CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 2) lim. k f(x k) = f(a)

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 2) lim. k f(x k) = f(a)"

Sônia Aires Valente
6 Há anos
Visualizações:

1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Resumo das Aulas Teóricas (Semana 2) 1 Funções Contínuas. Classificação de Conjuntos Seja f : R n R um campo escalar contínuo, α R e consideremos o conjunto A α = { R n : f() α}. Seja ( k ) uma sucessão de termos em A α e convergente para um ponto a. Dado que f é uma função contínua, teremos k f( k) = f e, sendo f( k ) α, necessariamente f α, ou seja a A α. Portanto, o conjunto A α é fechado. Do mesmo modo se mostra que os conjuntos da forma { R n : f() α} são também fechados. Aos conjuntos da forma { R n : f() = α} dá-se o nome de conjuntos de nível α da função escalar f. Assim, os conjuntos de nível de uma função escalar contínua são fechados. Sabendo que o complementar de um aberto é um fechado, concluímos que os conjuntos da forma { R n : f() > α} ou da forma são abertos. { R n : f() < α} 1.1 Eemplos de Conjuntos Fechados a) Um Círculo em R 2. i) Círculo de raio um e centro na origem de R 2. (ver fig. 1). ii) {(, ) R 2 : }. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado.

2 Figura 1: Círculo definido por {(,) R 2 : } b) Uma Esfera em R 3. i) Superfície esférica de raio um e centro na origem de R 3. (ver fig. 2). ii) {(,, z) R 3 : z 2 1 = 0}, ou seja, conjunto de nível zero da função contínua F : R 3 R definida por F(,, z) = z 2 1. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado. iii) Pilha de circunferências de raio 1 z 2 e centro em (0, 0, z) em que 0 z 1. De facto temos = 1 z 2. iv) Pode ser vista como o resultado de uma rotação, em torno do eio Oz, de uma semicircunferência tal como se ilustra na figura (2). De facto, definindo ρ = 2 + 2, temos ρ 2 + z 2 = 1. Note-se que ρ representa a distância de um ponto de coordenadas (,, z) ao eio Oz, ou seja, ao ponto de coordenadas (0, 0, z). Portanto, fazendo rodar a semi-circunferência em torno do eio Oz obtemos a esfera. c) Um Cilindro em R 3. i) Superfície ciĺındrica de raio um em R 3. (ver fig. 3). ii) {(,, z) R 3 : = 0}, ou seja, conjunto de nível zero da função contínua F : R 3 R definida por F(,, z) = Trata-se, portanto, de um conjunto fechado. iii) Pilha de circunferências de raio um e centro em (0, 0, z) em que 1 < z < 1. iv) Pode ser visto como o resultado de uma rotação, em torno do eio Oz, de um segmento de recta vertical tal como se ilustra na figura (3). De facto, definindo ρ = 2 + 2, temos ρ = 1. 2

3 z z ρ 2 + z 2 = 1 0 ρ Figura 2: Esfera definida por {(,,z) R 3 : z 2 = 1} d) Um Parabolóide em R 3. i) {(,, z) R 3 : z = }, ou seja, conjunto de nível zero da função contínua F : R 3 R definida por F(,, z) = z 2 2. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado. ii) Pilha de circunferências de raio z e centro em (0, 0, z). iii) Pode ser visto como o resultado de uma rotação, em torno do eio Oz, de uma parábola tal como se ilustra na figura (4). De facto, definindo ρ = 2 + 2, temos z = ρ 2. e) Um Cone em R 3. i) {(,, z) R 3 : z = }, ou seja, conjunto de nível zero da função contínua F : R 3 R definida por F(,, z) = z 2 2 2, em que z 0. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado. ii) Pilha de circunferências de raio z e centro em (0, 0, z). iii) Pode ser visto como o resultado de uma rotação, em torno do eio Oz, de uma recta tal como se ilustra na figura (5). De facto, definindo ρ = 2 + 2, temos z = ρ. f) Um Toro em R 3. 3

4 z z ρ = 1 0 ρ Figura 3: Cilindro definido por {(,,z) R 3 : = 1; 1 < z < 1} i) {(,, z) R 3 : ( ) 2 + z 2 = 1}, ou seja, conjunto de nível zero da função contínua F : R 3 R definida por F(,, z) = ( ) 2 + z 2 1. Trata-se, portanto, de um conjunto fechado. ii) Pode ser visto como o resultado de uma rotação, em torno do eio Oz, de uma circunferência tal como se ilustra na figura (6). De facto, definindo ρ = 2 + 2, temos (ρ 3) 2 + z 2 = Conjuntos Compactos. Teorema de Weierstrass Um conjunto A R n diz-se itado se eistir uma bola centrada na origem que o contenha, ou seja, R > 0 : A B R (0) R > 0 A : < R Um conjunto A R n diz-se compacto se for itado e fechado. Eemplo 1.1 i) É claro que uma bola em Rn é um conjunto itado. ii) A superfície cilíndrica (3) é um conjunto itado porque, sendo = 1 ; 1 < z < 1, teremos z 2 2, ou seja, está contida na bola de raio 2 e centro na origem. 4

5 z z = ρ 2 0 Figura 4: Parabolóide definido por {(,,z) R 3 : z = } iii) O toro (6) é um conjunto itado. De facto, sendo ( ) 2 + z 2 = 1, é claro que e, portanto, ; z 2 1, z 2 < 17. iv) O parabolóide (4) e o cone (5) não são conjuntos itados. É sabido que em R uma sucessão itada tem pelo menos uma subsucessão convergente. Em R n acontece o mesmo. Para vermos que assim é, consideremos apenas o caso de R 2. Seja ( k, k ) uma sucessão itada, ou seja, R > 0 k ( k, k ) R e, sabendo que k ( k, k ), a sucessão ( k ) é itada em R e, portanto, tem uma subsucessão convergente. Seja ( k ) essa subsucessão. A sucessão ( k, k ) é uma subsucessão de ( k, k ) e note-se que ( k ) é também itada em R e tem, portanto, pelo menos uma subsucessão ( k ) convergente. Assim, a sucessão ( k, k ) é uma subsucessão convergente da sucessão ( k, k ). 5

