Exercícios Resolvidos Mudança de Coordenadas

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1 Instituto uperior écnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Eercícios Resolvidos Mudança de Coordenadas Eercício Considere o conjunto {(, R : < < ; < < + } e a função g : R R definida por g(, (,. i Mostre que g é uma mudança de coordenadas. ii Calcule o integral dd usando a mudança de coordenadas g. Resolução: i A função g, polinomial em cada uma das suas coordenadas, é claramente de classe C. A função g é injectiva. De facto, se g(, g(,, então (, (, e, portanto, ;. A derivada de g é representada pela matri [ Dg(, ] e, portanto, det Dg(,. Assim, g é uma mudança de coordenadas em R. ii Da descrição do conjunto temos < < ; < <, e faendo (u, v g(,, obtemos < u < ; < v <. eja {(u, v R : < u < ; < v < }. Então, g (. Na Figura estão representados os conjuntos e. Note-se que é um intervalo em R e, portanto, é vantajoso mudar o domínio de integração de para. Note-se também que a mudança de coordenadas adequada é g e que det Dg (u, v det Dg((u, v, (u, v.

2 Pfrag replacements Pfrag replacements u v v u Figura : Portanto, dd u det Dg (u, v dudv. ( u du u dv du Eercício. Mostre que a função de R em R, definida pela epressão { u v +, é uma mudança de coordenadas.. endo {(, R : > ; > ; < }, calcule o integral e + dd, usando a mudança de coordenadas da alínea anterior. Resolução:. eja g a função definida por (u, v g(, (, +. Então, (a g é de classe C, uma ve que é contínua e as funções u ; u ; v ; v são contínuas. (b g é injectiva. De facto, { u v + { u v u, (c isto é, g é invertível e g (u, v (u, v u. det Dg(, [ ].

3 Portanto, g é uma mudança de coordenadas.. Para usar a função g deveremos determinar o conjunto g(. Note-se que {(, R : > ; + > ; + < } e, portanto, {(u, v R : u > ; < v < u}. Na Figura estão representados os conjuntos e. Pfrag replacements u v v u Pfrag replacements v v u u Figura : Note-se que a mudança de coordenadas adequada é g e que det Dg (u, v det Dg((u, v, (u, v. Aplicando o eorema da Mudança de Coordenadas, teremos e + dd e v det Dg (u, v dudv ( u e 4. (e u du e v dv du Eercício Considere o conjunto {(,, R : < < ; < < ; < < + } e a função g : R R definida por g(,, (,,. i Mostre que a função g é uma mudança de coordenadas. ii Use a mudança de coordenadas g para calcular o integral + ddd.

4 Resolução: i A função g, sendo polinomial, é claramente de classe C. A função g é injectiva. De facto, se g(,, g(,, então (,, (,, e, portanto, ; ;. A derivada de g é representada pela matri Dg(,, e, portanto, det Dg(,,. Assim, g é uma mudança de coordenadas em R. ii Da descrição do conjunto temos < < ; < < ; < <, e, faendo (u, v, w g(,,, obtemos < u < ; < v < ; < w <. Note-se que, através da função g, ao conjunto corresponde o intervalo g( {(u, v, w R : < u < ; < v < ; < w < }. Portanto, + ddd. ( ( ( + u du w + u dw du + u dv dv du Eercício 4 Determine o volume do conjunto {(,, R : > ; > ; + < < + } usando uma mudança de coordenadas apropriada. Resolução: O conjunto apresenta simetria cilíndrica em torno do eio O e encontra-se representado na Figura. 4

5 Consideremos as coordenadas cilíndricas (, θ, definidas por cos θ sen θ. Das inequações + < < +, obtemos < <, e das condições > ; >, concluimos que < θ <. Pfrag replacements Pfrag replacements Figura : O conjunto e respectivo corte segundo θ fio As superfícies dadas por e por, intersectam-se para ou. Portanto, temos < < < θ < < <. O conjunto representado na Figura é o corte em segundo θ fio. Faendo rodar em torno do eio O, obtemos o conjunto. endo o jacobiano da função (, θ, (,,, aplicando o eorema da Mudança de Coordenadas, obtemos / ( ( vol( d d / ( ( d 4. Eercício 5 Calcule as coordenadas do centróide do sólido V {(,, R : + + ;, ; ; + }, usando uma mudança de coordenadas apropriada. 5

