Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

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1 Prov Escrit de MATEMÁTICA A - 1o Ano Fse Propost de resolução GRUP I 1. s números nturis de qutro lgrismos que se podem formr com os lgrismos de 1 9 e que são múltiplos de, são constituídos por 3 lgrismos ou posições, em que s três primeirs podem ser ocupd por 9 lgrismos todos eceto o zero), e últim pens por 1 o lgrismo ). Assim, o número de múltiplos de ns condições do enuncido é Respost: pção A Considerndo eperiênci letóri que consiste em escolher, o cso, um luno d turm, e os contecimentos: V : luno ter olhos verdes R: luno é um rpz Temos que P V R) 1 1 e P V R) 10 Assim, temos que: 1 P V R) P R) 10 P V R) 1 10 u sej probbilidde de escolher um luno d turm e ele ser rpz, ou sej, proporção de rpzes reltivmente o totl de lunos d turm é. Como eistem 0 lunos n turm o número de rpzes d turm é: Respost: pção B Págin 1 de 7

2 3. Por observção do gráfico de f, podemos observr o sentido ds concviddes e relcionr com o sinl d segund derivd, f porque o único ponto de infleão do gráfico de f tem bciss zero). Assim, temos que: 0 f) Pt. I. f ) 0 + Como f 1) > 0 e f ) > 0, então f ) + f 1) > 0 Como f ) < 0 e f 1) < 0, então f ) + f 1) < 0 Como f ) < 0 e f 1) < 0, então f ) f 1) > 0 Como f 1) > 0 e f ) > 0, então f 1) f ) > 0 Respost: pção D. Como o declive d ssíntot do gráfico de f é 1, e o domínio de f é R +, temos que: m f) + 1 Como é ssíntot do gráfico de g, e o domínio de g é R +, temos que: E ssim, temos que: f) g) f) + + Respost: pção A g) ) + + ) g) f) + g) 1 ) + +. Identificndo no círculo trigonométrico os vlores d tngente do intervlo [ 1, + [, e s mplitudes dos rcos correspondentes, como n figur seguinte, à esquerd) temos, ] de entre [ os conjuntos presentdos, o único conjunto de vlores cuj tngente pertence o intervlo é, 1 π 1 N figur] nterior, [ à direit podemos ver um representção gráfic d função tg) com restrição o domínio, ssinld, pr verificr que o respetivo contrdomínio é [ 1, + [ Respost: pção B Págin de 7

3 6. Como tg α cos, temos que: α tg 1 α ) tg α tg α + 1 tg α tg α ± tg α ± Como cos α < 0, então ret tem declive negtivo. Assim, como o declive d ret é tngente d inclinção m tg α), temos que tg α, ou sej ret tem declive, pelo que, de entre s opções presentds ret de equção é únic, cuj inclinção α, verific condição cos α 1 Respost: pção C 7. A região é defin pel conjunção de dus condições, cujs representções gráfics no plno compleo são: região dos 3 o e o qudrntes itd pels bissetrizes destes qudrntes π rg z) 7π ) o semiplno cim d ret horizontl defin por Im z) 1 Assim, região definid pel conjunção é um triângulo, cujos vértices são origem e os pontos de coordends 1, 1) e 1, 1), ou sej, medid d bse é e d ltur é 1, pelo que, áre A ) é: Respost: pção D A 1 1 Imz) 1 1 π 7π i Rez) 8. bservndo epressão d sucessão, temos que: Pr n 0, os termos d sucessão são iguis os vlores d ordem, ou sej, 1 u n 0 Pr n > 0, os termos d sucessão são iguis 1, ou 1, pelo que 1 u n 1 Assim, pr qulquer vlor de n, temos que 1 u n 0, ou sej, sucessão u n ) é itd. Respost: pção C Págin 3 de 7

4 GRUP II 1. Simplificndo s epressões de z 1 e z, temos que: Como i 19 i +3 i 3 i, vem que: 1 i + 3i 3i 1 + i 3 1) 1 i + i + i 1 1) z 1 1 3i i) 1 + 3i)1 i) 1 + i 1 + i 1 + i)1 i) ) ) ) Como cis cos + i sen 0 + i 1) i, vem que: z 3k cis ) 3k i) 3ik Assim, como distânci entre s imgens geométrics de z 1 e de z é dd por z 1 z, ou sej: z 1 z + i 3ik + i1 3k) + 1 3k) + 1 6k + 9k 9k 6k + E como distânci entre s imgens geométrics de z 1 e de z é igul, temo que: z 1 z 9k 6k + ) ) 9k 6k + 9k 6k + k>0 9k 6k + 0 9k 6k 0 k9k 6) 0 k 0 9k 6 0 k 0 k 6 9 k 0 k 3 Como k R +, temos que k Como o ponto T pertence o eio z tem bciss e ordend nuls e como pertence o plno z 3, s sus coordends são 0,0,3) Assim, o ponto T simétrico do ponto T reltivmente à origem do referencil tem de coordends 0,0, 3) Assim temos que o centro d superfície esféric é o ponto médio do diâmetro [T T ], ou sej, origem do referencil como se pretende ilustrr n figur o ldo), e o rio é distânci do ponto T o centro, ou sej 3, pelo que equção d superfície esféric é: 0) + 0) + z 0) z 9 z T U P R S V Q T.. Como s rests [UP ] e [RS] são rests lteris do prism, logo são prlels, e mbs têm comprimento igul 3 Assim, como os vetores UP e RS têm mesm direção e sentidos contrários, pelo que o ângulo por eles formdo tem mplitude de π rdinos. Dest form, o vlor do produto esclr UP. RS é: UP. RS UP RS cos UP ) RS 3 3 cos π 9 1) 9 π z T U P R S V Q Págin de 7