6 z z z = ρ 0 ρ Figura 5: Cone definido por {(,,z) R 3 : z = } Recorde-se que uma sucessão convergente, com termos num conjunto fechado, tem ite nesse conjunto. Portanto, um conjunto A R é compacto se qualquer sucessão com termos em A tem pelo menos uma subsucessão convergente com ite em A. Seja f : R n R m uma função contínua e D R n um conjunto compacto e consideremos o respectivo conjunto imagem f(d). Seja ( k ) uma sucessão em f(d) e consideremos a sucessão ( k ) de termos em D tal que k = f( k ). Sendo D um conjunto compacto, a sucessão ( k ) tem uma subsucessão ( k ) convergente z z (ρ 3) 2 + z 2 = 1 0 ρ Figura 6: Toro definido por {(,,z) R 3 : ( ) 2 + z 2 = 1} 6

7 com ite a D e, dado que f é uma função contínua, teremos e, portanto, f( k ) = f k a k k = f f(d), ou seja, a sucessão ( k ) tem uma subsucessão ( k ) convergente com ite em f(d). No caso escalar, f(d) será um conjunto compacto em R e, portanto, terá máimo e mínimo. Teorema 1.1 (Weierstrass) Seja D R n um conjunto compacto e não vazio. Então qualquer função escalar contínua em D tem máimo e mínimo nesse conjunto. 7

8 2 Funções Diferenciáveis Definição 2.1 Uma função f : D R n R m diz-se diferenciável num ponto a int(d) se eistir uma aplicação linear Df : R n R m, denominada derivada de f em a, tal que f(a + h) f Dfh = o(h), ou seja, h 0 o(h) h = f(a + h) f Dfh = 0 h 0 h Seja {e 1, e 2,, e n } a base canónica de R n. Fazendo h = te k com t R, teremos f(a + te k ) f = Df(te k ) + o(te k ) e, sabendo que Df é uma aplicação linear, então f(a + te k ) f = tdfe k + o(te k ), ou seja, Portanto, Note-se que f(a + te k ) f t f(a + te k ) f t 0 t = Dfe k + o(te k). t = Dfe k. e a razão incremental a = (a 1, a 2,...,a k,...,,a n ) ; a + te k = (a 1, a 2,...,a k + t,...,,a n ) f(a + te k ) f t = f(a 1, a 2,...,a k + t,...,,a n ) f(a 1, a 2,..., a k,...,,a n ) t obtem-se, fiando todas as coordenadas ecepto a k-ésima. Sendo f() = (f 1 (), f 2 (),..., f m ()), temos f(a + te k ) f t 0 t = ( f 1 (a + te k ) f 1 t 0 t ) f m (a + te k ) f m,...,. t 0 t Note-se também que o conjunto de pontos definido por {a+te k : t R} é a recta que passa pelo ponto a e com a direcção do vector e k. Assim, a razão incremental f j(a + te k ) f j é t a taa de variação da função escalar f j na direcção e k. 8

9 Definição 2.2 Ao ite f j f j (a + te k ) f j = k t 0 t chamamos derivada partial de f j, com j = 1, 2,..., m, no ponto a em ordem à variável k, com k = 1, 2,..., n. Note-se que para calcular a derivada partial f j devemos fiar todas as variáveis ecepto k k. Portanto, trata-se de calcular a derivada de uma função de uma variável real k. Por outro lado, Dfe k é a k-ésima coluna da matriz que representa a derivada Df. Portanto, a matriz que representa a derivada Df será f 1 1 f 2 1 Df = f m 1 f 1 2 f f m 2 f 1 n f 2 n f m n À matriz Df também se dá o nome de matriz Jacobiana de f. No caso em que m = 1, ou seja, f : D R n R, então Df terá apenas uma linha [ ] Df = f f f 1 2 n e podemos representá-la na forma vectorial ( f Df =, f,, f ), 1 2 n a que chamaremos gradiente de f em a. Passaremos a designar este vector pelo símbolo f, ou seja, ( f f =, f,, f ). 1 2 n Eemplo 2.1 de R 2. i) A função f(, ) =, definida em R 2 é diferenciável em qualquer ponto Seja (a, b) um ponto qualquer de R 2. Fiando = b e derivando f como função apenas de obtemos f (a, b) = 1. 9

10 Fiando = a e derivando f como função apenas de obtemos f (a, b) = 0. Portanto, e Df(a, b) = [ f (a, b) f (a, b) ] = [ 1 0 ] Df(a, b)(h, k) = [ 1 0 ][ ] h = h. k Assim, f(a + h, b + k) f(a, b) Df(a, b)(h, k) a + h a h = (h,k) (0,0) (h, k) (h,k) (0,0) (h, k) e, portanto f é diferenciável em (a, b), de acordo com a definição (2.1). = 0 ii) O gradiente da função f(, ) = no ponto (, ) do respectivo domínio é o vector f(, ) = ( ) ( f f 1 (, ), (, ) =, ) 2 10

Documentos relacionados

CDI-II. Limites. Continuidade

CDI-II. Limites. Continuidade Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Limites. Continuidade 1 Introdução Oassunto central docálculo emr n éoestudo defunções cujosdomínios