Cálculo IV EP5 Tutor

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1 Eercício : Calcule esfera + + =. Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP Tutor + dv, onde é a região interior ao cilindro + = e à Solução: De + + = e + =, temos =, donde = ± e + =. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. sai em = p entra em = p Da figura vemos que = {,,, D : + e }. Passando para coordenadas ciĺındricas, temos: { + = r dv = r dr dθ d e é descrito por θ π rθ : r r r

2 Cálculo IV EP Tutor Logo, + dv = r r drdθd = rθ = π r r r ddr = π r r dr. r r π r dθddr = Faendo u = r, teremos du = r dr e r = u. Para { r = r = teremos = π { u = u =. Assim: + dv = π uu / du = π [ 8 = π u / u / du = π [ u/ ] u/ = 8 8 ] 9 = 6 = π = π 6. u / u / du = Eercício : Calcule =. + dv, onde é a região limitada por = + e Solução: De = + e =, temos + = 8, donde + = e =. O que significa que a interseção ocorre no plano = segundo a circunferência + =. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. sai em = entra em = +

3 Cálculo IV EP Tutor Da figura, vemos que = {,,, D : + e + }. Vamos calcular a integral usando coordenadas ciĺındricas. Temos { + = r = r dv = r dr dθ d θ π com r,θ, rθ, onde rθ é dado por r. Dessa forma, r r = π + dv = r r drdθd = rθ r r r [ r ] = π r = π ddr = π [ ] r r r r r r + dr = π = 6 π. π dθddr = r r dr = Eercício : Use a integral tripla para calcular o volume do sólido acima do parabolóide = + e abaio do cone = +. Solução: De = + e = + ou = + temos = ou = ou = donde = ou =. Logo, as superfícies se interceptam em,, e também no plano =, segundo a circunferência + =. Com isso, o esboço do sólido está representado na figura que se segue. sai em = p + entra em = + Da figura vemos que = {,,, D : + e + } +.

4 Cálculo IV EP Tutor Temos por integral tripla que V = ciĺındricas. Temos: com r,θ, rθ, onde rθ é dado por V = r drdθd = rθ = π r r r dr = π Eercício : Calcule dv. Vamos calcular a integral utiliando coordenadas = r cos θ = r sen θ = ddd = dv = r dr dθ d r π r r θ π r r r dθddr = π r r dr = π [ r. Logo, o volume será: r ] r r ddr = r = π = π 6 u.v. + + dv, sendo a região limitada superiormente pela esfera + + = 6 e inferiormente pelo cone = +. Solução: De + + = 6 e = + ou = +, temos + = 6 ou + = 8 e =. Logo, a interseção é uma circunferência contida no plano = de centro,, e raio. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. sai em ρ = D entra em ρ =

5 Cálculo IV EP Tutor Vamos passar para coordenadas esféricas: = ρ sen φ cos θ = ρ sen φ sen θ = ρ cos φ dv = ρ sen φ dρdφdθ + + = ρ. Descrição de em coordenadas esféricas Como a projeção de no plano é o disco D : + 8, então θ π. Por um ponto P no interior de consideramos a semirreta OP. Vemos que ela entra na origem onde ρ = e sai de em um ponto da esfera + + = 6, onde ρ =. Logo, ρ. Finalmente, efetuando uma varredura no sólido a partir do eio positivo onde φ =, vemos que esta varredura finalia na parede do cone = +, onde φ = π. Assim, φ π. Portanto, a descrição de em coordenadas esféricas é: θ π ρφθ = ρ φ π Assim, + + dv = ρ ρ sen φ dρdφdθ = ρφθ = π/ = π sen φ [ ρ ] π/ = π ρ π dθdρdφ = π sen φ dφ = π = π [. π/ sen φ ] π/ cos φ = ρ dρdφ = Eercício : Calcule o volume do sólido que está dentro da esfera + + =, acima do plano = e abaio do cone = +. Solução: De + + = e = + ou = + temos = ou + =, donde + = e =. Logo, a interseção é a circunferência + = contida no plano =. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue.

