Relações Métricas e Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo - bombeiros
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- Ivan Belo de Sequeira
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1 Relções Métrics e Rzões Trigonométrics no Triângulo Retângulo - bombeiros Os ctetos de um triângulo retângulo medem cm e 8cm Nesss condições determine: ) medid "" d ipotenus b) medid "" d ltur reltiv à ipotenus c) s medids "m" e "n" ds projeções dos ctetos sobre ipotenus As projeções dos ctetos de um triângulo retângulo sobre ipotenus medem 9dm e dm Neste cso os ctetos medem: ) dm e 0dm b) 0dm e dm c) dm e dm d) 8dm e dm No triângulo d figur seguir, clcule o vlor de x é: No triângulo ABC, AB =, BC =, CA =, M é ponto médio de AB, e H é o pé d ltur do triângulo ABC do vértice A té bse BC Nesss condições dds, determine o perímetro do triângulo BMH Dois pontos A e B estão situdos n mrgem de um rio e distntes 0 metros um do outro Um ponto C, n outr mrgem do rio, está situdo de tl modo que o ângulo CAB mede 7º e o ângulo ACB mede 7º Determine lrgur do rio Ptrik Onom Étrico, um jovem curioso, observ d jnel do seu qurto (A) um bnc de revists (R), bem em frente o seu prédio, segundo um ângulo de 0º com verticl Desejndo vlir distânci do prédio à bnc, Ptrik sobe seis ndres (proximdmente metros) té o prtmento de um migo seu, e pss vistr bnc (do ponto B) segundo um ângulo de 0º com verticl Clcule distânci d 7 (FGV) Pr levr su muler té o lto do pedestl, ou trzê-l té o cão, o viking us um escd medindo, m A escd fz um ângulo θ com o cão e sbe-se que: senθ = /; cosθ = / e tgθ = / Clcule ltur do pedestl 8 (UFSM) Um estudnte de engenri vê um prédio do cmpus d UFSM construído em um terreno plno, sob um ângulo de 0º Aproximndo-se do prédio mis 0m, pss vê-lo sob um ângulo de 0º Considerndo que bse do prédio está no mesmo nível dos olos do estudnte, então ltur, em metros, do prédio é igul : ) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 8
2 9 Determine o vlor de x no triângulo ddo: 0 No triângulo ABC, os ldos AC e BC medem 8cm e cm, respectivmente, e o ângulo A vle 0º Clcule o seno do ângulo B No triângulo retângulo determine s medids x e y indicds (Use: senº = 0,9; cosº = 0, e tgº =,) Considerndo o triângulo retângulo ABC, determine s medids e b indicds Sendo senx, clcule: ) sen(90º x) b) cos( 90º x) c) cos x d) tgx Nos csos seguir considere x um ângulo gudo ) sendo senx obten senx tgx b) sendo tgx, obten cos x Dê o vlor d expressão: cos ºtgº cos 0ºsen0º cos 0º cos 0º cos º O ldo do qudrdo ABCD, d figur, mede cm e M é ponto médio do ldo CD Nesss condições, o vlor de tn é: ) b) c) d) e) Gbrito: Os ctetos de um triângulo retângulo medem cm e 8cm Nesss condições determine: ) medid "" d ipotenus b) medid "" d ltur reltiv à ipotenus c) s medids "m" e "n" ds projeções dos ctetos sobre ipotenus
3 Solução Utilizndo s relções do triângulo retângulo, temos: ) cm ()(8) ()(8) 7 0 b) ( 0) 8, cm (8) c) i) (8) (0)m m 0,8 cm 0 0 ii) 0 0,8 n n 0 0,8 9, cm As projeções dos ctetos de um triângulo retângulo sobre ipotenus medem 9dm e dm Neste cso os ctetos medem: ) dm e 0dm b) 0dm e dm c) dm e dm d) 8dm e dm Solução Se s projeções medem 9dm e dm, então ipotenus mede (9 + ) = dm Utilizndo s relções métrics, temos: i) (cteto ) ii) (cteto ) ()(9) (cteto ) ()(9) ()() dm ()() (cteto ) ()() ()() 0 dm No triângulo d figur seguir, clcule o vlor de x é: Solução Escrevendo relção de Pitágors pr dois triângulos retângulos determindos pel ltur, temos: i) ii) x (,8) (,) x, 0, 0, 8, x 9 7 No triângulo ABC, AB =, BC =, CA =, M é ponto médio de AB d ltur do triângulo ABC do vértice A o perímetro do triângulo BMH, e H é o pé té bse BC Nesss condições dds, determine Solução Clculndo o vlor d medid x trvés ds relções métrics nos triângulos ABH e AHC, temos: ( x) x 9 8x x 9 x 9 8x x 9 x 0 8x 9 9 x 8 Propriedde: A medin reltiv à ipotenus de um triângulo retângulo vle metde do vlor d ipotenus Demonstrção Considere o triângulo ABC, retângulo em B, sendo M o ponto médio d ipotenus AC Logo, BM é medin reltiv à ipotenus Prolongndo BM tl que BM = MD, temos os triângulos semelntes AMB e CMD Logo, AB = CD e BD = AC Concluímos que AM = BM
