INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA LISTA 3 SEMELHANÇA. Disciplina: Matemática Professor: Marcello Amadeo Série: 9º ano / EF

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1 INSTITUTO E PLIÇÃO FERNNO RORIGUES SILVEIR isciplin: Mtemátic Professor: Mrcello mdeo Série: 9º no / EF lun(o): Turm: LIST 3 SEMELHNÇ FIGURS SEMELHNTES Em Mtemátic, qundo usmos medids proporcionis pr desenhr figurs, mplindo-s ou reduzindo-s, dizemos que são figurs semelhntes. semelhnç de figurs é usd n construção de mps, de mquetes de prédios, em fotogrfis e em muits outrs situções. ópi reduzid do desenho esenho originl ópi mplid do desenho FIGURS SEMELHNTES izemos que dus figurs têm mesm form ou são semelhntes qundo: Todos os ângulos correspondentes têm medids iguis e s medids dos segmentos correspondentes são proporcionis. Pentágonos semelhntes ecedros semelhntes 1

2 Os retângulos representdos seguir têm ângulos congruentes e seus ldos homólogos (correspondentes) são proporcionis. Nesse cso os retângulos são semelhntes. Os ldos homólogos são proporcionis 3 2 = 6 9 Já os retângulos seguir têm ângulos congruentes, ms seus ldos formdos por vértices correspondentes (ldos homólogos) não são proporcionis. Logo, esses retângulos não são semelhntes. ETIMOLOGI Em mtemátic, existem dus possíveis origens pr o uso d plvr homólogo. Homólogo = homo + logos Homo (grego, ὁμο): mesmo Logos (grego, λόγος): rzão Homólogo = homo + locus Homo (grego): mesmo Locus (ltim): lugr Os ldos homólogos não são proporcionis RZÃO E SEMELHNÇ ois polígonos são semelhntes qundo têm seus ângulos correspondentes congruentes e os ldos homólogos proporcionis. rzão entre qulquer ldo de um polígono e seu ldo homólogo é denomind de rzão de semelhnç. SEMELHNÇ ENTRE POLÍGONOS izemos que dois polígonos são semelhntes se possuem ângulos iguis e ldos respectivmente proporcionis. Intuitivmente, isto quer dizer que os polígonos possuem o mesmo formto, embor não necessrimente o mesmo tmnho. ' Os ldos situdos entre ângulos respectivmente iguis são chmdos de ldos homólogos. ssim, n figur nterior, o homólogo de é, o homólogo de é, e ssim por dinte. ind, rzão entre dois ldos homólogos quisquer é chmd rzão de semelhnç. Por exemplo, os pentágonos E e E representdos seguir, são semelhntes: ' ' ' ssim, rzão de semelhnç entre os pentágonos é dd por: = b b = c c = d d = e e = k 2

3 EXERÍIOS 7 questões 1) Sbendo que os trpézios d figur são semelhntes: 5) Três terrenos têm frente pr ru e pr ru, como n figur. s diviss lteris são perpendiculres à ru. Qul medid de cd lote de frente pr ru, sbendo-se que frente totl pr ess ru é 120m? ) ê medid dos ângulos, Ĝ, M e P. b) etermine medid do ldo G. 2) s medids dos ldos de um qudrilátero são 8cm,10cm, 12cm e 14cm. Quis s medids desses ldos num mplição de 2 pr 3? 6) Observe os dois retângulos semelhntes seguir e clcule o que se pede: 3) Os prlelogrmos seguir são semelhntes? Justifique su respost. ) Rzão de semelhnç entre o primeiro e o segundo retângulo: b) Rzão dos perímetros entre o primeiro e o segundo retângulo: c) Rzão ds áres entre o primeiro e o segundo retângulo: 7) Observe os dois retângulos semelhntes seguir e clcule o que se pede: 4) s figurs o ldo são semelhntes. etermine medid x indicd. ) Rzão de semelhnç entre o primeiro e o segundo retângulo: b) Rzão dos perímetros entre o primeiro e o segundo retângulo: c) Rzão ds áres entre o primeiro e o segundo retângulo 3

