POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou
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- João Cordeiro Alencar
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1 POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos coeficientes do polinômio P(). O termo 0 é chmdo coeficiente constnte ou termo independente. Eemplos: ) P() - 0 é um polinômio de gru. Note que segundo notção cim temos 0 0, -, e. ) Q() é um polinômio de gru tl que 0, 0 e. ) R() 7 é um polinômio de gru zero tl que 0 7. Oserve que P() ½ não é um polinômio devido o epoente ½. Similrmente, Q(X) - não é polinômio devido o epoente. Definição: Ddo o número compleo (ou rel), o número P() é chmdo vlor numérico do polinômio P() em. Além disso, se P() 0 então dizemos que é um riz do polinômio P(). Eemplos: ) Se P() - então P() é o vlor numérico de P() em. Além disso, e são rízes do polinômio P() já que P() 0 e P() 6 0. ) As rízes do polinômio Q() são os números compleos i e i, já que Q(i) i - 0 e Q(-i) (-i) - 0.
2 Teorem: Se é um riz do polinômio P() então P() pode ser reescrito como o produto de - por um certo polinômio Q(), ou sej, se é riz de P() então eiste um polinômio Q() tl que P() ( )Q(). Eemplo: Já vimos que é riz do polinômio P() - então P() pode ser reescrito por P() ( )Q( ). No cso, o polinômio Q() é ddo por Q(), já que P() ( )( ). Oserve que o polinômio Q() pode ser encontrdo fzendo-se divisão do polinômio P() pelo polinômio, ou sej, P() Q(). No eemplo cim, Q(). Oserve ind que, neste cso, o gru de Q() é um menos do que o gru de P(). Divisão de polinômios - lgoritmo de Briot-Ruffini Qundo dividimos dois polinômios, otemos um quociente e um resto d divisão. Isto é, se dividirmos P() por D() (o divisor), vmos oter dois novos polinômios Q() (o quociente) e R() (o resto), de modo que P () D() Q() R(). Eistem lgums técnics pr dividirmos polinômios. Um ds mis utilizds é o lgoritmo de Briot-Ruffini. Est é um técnic prátic, ms que só deve ser utilizd pr efeturmos divisão do polinômio P() por um inômio d form. A eplicção do lgoritmo será feit trvés de um eemplo. Eemplo: Determine o quociente e o resto d divisão do polinômio P() pelo polinômio D(). Sendo riz do inômio D(), pois D() 0, temos que P () ( ) Q() R(). Escrev o polinômio P() com s potêncis em, ordends decrescentemente. Assim, os coeficientes do polinômio P() ordendo e completo são, - e. Escrev estes números em um tel do seguinte modo: riz de D() coeficientes de P() -
3 Copie o primeiro coeficiente de P() n linh io: - Multiplique riz de D() (ou sej, ) por este coeficiente que foi copido (ou sej, ) e dicione o segundo coeficiente de P() (ou sej, -). Coloque o resultdo n segund linh, io do segundo coeficiente de P(). Temos: ( ) e n tel: - - Repit o procedimento pr o próimo número: multiplique riz de D() (ou sej, ) pelo novo número que foi colocdo n segund linh (ou sej, -) e dicione o terceiro coeficiente de P() (ou sej, ). Coloque o resultdo n segund linh, io do terceiro coeficiente de P(). Temos: ( ) 0 e n tel: Pr ler o resultdo otido, temos que seprr o último número clculdo (ou sej, 0). Este é o resto d divisão. Assim, R() 0. Os outros números clculdos são os coeficientes do quociente Q() d divisão, n ordem em que precem. Note que como o gru de Q() é um menos que o gru de P(), então Q() é um polinômio de gru, pois P() é de gru. No eemplo cim, os coeficientes do quociente são e -, ou sej, o quociente é o polinômio Q() (-). Assim, o dividirmos P() - pelo inômio D(), vmos oter o quociente Q() e o resto R() 0. De modo que P () D() Q() R() é ( )( ) 0. Eemplo: Determine o quociente e o resto d divisão do polinômio P() 0 pelo inômio D (). Note que A riz do inômio D() é -.