4 Voltndo o problem, m = / no triângulo BMH Logo o perímetro pedido é: / + / + = 8cm Dois pontos A e B estão situdos n mrgem de um rio e distntes 0 metros um do outro Um ponto C, n outr mrgem do rio, está situdo de tl modo que o ângulo CAB mede 7º e o ângulo ACB mede 7º Determine lrgur do rio Solução Observe figur e o ângulo ABC vle 80º - (7º + 7º) = 0º A lrgur do rio será ltur do triângulo retângulo formdo Como os ângulos CÂB e ACB são iguis, o triângulo ABC é isósceles Logo AB = BC = 0m Aplicndo rzão trigonométric envolvendo o seno, temos: H sen0º BC sen0º H 0 H 0 0 H 0m Ptrik Onom Étrico, um jovem curioso, observ d jnel do seu qurto (A) um bnc de revists (R), bem em frente o seu prédio, segundo um ângulo de 0º com verticl Desejndo vlir distânci do prédio à bnc, Ptrik sobe seis ndres (proximdmente metros) té o prtmento de um migo seu, e pss vistr bnc (do ponto B) segundo um ângulo de 0º com verticl Clcule distânci d Solução O triângulo ABR é isósceles, com ângulos de 0º, 0º e 0º Logo, AR = m Aplicndo rzão do seno, temos: sen0º sen0º d d d 8 m 7 (FGV) Pr levr su muler té o lto do pedestl, ou trzê-l té o cão, o viking us um escd medindo, m A escd fz um ângulo θ com o cão e sbe-se que: senθ = /; cosθ = / e tgθ = /
5 Clcule ltur do pedestl Solução A ltur é o cteto oposto o ângulo de inclinção d escd e est represent ipotenus do triângulo retângulo Utilizndo rzão do seno, temos sen, sen, ()(,) 9,,9 m 8 (UFSM) Um estudnte de engenri vê um prédio do cmpus d UFSM construído em um terreno plno, sob um ângulo de 0º Aproximndo-se do prédio mis 0m, pss vê-lo sob um ângulo de 0º Considerndo que bse do prédio está no mesmo nível dos olos do estudnte, então ltur, em metros, do prédio é igul : 0 b) 0 c) 0 d) ) 8 Solução Observe figur representndo situção No cso o triângulo obtusângulo é isósceles de ângulos 0º, 0º e 0º Aplicndo rzão trigonométric do seno no triângulo retângulo de cteto e ipotenus 0, temos: 0 sen0º 0 0 m 0 e) 9 Determine o vlor de x no triângulo ddo: Solução Trçndo ltur e utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: y i) ii) iii) x cos 0º y y cm sen0º cm (8 ) 7 x cm 0 No triângulo ABC, os ldos AC e BC medem 8cm e cm, respectivmente, e o ângulo A vle 0º Clcule o seno do ângulo B
6 Solução Trçndo ltur e utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: i) 8 ii) sen0º 8 cm senb senb No triângulo retângulo determine s medids x e y indicds (Use: senº = 0,9; cosº = 0, e tgº =,) Solução Utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: x i) 9 y ii) cos º y 9 9 senº x 9 0,9 x 8,9 0, y, 78 Considerndo o triângulo retângulo ABC, determine s medids e b indicds Solução Utilizndo s rzões trigonométrics convenientes, temos: i) b ii) tg0º b b sen0º Sendo senx, clcule: ) sen(90º x) b) cos( 90º x) c) cos x d) tgx Solução Utilizndo o fto de que se dois ângulos somm 90º o cosseno de um é igul o seno do seu complementr, temos: ) senx cos x cos x sen x cos x 9 9 Logo, sen90º x cos x
7 b) cos90º x senx c) 7 tgx cos x d) Nos csos seguir considere x um ângulo gudo ) sendo senx obten senx tgx Solução Utilizndo relção fundmentl, temos: senx i) sen x cos x cos x cos x ii) tgx iii) senx senx cos x tgx 0 b) sendo tgx, obten cos x Solução Utilizndo relção fundmentl, temos: tgx i) tgx ii) sen senx cos x x cos cos senx cos x x x cos senx cos x cos x cos cos x x cos x cos x cos x x cos cos x x Dê o vlor d expressão: cos ºtgº cos 0ºsen0º cos 0º cos 0º cos º Solução Utilizndo s relções trigonométrics, temos:
8 senº cos º (sen0º )sen0º cos º senº sen 0º sen 0º cos 0º cos º cos º O ldo do qudrdo ABCD, d figur, mede cm e M é ponto médio do ldo CD Nesss condições, o vlor de é: tn ) b) c) d) e) Solução Observndo figur e os ângulos indicdos, temos: x x 80º x 80º x 90º i) y x y 90º ii) tgy tg
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