Coordenadas esféricas

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA Assunto: Integrais triplas. Coordenadas esféricas Palavras-caves: integrais triplas, coordenadas esféricas,cálculo de volume Coordenadas esféricas Seja P (x, y, z) um ponto do espaço R em que x, y e z são coordenadas cartesianas de P. As coordenadas esféricas de P são os números θ, ρ e ϕ em que θ é o ângulo (medido no sentido anti-orário) entre o semi-eixo positivo x e o segmento de extremidades em (,, ) e (x, y, ), ρ é a distância entre os pontos (,, ) e P e ϕ é o ângulo (medido no sentido anti-orário) entre o semi-eixo positivo z e o segmento de extremidades em (,, ) e P. Vamos denotar por d a distância entre a origem e o ponto (x, y, ). Temos que sin ϕ d d ρ sin ϕ ρ cos θ x d x d cos θ x ρ sin ϕ cos θ, sin θ y d y d sin θ Logo, y ρ sin ϕ sin θ. E cos ϕ z ρ z ρ cos ϕ as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas se relacionam como segue x ρ sin ϕ cos θ y ρ sin ϕ sin θ z ρ cos ϕ

2 Consideremos a função ϕ(θ, ρ, ϕ) (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ) e o conjunto E θρϕ {(θ, ρ, ϕ) R ; θ π, ρ r, ϕ π} em que r. A função ϕ transforma o conjunto E θρϕ na esfera E de centro na origem e raio r. Vamos calcular o determinante jacobiano da função ϕ. (x, y, z) (θ, ρ, ϕ) x θ y θ z θ x ρ y ρ z ρ x ϕ y ϕ z ϕ ρ sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ ρ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ cos ϕ ρ sin ϕ ρ sin ϕ sin θ + ρ sin ϕ cos ϕ sin θ + ρ sin ϕ cos θ + ρ sin ϕ cos ϕ cos θ ρ sin ϕ[sin ϕ sin θ + cos ϕ sin θ + sin ϕ cos θ + cos ϕ cos θ] ρ sin ϕ[sin ϕ(sin θ + cos θ) + cos ϕ(sin θ + cos θ)] ρ sin ϕ[sin ϕ + cos ϕ] ρ sin ϕ (x, y, z) (θ, ρ, ϕ) ρ sin ϕ Assim, aplicando-se coordenadas esféricas à fórmula de mudança de variável na integral tripla, obtemos f(x, y, z) dxdydz f(ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ)ρ sin ϕ dθdρdϕ E E θρϕ Exemplo Calcule B e (x +y +z ) dv, onde B é a bola unitária B {(x, y, z) R ; x + y + z } Resolução:

3 Para que um ponto P, com coordenadas esféricas θ, ρ e ϕ, percorra toda bola unitária B, devemos ter Para temos que θ π ρ ϕ π x ρ sin ϕ cos θ y ρ sin ϕ sin θ z ρ cos ϕ x + y + z (ρ sin ϕ cos θ) + (ρ sin ϕ sin θ) + (ρ cos ϕ) ρ sin ϕ cos θ + ρ sin ϕ sin θ + ρ cos ϕ ρ [sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + cos ϕ] ρ [sin ϕ(cos θ + sin θ) + cos ϕ] ρ [sin ϕ + cos ϕ] ρ B e (x +y +z ) d e (ρ ) ρ sin ϕ dθdρdϕ B θρϕ B θρϕ π e ρ ρ sin ϕ dθdρdϕ e ρ ρ sin ϕ dρdϕdθ Temos que e ρ ρ sin ϕ dρ sin ϕ sin ϕ [ e ρ] [ ] e ρ ρ dρ sin ϕ eρ sin ϕ(e ) e sin ϕ [ e e ] sin ϕ Logo, B e (x +y +z ) d π e sin ϕ dϕdθ e π sin ϕ dϕdθ