4 PERIMETRO E ÁRE: INIIÇÃO O RIOÍNIO MTEMÁTIO pós esses exercícios estmos induzidos enuncir os seguintes resultdos: PERÍMETRO E FIGURS SEMELHNTES Se dois polígonos são semelhntes, rzão entre seus perímetros é igul à rzão de semelhnç entre os polígonos. Observe no cso de dois triângulos semelhntes, podemos fzer um breve demonstrção desse fto. Sejm e triângulos semelhntes cuj rzão de semelhnç sej um número k. Tente compnhr o seguinte rciocínio mtemático: = k = k (1) b b = k b = kb (2) c c = k b = kc (3) d d = k b = kd (4) (1)+(2)+(3)+(4) + b + c + d = k + kb + kc + kd + b + c + d = k( + b + c + d ) + b + c + d + b + c + d = k Isto é, mostrmos que rzão entre os perímetros de figurs semelhntes é igul à rzão de semelhnç: = b b = c c = + b + c + b + c = k Note que pr o cso de qudriláteros, o rciocínio lgébrico seri o mesmo: = b b = c c = d d = k + b + c + d + b + c + d = k ssim como pr o cso de pentágonos semelhntes: = b b = c c = d d = e e = k E, nlogmente, pr qulquer outro pr de polígonos semelhntes: + b + c + d + e + b + c + d + e = k = b b = c c = ( ) = z z = k + b + c + ( ) + z + b + c + ( ) + z = k ÁRE E FIGURS SEMELHNTES Se dois polígonos são semelhntes, rzão entre sus áres é igul o qudrdo d rzão de semelhnç entre os polígonos. Podemos fzer um rciocínio semelhnte pr justificrmos o resultdo reltivo às áres de figurs semelhntes. Pr tnto, considere novmente dois triângulos e semelhntes, cuj rzão de semelhnç sej k. 4

5 Note que s lturs h e h, reltivs às bses c e c, respectivmente, tmbém respeitm mesm rzão de semelhnç k, isto é: c Que poderi equivlente : s áres dos triângulos serim: Áre = c h 2 Portnto, rzão entre s áres ficri: Áre = k h c e = k h c = kc e h = kh e Áre = c h 2 = ch/2 Áre c h /2 = c h kc kh c = = k k = k 2 h c h nlogmente, podemos dptr o mesmo rciocínio pr qulquer outro polígono. EXERÍIOS 6 questões 8) Um retângulo cuj medid d bse é 7 cm e d ltur é 12 cm é semelhnte outro retângulo com 6 de ltur. Qul rzão entre áre do primeiro retângulo e do segundo? 11) Os pentágonos E e E desenhdos bixo são semelhntes. lcule os vlores de x e y. 9) s áres de dois polígonos semelhntes estão entre si n rzão Qul rzão de semelhnç entre os polígonos semelhntes? 10) Os trpézios e MNOP são semelhntes. rzão de semelhnç entre e MNOP é 0,25. Se o perímetro de MNOP é igul 48,4 cm, qul é o perímetro de? 12) Um ldo de um triângulo mede 45m. Num triângulo semelhnte, o ldo correspondente mede 30m. Se o perímetro do primeiro é de 120m, o do segundo é de: () 80m. () 50m. () 70m. () 100m. 13) Os perímetros de dois triângulos semelhntes estão entre si n rzão 4: 3. Os ldos do mior medem 8cm, 6cm e 10cm. etermine s medids dos ldos do triângulo menor. 5

6 SEMELHNÇ E TRIÂNGULOS O cso de semelhnç em triângulos segue um prticulridde bstnte conveniente, enuncid bixo: TEOREM FUNMENTL SEMELHNÇ ois triângulos são semelhntes se, e somente se, possuem os ângulos correspondentes são congruentes ou os ldos homólogos proporcionis. Pel própri definição de semelhnç entre polígonos, temos que dois triângulos semelhntes têm ângulos correspondentes congruentes (mesm medid) e ângulos congruentes proporcionis. No entnto, expressão se, e somente se, quer dizer que recíproc tmbém é verddeir, isto é: I. Se dois triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhntes. II. Se dois triângulos têm ldos homólogos proporcionis, então eles são semelhntes. Observe justifictiv desse teorem, começr com um triângulo cortdo por um ret E, prlel. Seprndo os triângulos Observe que: Â Â (ângulo comum os dois triângulos) (ângulos correspondentes) Ĉ Ê (ângulos correspondentes) Pr provr que os ldos homólogos são proporcionis, trç-se por E, no triângulo, ret EF prlel EF, com F e plic-se o teorem de Tles: SE E SOMENTE SE Em mtemátic, expressão se, e somente se, quer dizer que há um equivlênci entre o que vem ntes e o que vem depois d expressão, isto é, els são equivlentes. [1] se, e somente se [2] Quer dizer: [1] [2] [1] [2] Sendo FE um prlelogrmo, então F E e logo: = E = F = E = E onde se conclui que os triângulos e E são semelhntes. 6