4 Os coeficientes ordendos e completos do polinômio P() são -, 0, e 0 (lemre de considerr o coeficiente de ) Assim, o dividirmos P() - 0 pelo inômio D(), vmos oter o quociente Q() - 8 e o resto R() 8. De modo que P () D() Q() R() é 0 ( )( 8 ) 8. Eemplo: Determine o quociente e o resto d divisão do polinômio P() - pelo polinômio D(). Note que não podemos plicr diretmente o dispositivo de Briott-Ruffini, já que o polinômio D() - não é d form -. Ms, semos que D() ()( ), e então pr dividir do polinômio P() - pelo polinômio D(), st dividir P() pelo polinômio, e em seguid dividir o resultdo otido por. Dividindo dividir P() - pelo polinômio : Ou sej,, e o resto d divisão foi zero. O próimo psso é dividir - - por : Ou sej, e o resto d divisão foi zero. Portnto. ( )( )
5 Divisão de polinômios - Divisão pelo método ds chves Muits vezes, não podemos plicr o dispositivo cim, ou su plicção pss ser trlhos. Nesses csos, podemos optr por usr o método ásico d divisão (método ds chves) que se prece stnte com divisão lgéric. Este método consiste em fzermos divisão no seguinte formto P() D() R(X) Q() em que, se dividirmos P() por D() (o divisor), vmos oter dois novos polinômios Q() (o quociente) e R() (o resto), de modo que P () D() Q() R(). Eemplo: Divid P() por D(). Primeiro, orgnizmos os dois polinômios como em um cont usul de divisão Divid o termo de mior gru de P() pelo de mior gru de D(): primeiro termo de Q()., otendo-se o Em seguid, multiplic-se o quociente otido () por D(). O resultdo é colocdo, com o sinl trocdo, so os termos semelhntes de P() N colun d esquerd, somm-se os termos semelhntes
6 Repete-se o procedimento, dividindo-se o termo de mior gru de 6 pelo de mior gru de D():, otendo-se o segundo termo de Q(). Em seguid, multiplic-se o quociente otido (-) por D(). O resultdo é colocdo, com o sinl trocdo, so os termos semelhntes de 6, pr então somrmos os termos semelhntes O procedimento se encerr qundo o polinômio d esquerd (que será o resto d divisão) tiver gru menor que do polinômio D(). Assim, pelo procedimento cim, temos que o resto d divisão de P() -9 9 por D() - é zero (R()0) e o quociente é Q() -. Portnto, escrevendo, como ntes, n form P () D() Q() R(), temos 9 9 ( - )( -)0, ou sej, -9 9 ( - )( -). Note que neste cso, o dividirmos 9 9 por -, otemos, ou sej, Eemplo: Divid 6 0 por : 6 0 O procedimento é nálogo o eemplo nterior, lemrndo que pr somr polinômios temos que somr os coeficientes dos termos com o mesmo gru, isto é, somr com, com
7 E, então: , ,5,5 0 Como o gru de,5 0 é menor do que o gru de então divisão está termind e temos que 6 0 ( )(,5),5 0. PRODUTOS NOTÁVEIS N multiplicção de epressões lgérics, lgums vezes é possível determinr o produto sem efetur operção. Nesses csos, os resultdos são conhecidos como produtos notáveis. Qudrdo d som de dois termos ou qudrdo perfeito Oserve figur ABCD formd por dois qudrdos e dois retângulos. O qudrdo ABCD tem 5cm de ldo e su áre é: A B 5 5cm C D Podemos desdorr o qudrdo ABCD em qutro qudriláteros: cm cm cm cm cm cm cm cm
8 Comprndo áre do qudrdo ABCD com som ds áres dos qutros qudriláteros, podemos escreve, ( ).. Portnto: O qudrdo d som de dois termos ( ) é igul o qudrdo do primeiro termo ( ), mis dus vezes o produto do primeiro termo pelo segundo ( ), mis o qudrdo do segundo termo ( ). Escrevemos: ( ) Eemplos: ( ) ( 5) ( ) ( ) Eemplo: Ftore. Note que () ( ) Assim, ( ). Qudrdo d diferenç de dois termos O qudrdo d diferenç de dois termos ( ) é igul o qudrdo do primeiro termo ( ), menos dus vezes o produto do primeiro termo pelo segundo (-), mis o qudrdo do segundo termo ( ). Escrevemos: Eemplos: ( ) ( ) 8 6 ( ) () 9 Produto d som pel diferenç: O produto d som pel diferenç de dois termos (). (-) é igul o qudrdo do primeiro termo ( ) menos o qudrdo do segundo termo (- ). Escrevemos: () ( )