4 Temos agora que, π sin ϕ [ ] π cos ϕ [ cos π + cos ] [ + ] B e (x +y +z ) d e dθ e [ ] π θ e [.π.] π(e ) Exemplo Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que ca acima do cone z x + y e abaixo da esfera x + y + z z. Resolução: A equação x + y + z z pode ser reescrita como segue x + y + z z x + y + z. ( ( ).z + ( (x ) + (y ) + z ) ( essa equação representa a esfera de centro no ponto A equação dessa esfera em coordenadas esféricas é dada por ) ) (,, ) e raio. (ρ sin ϕ cos θ) + (ρ sin ϕ sin θ) + (ρ cos ϕ) ρ cos ϕ ρ ρ cos ϕ ρ cos ϕ A equação do cone z x + y em coordenadas esféricas é dada por ρ cos ϕ (ρ sin ϕ cos θ) + (ρ sin ϕ sin θ) ρ sin ϕ cos θ + ρ sin ϕ sin θ ρ sin ϕ(cos θ + sin θ) ρ sin ϕ cos ϕ sin ϕ. Como ϕ π, temos que ϕ π. Logo ϕ π é a equação do cone z x + y em coordenadas esféricas.

5 Para melor visualização do sólido, que vamos denotar por E, determinemos a intersecção da esfera com o cone, embora isso não seja necessário para o cálculo da integral { { z x + y + z z x y z z x y z x + y Somando membro a membro essas duas igualdades, obtemos: z z z z z(z ) z ou z Para z, obtemos x + y. Logo x y. (,, ) é um ponto de intersecção da esfera com o cone. Para z, obtemos x y. z x + y ( ) a esfera e o cone também se interceptam na circunferência de centro no ponto (,, ), raio e contida em um plano paralelo ao plano xy. Esse sólido pode ser descrito, em coordenadas polares, por { (θ, ρ, ϕ); θ π, ρ cos ϕ, ϕ π } volume de E E dxdydz E θρϕ dθdρdϕ π cos ϕ ρ sin ϕ dρdϕdθ Temos que cos ϕ ρ sin ϕ dρ sin ϕ cos ϕ [ ρ ρ dρ sin ϕ [ π ] cos ϕ ] sin ϕ cos ϕ dϕ dθ sin ϕ [ ρ ] cos ϕ sin ϕ cos ϕ Calculemos a integral interna 5

6 π sin ϕ cos ϕ dϕ π sin ϕ cos ϕ dϕ [ ] π cos ϕ ( ) [ ] 6 [ ] π cos ϕ [ cos π ] cos [ ] Logo, 6 dθ 6 dθ 6 [ ] π θ 6 [π ] π 8 Exemplo Use a integral tripla para calcular o volume da esfera de raio r. Resolução: Consideremos a esfera E de raio r e centro na origem Temos que volume da esfera E dxdydz Vamos usar coordenadas esféricas. Para isso, devemos considerar o seguinte conjunto E θρϕ {(θ, ρ, ϕ) R ; θ π, ρ r, ϕ π} e, assim, temos, θρϕ E ρ sin ϕ dθdρdϕ π r ρ sin ϕ dρdϕdθ Temos que, r ρ sin ϕ dρ sin ϕ r [ ρ ρ dρ sin ϕ ] r [ ] r sin ϕ r sin ϕ Então, π r sin ϕ dϕdθ r π sin ϕ dϕdθ Agora temos que, 6

7 π sin ϕ dϕ [ ] π cos ϕ [ cos π + cos ] [ + ] r [ ] π dθ r θ r [.π.] πr Exemplo Use integrais triplas para determinar o volume do cone circular reto de altura e raio da base r. Resolução: Consideremos o cone da gura Por semelança de triângulo, obtemos r ρ z z r ρ Vamos usar coordenadas cilíndricas. Para que um ponto P percorra todo o cone é necessário que as suas coordenadas cilíndricas variem nos seguintes intervalos Denotando por C o cone, devemos ter então θ π ρ r r ρ z C θρz {(θ, ρ, z) R ; θ π; ρ r, r } ρ z Temos então volume do cone C Temos que, dxdydz C θρz ρ dθdρdz r ρ dzdρdθ r ρ ρ dz ρ r ρ [ dz ρ z r ρ ] ρ [ r ] ρ r ρ ρ r ρ Assim, r (ρ r ρ ) dρdθ 7

8 Logo, r (ρ r ρ ) [ dρ ρ ] r r ρ r r r r ( r ) r 6 r 6 r dθ 6 r dθ ] π [θ 6 r 6 r [π ] πr 8