7 Observe o triângulo seguir, com seus ângulos e ldos com medids proximds: Note que os ângulos homólogos têm mesm medid: α 1 = α 2 = 56,13 β 1 = β 2 = 36,04 γ 1 = γ 2 = 87,82 menos de proximção, rzão entre os ldos homólogos é constnte: 5,54 2,77 = 2,0 3,93 1,96 2,0 6,67 3,33 2,0 EXERÍIOS 26 questões 14) N figur, determine s medids x e y, sbendo que E //. 17) sombr de um pesso que tem 1,80 m de ltur mede 60 cm. No mesmo momento, seu ldo, sombr projetd de um poste mede 2,00 m.se, mis trde, sombr do poste diminuiu 50 centímetros, sombr d pesso pssou medir: () 30 cm () 45 cm () 50 cm () 80 cm (E)90 cm 15) Sbendo que E //, utilize o teorem fundmentl d semelhnç pr determinr x e y. 18) Sbendo-se que um poste de 6m projet um sombr de 4,0m, ltur de um prédio que projet um sombr de 124m mede: () 82,6cm () 31m () 186m () 20,6m 19) Observe figur bixo, onde // E. Os vlores de x e de y, são, respectivmente: 16) Pr determinr ltur de um edifício, seu zeldor usou um rtifício. Mediu sombr do prédio, que deu 6 metros, e mediu su própri sombr, que deu 0,20 metros. Sbendo-se que su ltur é 1,60 metros, qul ltur do prédio? () 7,5 e 12,5 () 12.5 e 7,5 () 14,7 e 24,5 () 24,5 e 14,7 7

8 20) Um triângulo de ldos = 6, b = 8 e c = 11 é semelhnte outro de ldos x, y e z. Se o ldo x corresponde o ldo e x = 3, temos: () y = 3 e z = 4. () y = 5 e z = 4. () y = 5 e z = 3. () y = 4 e z = 5,5. 21) lcule o vlor numérico de x e y n figur seguir. (Sugestão, sepre os triângulos e E) 24) Qul é, em cm, o perímetro do triângulo P n figur bixo? 6cm 20º 2cm P 16cm 25) onsidere o triângulo desenhdo bixo. etermine medid do ldo. 20º 22) N figur bixo, clcule os vlores de e de b. 26) Observe os triângulos representdos bixo, onde os ângulos  e ssinldos são congruentes. lcule O perímetro do menor triângulo. 23) etermine o vlor de x e y nos triângulos bixo. 27) s bses de um trpézio medem 8 dm e 12 dm. Os ldos não prlelos medem 3 dm e 5 dm. Prolongm-se os ldos não prlelos té se encontrrem. lcule medid dos dois ldos do menor triângulo ssim obtido. (Sugestão: prolongue os ldos não prlelos do triângulo pr formr dois triângulos semelhntes) 28) Sendo um trpézio e MN //, clcule o comprimento de MN n figur, sbendo que tods s medids estão em centímetros. 8

9 29) Observe figur bixo, onde = 4cm, E = 9cm, F = 27cm e // E // F // G. Então, G mede: G F 33) No interior de um triângulo retângulo form colocdos dois retângulos congruentes, como mostr figur bixo. Se cd retângulo possui dimensões 6 cm e 16 cm, determine o vlor de x. () 60,75cm () 39cm () 12cm () 15cm E 30) N figur, temos //. lcule o vlor de x: 4 8 P 12 34) d figur bixo, tem-se que: x 31) Sbendo que //, clcule o vlor de x n figur: 12 x P () n = 9,6 e h = 7,2 () m = 5,4 e h = 8,4 () = 14 e m = 9,6 () h = 7,2 e n = 5, ) Observe figur e ssinle lterntiv fls: P 32) N figur, o qudrdo EFG está inscrito no triângulo. Sbendo que = 3,6cm e E = 1,6cm, clcule medid do ldo do qudrdo. R x Q y z m n () P Q () Q R z () = n x m+n () z x = m+n m 9

