H II n B Tre tur retiv à ipotenus. Determinndo o ponto H e os segmentos, m e n, podemos oservr que: = m + n.

6 Desse modo, otivemos três triânguos sementes, ou sej, triânguos que possuem os três ânguos iguis. Pr fiitr s onusões, desene os três triânguos sorepostos, omo indi figur: C m A III n II I B Assim: Triânguo I semente o triânguo II, ogo: = n = de: n =, temos: ² =. n (1ª reção), que pode ter seguinte interpretção: O qudrdo do teto mior é igu o produto d ipotenus pe projeção desse teto. Triânguo I semente o triânguo III, ogo: m = = de: m =, temos: ² =. m (2ª reção), que pode ter seguinte interpretção: O qudrdo do teto menor é igu o produto d ipotenus pe projeção desse teto. Triânguo II semente o triânguo III, ogo: m = n = de: m = n, temos: ² = m. n (3ª reção), que pode ter seguinte interpretção: O qudrdo d tur retiv à ipotenus é igu o produto ds projeções dos tetos sore ipotenus.

7 Somndo 1ª e 2ª reção memro memro, temos: ² + ² =. n +. m ² + ² = (n + m) pindo propriedde distriutiv omo m + n =, egmos o Teorem de Pitágors: ² + ² = ²² Exeríio 1 Apindo o Teorem de Pitágors, verifique se são retânguos os triânguos que têm ests medids de dos: ) 6 m, 8 m e 10 m ) 4 m, 5 m e 6 m ) 7 m, 9 m e 20 m d) 13 m, 12 m e 5 m Exeríios Exeríio 2 Desene um triânguo retânguo e onstru triânguos retânguos e isósees sore seus tetos e su ipotenus, onforme este modeo: Em seguid: ) ue áre de d um dos triânguos desendos sore os tetos e sore ipotenus; ) some s áres dos triânguos desendos sore os tetos e ompre o m áre do triânguo desendo sore ipotenus. O que voê onuiu? Exeríio 3 Usndo s reções métris no triânguo retânguo, ue s medids indids n figur: 15 x y 17