Exercícios Resolvidos Esboço de Conjuntos. Cortes

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1 Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Eercícios Resolvidos Esboço de Conjuntos. Cortes Eercício Descreva detalhadamente os cortes perpendiculares aos eios coordenados sobre o sólido = {(,, ) R 3 : + + < ; > ; > ; > }. Resolução: Na Figura encontra-se um esboço do conjunto em que se representam os planos descritos pelas equações + + = ; = ; = ; =. + + = / = / + = Figura : Esboço do sólido Note-se que no plano = as rectas = e + = intersectam-se no ponto de coordenadas (,, ). Portanto, para descrever os cortes em, perpendiculares aos eios coordenados, devemos fiar a variável no intervalo ], [ e cada uma das variáveis e no intervalo ], [. < < / + + = + = + = = = Figura : Corte em perpendicular ao eio O. Fiando a variável no intervalo ], [ obtemos o corte em, descrito pelas inequações e que se representa na Figura. + < ; > ; >,

2 < < + + = + = + = = Figura 3: Corte em perpendicular ao eio O. Para obter o corte em perpendicular ao eio O fiamos a variável no intervalo ], [. A respectiva descrição é dada pelas inequações + < ; > ; >, e a sua representação gráfica encontra-se na Figura 3. < < + + = + = / + = = Figura : Corte em perpendicular ao eio O para < < 3. Dado que > ; > ; > ; >, da inequação + + <, obtemos < <. Portanto, sendo >, para fiar no intervalo ], [, devemos considerar dois casos:

3 < < + + = + = = / + = Figura 5: Corte em perpendicular ao eio O para < < Para < <, temos o corte descrito por e que se representa na Figura. < ; + < ; >, Para < <, a condição > é supérflua e o corte perpendicular ao eio O é descrito pelas inequações e representado na Figura 5. + < ; > ; >, Eercício Esboce detalhadamente o conjunto = {(,, ) R 3 : ; ; ; + }. Resolução: Os conjuntos descritos pelas equações = + + () = + () são superfícies de revolução em torno do eio O. Note-se que r = + é a distância de um ponto (,, ) ao eio coordenado O. Assim, para esboçar o conjunto definido pelas condições ; ; + + +, (3) basta considerar a intersecção das superfícies () e () com o plano coordenado O tal como se ilustra na Figura 6. A região descrita em (3) é a que se obtém rodando a Figura 6 em torno do eio O sobre o primeiro quadrante do plano O. Ou seja, é a região entre os gráficos dos parabolóides de revolução () e () sobre o quarto de círculo + ; ;. 3

4 = + (, ) = Figura 6: Intersecção das superfícies com o plano coordenado O + = Figura 7: O plano + = no primeiro octante O conjunto é a porção desta região que se encontra sob o plano + = () cuja intersecção com o primeiro octante é descrita na Figura 7. Assim, é limitado inferiormente pelo parabolóide () e superiormente pelo parabolóide () ou pelo plano (). Resta agora determinar a região do plano O sobre a qual é limitado superiormente pelo plano () e a região sobre a qual é limitado superiormente pelo parabolóide (). Para isso é necessário calcular a intersecção do plano com os parabolóides. A intersecção do plano () com o parabolóide () é descrita por { = + = { + + = = { + ( + ) = 5 = e, portanto, a projecção desta intersecção no plano O é o arco de circunferência + ( + ) = 5 ; ;. A intersecção do plano () com o parabolóide () é descrita por { = + + = { + + = = { + ( + ) = =.

