Cálculo III-A Módulo 3 Tutor

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1 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic eprtmento de Mtemátic Aplicd Cálculo III-A Módulo Tutor Eercício 1: Clcule mss totl M, o centro d mss, de um lâmin tringulr, com vértices,, 1, e, se função densidde é δ, 1++. Solução: O esboço d lâmin está representdo n figur que se segue., si em , entr em escrição de como tipo I: { 1 Temos que :. A mss d lâmin é dd por: ] M δ, da 1++ dd [ + + d [ d [ ] 1 8. ] d 1 +d O centro de mss, é tl que M δ, da e M 1++ δ, da. d 1 d Cálculo de δ, da :

2 Cálculo III-A Módulo Tutor Temos, δ, da 1++ da + + da + + dd [ d 1 1+ d [ + + ] d 1 d ] 1 d 1 + d + + d [ ] 1 d Cálculo de δ, da : Temos, δ, da [ + ] da d 1 [ d dd ] + d d d d [ ] Substituindo cim temos: 8 1 e portnto e Logo, o centro de mss é o ponto /8,11/

3 Cálculo III-A Módulo Tutor Eercício : A densidde em qulquer ponto de um lâmin semicirculr é proporcionl à distânci do centro do círculo. etermine o centro de mss d lâmin. Solução: Vmos considerr lâmin como metde superior do disco +. Então, distânci do ponto, o centro do disco origem é +. Portnto, função densidde é: δ, k + onde k > é um constnte. A mss d lâmin é: M δ, da k + da k + da Pssndo pr coordends polres temos + r, da rdrdθ e rθ : Então, M k r r drdθ k r drdθ k rθ rθ r π dθdr kπ r dr kπ { r θ π. [ r ] kπ. O centro de mss, é tl que M δ, da e M δ, da. Cálculo de δ, da : Temos que δ, da k + da pois função + é ímpr n vriável e tem simetri em relção o eio. Assim,. Cálculo de δ, da :

4 Cálculo III-A Módulo Tutor Temos que Assim logo k δ, da k π r senθ dθdr k + da k r [ cosθ kπ rθ rsenθ r r drdθ ] π k dr k π. Portnto, o centro de mss está loclizdo no ponto, /π. [ r r dr k ] k. Eercício : etermine os momentos de inérci I, I e I do disco homogêneo, com densidde δ, δ, centro n origem e rio. Solução: O esboço d região está representdo n figur que se segue. O momento de inérci I é ddo por: I δ, da δ da. { r Temos rcosθ, rsenθ, da rdrdθ e rθ : θ π. Então, π [ I δ r sen θ r drdθ δ sen θ r r ] drdθ δ rθ δ 1 [ θ senθ ] π δπ. O momento de inérci I é ddo por: I δ, da δ δ π cos θ da δ r drdθ δ 1 [ θ+ senθ π rθ r cos θ r drdθ ] π δπ. sen θ dθ

5 Cálculo III-A Módulo Tutor 5 Como I I +I então: I δπ. Eercício : Um lâmin delgd tem form d região, que é interior à circunferênci + e eterior à circunferênci +. Clcule mss d lâmin se densidde é dd por δ,,z + 1/. Solução: e + ou + e + temos portnto 1. Logo, 1, e 1, são s interseções. Assim, o esboço d lâmin está representdo n figur que se segue. α 1 tgα α π/ A mss d lâmin é dd por: M δ,da + 1/ da. Pssndo pr coordends polres temos + r e da rdrdθ. escrição de em coordends polres: Efetundo um vrredur em, no sentido nti-horário, prtir d ret, onde θ π/ té ret, onde θ π/, vemos que θ vri de π/ té π/. Trnsformndo s equções ds circunferêncis pr coordends polres temos, + r r + r rcosθ r r cosθ

6 Cálculo III-A Módulo Tutor 6 Então r cosθ, isto é, rθ é ddo por rθ : M π/ π/ cosθ π/ π/ cosθ dθ sen π π r 1/ rdrdθ π/ { π/ θ π/ r cosθ. Assim, π/ cosθ [ ] π/ senθ θ π/ sen π π + π π + π π π u.m. 1 r rdrdθ Eercício 5: Um plc fin está limitd pel circunferênci + etem densidde δ, + +. Mostre que o seu momento de inérci polr é ddo por: I M 1 ln, onde ln M é su mss. Solução: O esboço d plc está representdo n figur que se segue. A mss M d plc é dd por: M δ,da + + da. Pssndo pr coordends polres teremos + r, da rdrdθ e rθ, que é descrição de

7 Cálculo III-A Módulo Tutor 7 nesss coordends é rθ : M π rθ { θ π r. Então, π +r rdrdθ r dθdr +r r +r dr π[ ln +r ] π ln + ln π ln ln π ln+ln ln π lnu.m. O momento de inérci polr é ddo por: I + δ,da como querímos mostrr da da 1 da + + da da + + da A M π π ln π 1 ln π 1 ln ln ln π 1 ln ln M 1 ln ln ln Eercício 6: Um lâmin tem form semicirculr +, com. A densidde é diretmente proporcionl à distânci do eio. Ache o momento de inérci em relção o eio. Solução: O esboço d lâmin está representdo n figur que se segue.

8 Cálculo III-A Módulo Tutor 8 Por hipótese, temos que densidde em, é δ, k. O momento de inérci em relção o eio é ddo por: I δ, dd k dd k dd onde, como tipo I, é ddo pels desigulddes : I k k [ dd k [ + d k k k5 15. ] {. Então, d k ] + 5 k 5 d Eercício 7: Um lâmin tem form de um triângulo retângulo isósceles, com ldos iguis de comprimento. Ache mss, se densidde em um ponto P é diretmente proporcionl o qudrdo d distânci de P o vértice oposto à hipotenus. Solução: É conveniente considerr o sistem de eios coordendos, pssndo pelos ctetos com o vértice n origem. si em entr em

9 Cálculo III-A Módulo Tutor 9 Por hipótese, densidde em, é δ, k + k + onde k > é um constnte. Como M δ, da, então M k + da, onde, como tipo I, é dd { por :. Logo, M k + ] ] dd k [ + d k [ + d ] k [ + + d k 6 + d k ] [ + k + k u.m. 6