6 Resolução: O sólido tem simetria cilíndrica em torno do eio O. Por isso, convém considerar coordenadas cilíndricas em torno deste eio: cos θ sen θ. Nestas coordenadas o sólido passa a ser descrito pelas condições seguintes: + sen θ cos θ. A segunda e terceira condições traduem-se simplesmente em θ. Na Figura 4 encontra-se Pfrag replacements V Pfrag replacements V Figura 4: O sólido V e respectivo corte segundo θ fio representado o sólido V bem como um corte em V segundo θ fio. Assim, teremos vol(v ( + ( d + dd + ( d dd Por simetria, uma ve que o sólido não se altera trocando as coordenadas e, temos. A coordenada é calculada da forma seguinte: V vol(v 96 ( + 7 ( 96 cos θ 7 8( 85. cos θdd + ( + d + ( d cos θdd 6

7 Da mesma forma se calcula a coordenada : V 96 ( + vol(v 7 ( 96 + d + 7. dd + ( d dd Eercício 6 Calcule o momento de inércia, relativo ao eio O, do sólido V {(,, R : + + ; + }, sabendo que a densidade de massa é a função α(,,. Resolução: O sólido tem simetria cilíndrica em torno do eio O. Por isso, convém considerar coordenadas cilíndricas em torno deste eio: cos θ sen θ. O sólido V é a intersecção da região eterior a dois cones, unidos na origem pelos vértices, e da região interior ao cilindro vertical de raio centrado na origem. O cone superior é descrito pela equação + e o cone inferior pela equação +. Nas coordenadas cilíndricas o sólido V define-se da seguinte forma: ;. Na Figura 5 encontra-se representado um corte em V, segundo θ fio. Pfrag replacements Figura 5: Corte em V segundo θ fio A distância d(,, de um ponto (,, V ao eio O é dada por d(,, (,, +. 7

8 Assim, pela definição de momento de inércia, temos: ( ( I α(,, d (,, ddd V ( 7. (sen θ (sen θ d ( 6 d d Eercício 7 Determine o volume do conjunto {(,, R : > ; > ; < < + ; + + < }, usando uma mudança de coordenadas apropriada. Resolução: O conjunto é limitado pelo cone + e pela esfera + + e, portanto, apresenta tanto simetria cilíndrica como simetria esférica e encontra-se representado na Figura 6. Pfrag replacements Figura 6: Esboço do conjunto. Coordenadas esféricas: Nas coordenadas esféricas (r, θ, φ, as condições > ; > traduem-se em < θ <. Das inequações < < +, obtemos 4 < φ <. Da inequação + + < concluimos que < r <. Portanto, em coordenadas esféricas, é descrito pelas condições < r < < θ < 4 < φ <. 8

9 Do eorema da Mudança de Coordenadas, obtemos ( ( vol( r sen φ dφ dr. Coordenadas cilíndricas:. 4 ( r sen φdφ dr Consideremos as coordenadas cilíndricas (, θ, em que +. Dado que > ; >, então Das inequações < < +, obtemos e da inequação + + <, temos 4 < θ <. < < + <, ou seja, <. As superfícies (plano e + (esfera intersectam-se em. As superfícies (cone e + (esfera intersectam-se segundo. Pfrag replacements Figura 7: Corte em segundo θ constante Portanto, em coordenadas cilíndricas, é descrito pelas condições < θ < < < < <. Na Figura 7 está representado um corte em segundo θ fio. 9

10 Do eorema da Mudança de Coordenadas, temos ( ( vol( d d. ( ( d Eercício 8 Considere o sólido {(,, R : < ( + ; + + < 4 ; + > ; > }.. Calcule o volume de usando coordenadas esféricas.. Assumindo que a densidade de massa de é a função f(,, +, calcule o momento de inércia de relativo ao eio O, usando coordenadas cilíndricas. Resolução: O sólido encontra-se representado na Figura 8. Pfrag replacements Figura 8: Esboço do sólido. O volume de é dado pelo integral vol( ddd. Em coordenadas esféricas (r, θ, φ, o conjunto descreve-se da seguinte forma: < ( + r cos φ < r sen φ tan φ > < φ < + + < 4 r < + > r sen φ > r > sen φ > r sen φ sen θ > sen θ > < θ <.

11 Assim, teremos vol( ( ( ( 8 ( 8 ( r sen φdr sen φ ( 8 sen φ ( cos + cos. dφ sen φ dφ + cos φ sen φ. O momento de inércia de em relação ao eio O é dado pelo integral I + ( + ddd vol(. Em coordenadas cilíndricas (, θ, φ, o conjunto descreve-se da forma seguinte: < ( + < r < r + + < 4 r + < 4 + > r > > < θ <. Pfrag replacements r + 4 r r Figura 9: Corte em com θ fio Portanto, tendo em conta o corte em com θ fio, o momento de inércia é dado por ( ( r ( 4 r I rd dr + rd dr ( r r dr + r 4 r dr (4 r ( 8. 4 r