9 Note que epressão cim é verddeir visto que se fizermos distriutiv de ( )( ) oteremos ( )( ). Eemplos: (-). () - (-) () ( )( ) ( ) Cuo d som de dois termos ou cuo perfeito Oserve o desenvolvimento ds potêncis seguir: () ( ) () ( ) () O cuo d som de dois termos () é igul o cuo do primeiro termo ( ), mis três vezes o produto do qudrdo do primeiro termo pelo segundo ( ), mis três vezes o produto do primeiro termo pelo qudrdo do segundo ( ), mis o cuo do segundo termo ( ). Escrevemos: ( ) Eemplos: ( ) Cuo d diferenç de dois termos Oserve o desenvolvimento seguir: ( ) (-) (-) ( ) (-)... (-).. (-) -
10 O cuo d diferenç de dois termos ( ) é igul o cuo do primeiro termo ( ), menos três vezes o qudrdo do primeiro termo pelo segundo (- ), mis três vezes o primeiro termo pelo qudrdo do segundo ( ), menos o cuo do segundo termo (- ). Escrevemos: Eemplos: ( ) ( ) ( ) FATORAÇÃO Definição: Ftorr é trnsformr um epressão lgéric em um produto de ftores. Em gerl, qundo se é pedido pr ftorr um epressão, queremos que epressão sej reescrit como produto de ftores os mis simples possíveis. Temos lgums regrs muito utilizds pr ftorr polinômios e que merecem destque. Ftor Comum () E: 6 ( - ) (ftor comum ) Agrupmento () () () () E: ( ) ( ) ( )( ) Trinômio Qudrdo Perfeito ( ) E: ( ) 6 9 ( ) () ( )
11 Trinômio do Segundo Gru Sejm e rízes d equção do º gru c 0 ( 0), com 0. A som S desss rízes é S / O produto P desss rízes é P. c/ Oservndo esses resultdos, podemos escrever equção do º gru citd: c 0 (dividindo por ) / c/ 0 Assim: S P 0 E: 5 6 ( )( ), já que 5 e 6. Diferenç de dois Qudrdos ( )( ) E: 9 7 ( 7)( 7) 9 () ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) Som e Diferenç de Dois Cuos ( )( ) ( )( ) E: 8 ( )( ) ( )( ) 8 7 () ( ) (() ) ( )( 6 9) Cuo Perfeito ( ) E: ( ) ( ) 6 8 ( ) Polinômio de segundo gru c ( r )( r ), onde r e r são s rízes (comples ou reis) do polinômio c, que podem ser encontrds fcilmente pel fórmul de Bskr ± c r. E: Como r e r são rízes do polinômio 5 6 então 5 6 ( )( ).
12 Como e r são rízes do polinômio então r ( ( ))( ) ( )( ).
13 SIMPLIFICAÇÔES DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS MDC (máimo divisor comum) é ddo pelo produto dos ftores com os menores epoentes. MMC (mínimo múltiplo comum) é ddo pelo produto dos ftores comuns tomdos com os miores epoentes. Eemplo: Simplificr, efetundo s operções indicds: MMC ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( NÃO COMETAM MAIS ESTES ERROS CERTO ERRADO ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) Biliogrfi: ) Iezzi G, Dolce O, Gegenszin D, Périgo R. Mtemátic. Volume único. Atul editor. São Pulo, 00. ) Iezzi G. Fundmentos d Mtemátic Elementr vol.6. Atul editor. São Pulo, 000.
14 EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS ) Encontre s rízes dos polinômios io. ) P() 8 ) G() c) F() ) Divid o polinômio P() pelo polinômio D() e presente o resultdo n form P () D() Q() R() onde R() é o resto e Q() é o quociente. ) P() e D() ) P() e D () c) P() e D() d) P() e D() 5 ) Utilize produtos notáveis pr epndir s epressões io. ) ( ) ) ( 5 ) k) c) ( ) l) ( ) d) ( ) m) e) n) ( ) f) ( 0 ) g) ( ) o) (m) (-m) h) ( 5 ) c d c d p) i) ( s ) j) (m n ) q) ( v) ( v) r) ( ) s s) t) ( c d) u) ( ) v) ( ) w) s ) (m n ) ) (m ) (m ) z) ) Ftore (o máimo) os polinômios io. ) ) z z 5 z z 0z t 0z t 5z t (5z c) 5z c c) ( ) ( ) ( ) d) e) ( ) ( )
15 f) g) n 6 6 n 6 5) Simplifique s epressões io utilizndo s operções necessáris. ) c). d) ). RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS ) ) - e ) 0 e (riz dupl) c) e ) ) Q() ; () 0 ) Q() ; () 0 c) Q () ; R() 5 R portnto, ( )( ) 0 R portnto, ( )( ) 0 portnto, ( )( ) 5 d) Q() ; R () portnto, ( 5)( ) ) ) ) 0 5 k) 9 s) s s s c) l) t) 8c 6c d 5cd 7d d) 9 e) 6 f) 0 00 g) h) 0 5 i) s s m) n) o) -m p) c d 9 q) 9v u) 8 6 v) w) s s s 8 ) 7m -5m n6mn -8n ) m z) j) m mn n r)
16 ) ) z( z 5 z) ) ( ) (5z t ) c) ( 5 z c) d) 9 e) ( ) f) n (6 n ) g) 6 5)) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( )( ) ( ). ( ) ) ( ). ( ) ( ).(-). ( ) ( ). ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ). ( )( )( ) ( ). ( ) ( ).. c). d) ( )( ). ( )
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