10 36) O qudrilátero representdo seguir é um prlelogrmo. etermine o vlor numérico d medid x. 38) N figur bixo, os triângulos e E têm os ângulos  e Ê congruentes. Sbendo que = 8cm, = 4cm e E = 6cm, clcule, em centímetros, medid de E. E 37) N figur bixo, é bissetriz dos ângulos  e Ĉ do qudrilátero. lcule o vlor de x. 17 3x ) N figur bixo, = 8cm, = 3cm e E = 5cm. Sbendo-se que E medid de E. E EXERÍIOS E REFORÇO 14 questões 40) Os ldos de um triângulo medem = 8cm, = 18cm e = 12cm. lcule s medids dos ldos de um triângulo semelhnte esse, cujo perímetro é 76cm. 42) Os ldos de um triângulo medem = 12cm, = 19cm e = 10cm. Sbendo que Δ ~ ΔMNP e que o perímetro do triângulo MNP é igul 123 cm, determine medid dos ldos do triângulo MNP. 18cm 8cm 12cm 41) ois triângulos isósceles são semelhntes e sus bses medem 14cm e 7cm. Se o perímetro do segundo triângulo mede 27cm, cd ldo congruente do primeiro mede: () 10 cm () 5 cm () 15 cm () 20 cm 43) Os ldos de um triângulo medem 4cm, 6cm e 8cm. s medids dos ldos do triângulo semelhnte o triângulo, cujo perímetro é 22,5cm, são: () 6cm, 10cm e 6,5cm () 5cm, 9cm e 8,5cm () 6cm, 9cm e 7,5cm () 5cm, 10cm e 7,5cm 44) Se E é prlelo e sus medids são dds em centímetros, determine x e y nos csos bixo. 10

11 47) No triângulo seguir, s medids são dds em centímetros. etermine medid do segmento E. 45) Sbendo que //, clcule o vlor de x n figur: E 5 x 10 48) Sej um triângulo retângulo cujos ctetos e medem, respectivmente, 12cm e 5cm. meditriz d hipotenus intercept no ponto P. Então, P mede: () 31,2cm () 2,5cm () 16,9cm () 7cm 5 46) N figur o ldo, r // s. t s, = 21cm e = 12cm, clcule o vlor numérico de x. 49) s bses de um trpézio isósceles medem 50cm e 30cm e ltur, 10cm. Prolongndo-se os ldos não prlelos, e, eles se intersectm num ponto E. etermine ltur do triângulo E e ltur do triângulo E. 50) N figur seguinte, sbendo-se que = 6cm, = 10cm e = 8cm, m e h são, respectivmente, iguis : (E) 6,4cm e 3,6cm () 4,8cm e 3,6cm () 6,4cm e 4,8cm () 3,6cm e 4,8cm m h 11

12 51) Sbendo-se que = 3cm, = 5cm e = 2,4cm, o vlor de b n figur bixo é: 53) ssinle lterntiv que possui medids possíveis, pr que FG // : b G n () 1,44 cm () 4,00 cm () 6,25 cm () 3,30 cm 52) O vlor de n n figur nterior é: () 1,80 cm () 1,92 cm () 3,20 cm () 3,00 cm () = 14, F = 6, = 7, G = 3. () = 12, F = 3, = 8, G = 6. () F = 6, F = 5, G = 9, G = 8. () = 21, G = 9, = 14, F = 5. EXERÍIOS SUPLEMENTRES 14 questões 54) No trpézio, o ponto M pertence e M = 2. O ponto N e N = 2N. 3 M N 55) Observe figur e ssinle lterntiv corret: L G x ) Mostre que MN é prlelo às bses do trpézio. b) Sendo = 12 cm e = 15 cm, clcule s medids dos segmentos determindos por MN sobre os ldos. M 50 () x = b+c c () x = b +b () x = 1 +c () x = b+c c (E) x = c b+c b 50 c K 12

13 56) N figur seguir, os qudrdos, EFG e MNPG têm os ldos medindo b, e x, respectivmente. etermine x em função de e b. 59) Num triângulo de ldo MN = 12, ret divide internmente o ldo em dois segmentos = 18 e = 6. Se = x e = y, o ângulo é ddo por: () y x () x + y () 2x y () 2y x (E) 2x + y 57) No trpézio representdo bixo de bse menor =, bse mior = b, ltur h, I é o ponto de interseção ds digonis. O segmento MQ, prlelo s bses do trpézio intersect os segmentos, I, I e nos pontos M, N, P e Q, respectivmente. h x M N I P Q b 60) Mostre que medid ds digonis de um pentágono regulr de ldo x é dd por d = x(1+ 5) 2. 58) Se MN = NP =, PQ então distânci x, entre s prlels e MQ vle: 2h () 2 b 2h () 3 b 2h () 2b 3h () 2b 3h (E) 3 b 13