Algumas Demonstrações Geométricas
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- Agustina Silveira Rosa
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1 Algums Demonstrções Geométrics Mtemátic A 10º Ano Tem I Nos novos progrms, d Mtemátic A refere- se que: No ensino secundário, o estudnte deverá ser solicitdo frequentemente justificr processos de resolução, encder rciocínios, confirmr conjecturs, demonstrr fórmuls e lguns teorems. Este conjunto de slides destin- se um ul, com qul se pretende que os lunos possm compreender rciocínios de demonstrção. Cso não se ten cesso um computdor n sl de ul, poderão ser construídos cettos com s nimções dos slides. Utilizmos demonstrções geométrics simples, prtindo de conecimentos de ssuntos orddos no ensino ásico, como por exemplo, os critérios de iguldde de triângulos. Estes ssuntos poderão ser ojecto de revisões nteriores, cso se considere necessário.
2 Áre do Rectângulo Áre = x As demonstrções ds áres, seguir presentds, são feits supondo que se conece áre do rectângulo. Assim sendo, é conveniente slientr que, ns demonstrções, iremos tentr oter um rectângulo, pr podermos plicr o conecimento que temos. Esse rectângulo tem cor verde, durnte presentção. Começ- se sempre pel presentção d figur geométric e d expressão d áre.
3 Áre do Prlelogrmo Áre = Qunto o prlelogrmo, começmos por desenr o rectângulo, verde. Oserv- se que o triângulo mrelo que sor do prlelogrmo (ldo direito) tem mesm áre que o triângulo que flt no rectângulo (ldo esquerdo), visto que são geometricmente iguis pois têm um ldo igul () e os ângulos djcentes iguis (um de 90º e o outro formdo por semi- rects prlels). Slientr que só se trt de um demonstrção pois os triângulos são iguis pr quisquer prlelogrmos. Otemos um rectângulo (verde) com mesm áre do prlelogrmo.
4 Áre do triângulo Áre = Pr demonstrção d áre do triângulo, começmos tmém por desenr o rectângulo verde. Oserv- se que o triângulo mrelo que sor no rectângulo (ldo esquerdo) tem mesm áre que o triângulo mrelo no triângulo originl, visto que são geometricmente iguis pois têm dois ldos iguis e o ângulo por eles formdo igul (90º). Anlogmente se verific iguldde pr os triângulos zuis. Slientr que só se trt de um demonstrção pois os triângulos são iguis pr quisquer triângulos. Verificmos ssim, que o triângulo tem metde d áre do rectângulo verde.
5 Áre do Losngo d D D Áre = d = D d = No que diz respeito o losngo, começmos tmém por desenr o rectângulo verde. Oserv- se que o triângulo mrelo que sor no losngo (em ixo) tem mesm áre que o triângulo mrelo que flt no rectângulo (em cim), visto que são geometricmente iguis, pois têm dois ldos iguis e o ângulo por eles formdo igul (90º). Anlogmente se verific iguldde pr os triângulos zuis. Slientr que só se trt de um demonstrção pois os triângulos são iguis pr quisquer losngos. Otemos um rectângulo de ldos d e D/ (verde) com mesm áre do losngo.
6 Áre do Trpézio Áre = B + = ( B + ) = B Pr áre do trpézio, começmos por desenr o rectângulo, cor- delrnj, cuj ltur é metde d ltur do trpézio. Oserv- se que o triângulo mrelo que sor no trpézio tem mesm áre que o que flt no rectângulo (ldo esquerdo), visto que são geometricmente iguis pois têm um ldo igul (/) e os ângulos djcentes iguis (um de 90º e o outro formdo por semi- rects prlels). O mesmo se pss com os triângulos vermelos. Slientr que só se trt de um demonstrção pois os triângulos são iguis pr quisquer trpézios. Qunto o rectângulo zul, visto que tem mesm ltur que o rectângulo corde- lrnj, coloc- se seu ldo. Otemos um rectângulo de se B + e ltur / (verde), com mesm áre do trpézio.
7 Teorem de Pitágors = + Utilizmos um ds demonstrções geométrics do Teorem de Pitágors. Começ- se por desenr o qudrdo sore ipotenus e depois os qudrdos sore os ctetos. Esses qudrdos têm áres, e. Pr demonstrção proprimente dit considerm- se dois qudrdos iguis, um zul e outro mrelo, de ldo +. Oserve- se que o qudrdo mrelo é constituído pelo qudrdo de áre, pelo qudrdo de áre e por qutro triângulos geometricmente iguis (pois têm dois ldos iguis e e o ângulo por eles formdo é igul 90º). O qudrdo zul é formdo pelo qudrdo de áre e por qutro triângulos geometricmente iguis os triângulos do qudrdo mrelo.
8 Teorem de Pitágors = + Pintm- se de vermelo os triângulos referidos, pr permitir um melor visulizção. Assim sendo, como s áres (qudrdos mrelo e zul) são iguis concluímos o Teorem de Pitágors. Slientr que só se trt de um demonstrção, pois os triângulos são iguis pr quisquer triângulos rectângulos.
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