5 .3. Como o ponto Q pertence o eio tem bciss e cot nuls, e como pertence o plno P QV de equção +, substituindo o vlor d bciss podemos clculr o vlor d ordend: 0 + Q Q Assim, verificndo que o ponto T tem coordends 0,0,3), clculmos s coordends do vetor T Q: T Q Q T 0,,0) 0,0,3) 0,, 3) Assim, considerndo T Q é um vetor diretor d ret T Q e que o ponto Q pertence à ret, temos que um condição crtesin d ret é: 0 z z 3.. Como o prism tem 8 vértices, o número de conjuntos de 3 vértices que podem ser escolhidos número de csos possíveis) é 8 C 3 De entre os 8 C 3 conjuntos de 3 vértices, os que definem plnos perpendiculres o plno deve conter um rest perpendiculr este plno. Como eistem rests nests condições ou sej pres de vértices), e por cd um dels qulquer um dos restntes 6 vértices, define com rest um plno perpendiculr o plno, então eistem 6 csos fvoráveis. Dest form, probbilidde é: 6 8 C C Temos que P A B ), no conteto d situção descrit é probbilidde de retirr o cso um bol do sco e o número dess bol ser superior 6 ou pr. Como considermos que o sco tem n bols, eistem n 6 bols com um número superior 6, e ind 3 bols com número pr, ms inferior 6 s bols com os números, e 6).. Dest form o número de csos possíveis é n, porque eistem n bols no sco e o número de csos fvoráveis é n n 3, e dest form, recorrendo à Regr de LPlce, temos que: P A B ) n 3 n.1. Temos que f0) 9, e 1 0, 0 + e 0, 0 1) 9, e 1 + e 1) 1,8 E ssim, substituindo o vlor proimdo de f0) n equção f0) +, vem: 1,8 + ) 1,8 + 1,8 + >0 1,8 + >0 1,8 + 1,8,3616 ±,3616 Como [0,7], então solução d equção é,3616 1, Como SP P + S, e P f0) e S, então temos que f0) + é distânci SP. Assim solução d equção f0) + é bciss do ponto S, n posição em que dist dus uniddes do ponto P, ou sej, o ponto d superfície do rio que está metros do topo d prede esquerd que suport ponte está 1, metros de distânci d bse d mesm prede. Págin de 7

6 .. Começmos por determinr epressão d derivd d função f: f ) 9, e 1 0, + e 0, 1) ) 9), e 1 0, + e 0, 1) e 1 0, 0, ) + e 0, 1 ) ), 1 0,) e 1 0,) + 0, 1) e 0, 1) ), 0, e 1 0,) + 0, e 0, 1) ), 0, e 1 0, + e 0, 1) 0, e 1 0, + e 0, 1) Clculndo os zeros d derivd, no domínio d função [0,7]), vem: 0, e 1 0, + e 0, 1) 0 e 1 0, + e 0, 1 0 e 0, 1 e 1 0, 0, 1 1 0, 0, + 0, , 0 Estudndo vrição do sinl d derivd e relcionndo com monotoni d função, vem: 0 7 f ) f) min Má min Assim, podemos concluir que o vlor máimo d função f é tingido qundo, ou sej, distânci máim entre superfície d águ e ponte é: f) 9, e 1 0, + e 0, 1) 9, e e 1 1) 9, e 0 + e 0) 9, 9 u sej, o brco do clube náutico não pode pssr por bio d ponte, porque distânci d superfície d águ o topo do mstro é de 6 metros e mior distânci entre superfície d águ e ponte é de metros...1. Pr verigur se função g é contínu em 1, temos que verificr se g1) g) g) g1) 1 1 g) 1 1 e ) e e Indeterminção) 1 ) 1) 1 1 e 1 1 e 1 1) 1) + 1) 1 1 e e 1 + 1) 1 fzendo 1 temos que se 1, então 0 ) 0 e ) 1 +g) e ) ) ) e ) }{{} Lim. Notável sen 1 1) 1 1 fzendo 1, temos que se 1, então 0 ) Indeterminção) ) sen }{{} Lim. Notável Como g1) 1 g) +g), então função g é contínu em 1 1 Págin 6 de 7

7 .. Resolvendo equção g) 3, no intervlo [,], ou sej, pr > 1, vem: ) 0 sen kπ, k Z 1 + kπ, k Z Assim, como π / [,]; 1 + π [,] e 1 + π / [,] únic solução d equção g) 3, no intervlo [,] é 1 + π.3. Como o ponto A é o ponto de bciss negtiv < 1) que é intersecção do gráfico d função g com o eio ds bcisss, tem ordend nul, e ssim, clculmos bciss resolvendo equção: 1 1 e ± 1 <0 1 Assim, temos que A 1 1 e considerndo o ldo [A] como bse do triângulo [AP ], ltur é o vlor bsoluto d ordend do ponto P, pelo que áre do triângulo é igul, se: A g) 1 g) g) e 1 10 Visulizndo n clculdor gráfic o gráfico d função g, pr vlores inferiores zero e ret 10 reproduzidos n figur o ldo), e usndo função d clculdor pr determinr vlores proimdos ds coordends dos pontos de interseção de dois gráficos, obtemos um vlor proimdo às décims) d bciss do ponto P, P 3, g 0 6. Como P P Q, então o triângulo [P Q] é isósceles e Q Como s coordends do ponto P são,f)) e s do ponto Q são,0), temos que o declive d ret P Q, é: m P Q 0 f) f) Como ret r é tngente o gráfico d função f no ponto de bciss, então o declive d ret r, ou sej, d ret P Q, é igul f ), pelo que: Dest form, temos que: f ) + f) f ) f) f) + f) 0 r P Q f Págin 7 de 7