6 Cálculo IV EP Tutor 6 Descrição de em coordenadas esféricas Como a projeção de sobre o plano é o disco D : +, então θ π. Considerando uma semirreta pela origem, no interior de, vemos que ela entra em na origem, onde ρ = e sai de em um ponto da esfera + + =, onde ρ =. Logo, ρ. Temos = + = + ρ cos φ = ρ sen φ ρ cos φ = ρ sen φ tg φ = φ = π. Efetuando uma varredura em, ela começa na parede do cone, onde φ = π/ e termina no plano =, onde φ = π/. Logo, π/ φ π/. Assim, temos θ π ρφθ ρ. π/ φ π/ Temos: V = dv = ρ sen φ dρdφdθ = ρφθ ρ π/ π/ π sen φ dθdφdρ = = π π/ ρ sen φ dφdρ = π π/ [ ρ [ cos φ] π/ π/ dρ = π ρ ] = 8π u.v.

7 Cálculo IV EP Tutor 7 Eercício 6: Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral. π/ π sec φ ρ sen φ dρdθdφ Solução: Essa integral iterada é uma integral tripla sobre a região descrita em coordenadas esféricas por: ρφθ : {ρ,φ,θ φ π/, θ π, ρ sec φ}. Das coordenadas esféricas temos = ρ cos φ, + = ρ sen φ e dv = ρ sen φ dρdφdθ. Logo: φ = π tg φ = sen φ cos φ = sen φ = cos φ ρ sen φ = ρ cos φ + = = + cone e, também, ρ = sec φ ρ = cos φ Assim, o sólido é limitado inferiormente pelo cone = e sua projeção no plano é o disco D : +. = = plano horiontal + e superiormente pelo plano = D Temos então que: π/ π sec φ ρ sen φ dρdθdφ = ρ sen φ dρdφdθ = ρφθ = volume do cone = área da base altura = π = π. dv =

8 Cálculo IV EP Tutor 8 Eercício 7: Verificar que o centro de massa de uma esfera de raio coincide com o seu centro, sabendo-se que a sua distribuição de massa é homogênea. Solução: Vamos escolher os eios coordenados de forma que a origem seja o centro da esfera de raio. Logo, o sólido é limitado pela superfície + + =. Como a distribuição de massa é homogênea, então o centro de massa,, é dado por V = dv,v = dv e V = dv onde V = π = π. Passando para coordenadas esféricas, temos = ρ sen φ cos θ, = ρ sen φ sen θ, = ρ cos φ, dv = ρ sen φ dρdφdθ e ρφθ : ρ, φ π, θ π. Então = π dv = ρ sen φ cos θρ sen φ dρdφdθ = ρφθ sen φ dv = π ρ cos θ dθ dρdφ = }{{} π sen φ = = π ρ sen θ dθ dρdφ = }{{} dv = ρ cos φρ sen φ dρdφdθ = ρφθ ρ π π cos φ sen φ dφdθdρ = π [ ρ sen φ }{{} = ] π dθdρ =. Então,,, =,,, centro da esfera.

9 Cálculo IV EP Tutor 9 Eercício 8: Calcule o momento de inércia em relação ao eio do sólido limitado por = e =, sabendo que a densidade em um ponto é proporcional à distância de P ao plano. Solução: O esboço de está representado na figura que se segue. Temos I = + δ,, dv, onde δ,, = k = k pois. Logo, I = k + dv. Passando para coordenadas ciĺındricas, temos I = k r r drdθd = k r drdθd rθ rθ onde rθ é dado por Logo: I = k = kπ r r = kπ [r r6 r rθ : θ π. r π dθddr = kπ r 6 8r + r dr = kπ ] + r8 8 = 6 kπ + = kπ 6 = 6 kπ [ r ] r dr = 6r 8r + r 7 dr = = kπ. + 8 = 8