5 endo a projecção desta intersecção no plano O o arco de circunferência + ( + ) = ; ;. Estas projecções estão representadas na Figura 8. (,, ) 5 I II 5 II + ( + ) = 5 I + ( + ) = 5 + ( + ) = (,, ) + ( + ) = Figura 8: Esboço de e respectiva projecção no plano O Na região I, é o conjunto de pontos entre os dois parabolóides e na região II é o conjunto de pontos entre o parabolóide () e o plano (). Na Figura 8 encontra-se o esboço do conjunto. Eercício 3 Esboce o subconjunto situado no primeiro octante de R 3 e limitado pelos planos + + = 3 ; + = ; =. Descreva os cortes em perpendiculares aos eios coordenados. Resolução: Do sistema de equações { + + = 3 + =, obtemos { + = =, ou seja, os planos + + = 3 e + = intersectam-se segundo a recta definida por + = ; =. Esta recta intersecta o plano coordenado = no ponto (,, ). Os planos = e + + = 3 intersectam-se segundo a recta definida por + = ; =. Esta recta intersecta o plano = no ponto (,, ). Note-se também que o plano definido por + = passa pela origem e que o conjunto é simétrico em relação ao plano =. Portanto, podemos concluir que 5

6 Na direcção do eio O eistem duas regiões a distinguir: uma em que < < e outra em que < <. Para a região em que < <, os cortes com fio (perpendiculares ao eio O) são triângulos limitados pelos eios O e O e pela recta de equação + = 3, tal como se ilustra na Figura 9. = (,, ) + + = 3 < < + = 3 (,, ) + = Figura 9: Esboço de e corte com fio Para < <, os cortes com fio são também triângulos limitados pelos eios O e O e pela recta de equação + =. Na direcção do eio O eistem também duas regiões distintas: uma em que < < e outra em que < <. Para a região em que < <, os cortes perpendiculares ao eio O são quadriláteros limitados pelo eio O, pela recta =, pela recta + = 3 e pela recta =, tal com se mostra na Figura. = (,, ) + + = 3 (,, ) + = < < + = 3 = Figura : Corte em perpendicular a O com ], [ Para a região em que < <, os cortes com fio são triângulos limitados pelo eio O, pela recta + = 3 e pela recta =, como se ilustra na Figura. 6

7 = (,, ) + + = 3 (,, ) + = < < + = 3 = Figura : Corte em perpendicular a O com ], [ Devido à simetria de, na direcção do eio O passa-se o mesmo que na direcção do eio O com as devidas modificações. 7

8 Eercício Considere o conjunto = {(,, ) R 3 : < < ; + < < ; + + ( ) > }. a) Esboce o conjunto. b) Descreva os cortes em perpendiculares ao eio O. c) Descreva os cortes em perpendiculares ao eio O. Resolução: a) A região é limitada pelos planos verticais = e =, pelos planos horiontais = e =, pela superfície cónica = + e pela superfície esférica de centro no ponto (,, ) e raio, definida pela equação + + ( ) =. Na Figura apresenta-se um esboço do conjunto. 3 + = 6 = Figura : Esboço do sólido b) Um corte em, perpendicular ao eio O, é um plano em descrito pela equação = a, em que a é uma constante, ou seja, é o subconjunto de em que a variável está fia ( = a): {(a,, ) R 3 : < a < ; a + < < ; + ( ) > a }. Note-se que, neste corte, a recta = a intersecta a circunferência + ( ) = a para a a, ou seja, para a. Portanto há dois casos a considerar: ou < a ou < a <. Na Figura 3 encontram-se representados os cortes em perpendiculares ao eio O. c) Os cortes em perpendiculares ao eio O são os subconjuntos de em que a variável está fia ( = c): {(,, c) R 3 : < < ; + < c ; + > (c ) }. 8

9 < a < = a + < a < = a + + < a < a < a < a a a 6 a + a a a a 6 a Figura 3: Cortes em perpendiculares ao eio O e (c ) c ou c 3, então a última condição verifica-se automaticamente porque + >. c < c < 3c (c ) < c < ou 3 < c < + = c = c < c < ou 3 < c < (c ) c < c < 3 + = c = Figura : Cortes em perpendiculares ao eio O e c 3, então o corte consiste num sector entre as circunferências de raio (c ) e c, respectivamente, tal como se ilustra na Figura. 9