Teorema de Fubini. Cálculo de volumes

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Teorema de Fubini. Cálculo de volumes Teorema de Fubini O teorema de Fubini (cf. [,, 3] permite relacionar o integral em R n, n >, com o integral em R. Dado um intervalo I R n e uma função integrável, o integral f pode ser I calculado por integrações sucessivas numa variável estando as restantes fias. Teorema Sejam A R m e B R p, com m p = n, intervalos tais que I = A B e designemos cada ponto de I por (, A B. Seja f : A B R uma função integrável em A B. Então: A B f = A [ B ] [ ] f(, d d = f(, d d. B A Os integrais da forma A [ B ] f(, d d ou B [ A /// ] f(, d d são designados por integrais iterados. No primeiro integral, fia-se A e procede-se ao cálculo do integral de f como função de em B, obtendo-se, assim, uma função de a qual, de seguida, é integrada em A. No segundo integral procede-se do mesmo modo trocando os papéis das variáveis e. Portanto, o integral de f em I obtém-se por sucessivas integrações numa variável mantendo as restantes fias. Eemplos Nestes eemplos iremos aplicar o teorema de Fubini ao cálculo de volumes de subconjuntos abertos e limitados de R n cuja fronteira pode ser descrita por gráficos de funções contínuas. Seja S R n um aberto limitado e seja I R n um intervalo compacto tal que S I e consideremos a função característica de S definida por {, se (,, S χ (,, = S, se (,, I \ S A função χ S é integrável em I e o respectivo integral representa o volume de dimensão n de S vol n (S = χ = S I S

2 = = c a = b = Figura : Cortes no conjunto definido por < ; >. Um subconjunto de R Consideremos o conjunto definido por S = {(, R : < ; > } representado na figura. Note-se que a circunferência e a parábola intersectam-se nos pontos cujas coordenadas são determinadas resolvendo o sistema { = = ou seja, são os pontos (a, c, (b, c em que tal como se ilustra na figura. { = =, 5 a = 5 b = c = 5. Para o integral da forma ( d d, fiamos a < = a < a e o respectivo corte será dado por S { = a} = {(a, : a < a < b ; a < < a. Portanto, vol (S = a a d d.

3 Para o integral da forma ( d d, fiamos < = b < e devemos notar que teremos { < < < <. Assim, teremos dois casos a considerar: a Se < = b < c, então < <. b Se c < = b <, então < <. tal como se ilustra na figura. Portanto, vol (S = c d d. Uma Pirâmide triangular Consideremos o conjunto representado na figura (a. c d S = {(,, R 3 : < ; > ; > ; > } Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos a intersecção de S com o plano = c S { = c} = {(,, c : < c ; > ; > } que se encontra representada na figura (b. Portanto, d. = {(,, c : < < c ; < < c } vol 3 (S = ( ( d d d Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a < e obtemos a intersecção de S com o plano = a S { = a} = {(a,, : < a ; > ; > } = {(a,, : < < a ; < < a} que se encontra representada na figura 3 e de onde resulta vol 3 (S = ( ( 3 d d d

4 = c = c < = c < = c (a (b c Figura : Intersecção com o plano horiontal = c = a < = a < = a = a (a (b a Figura 3: Intersecção com o plano vertical = a 4

5 PSfrag = < = a < = a = a = a a Figura 4: Intersecção com o plano = a.3 Uma Pirâmide quadrangular Consideremos o subconjunto de R 3 definido por S = {(,, R 3 : < < ; < < ; < < } Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a <. Na figura 4 representa-se o conjunto S e a intersecção de S com o plano = a que se pode descrever da forma seguinte S { = a} = {(a,, : a < < a ; < < a} donde se conclui que vol 3 (S = ( d d d Para o integral iterado da forma ddd, devemos fiar < = b <. Dado que < <, teremos b < < b e como < < devem ocorrer dois casos. Ou b <, ou seja, < b < ou b <, ou seja, < b <, tal como se representa na figura 5. Para < = b <, a intersecção de S co o plano = b é dada por S { = b} = {(, b, : < < : < < } e para < = b < temos, S { = b} = {(, b, : < < : < < } 5

6 = = = = b = b < = b < b b / / b < = b < = b Figura 5: Intersecção com o plano = b o que nos permite escrever o volume de S como a soma de dois integrais iterados vol 3 (S = ( ( d d d ( ( Para o integral da forma ddd, teremos as inequações { < < < < <. Portanto, para < = b < teremos { < < < <, e deveremos fiar em dois intervalos: ou < <, ou < <. Para < = b < teremos { < < < <, e deveremos fiar em dois intervalos: ou < <, ou < <. d d d Assim, o volume de S será dado pela soma de quatro integrais iterados vol(s = ( ( ( ( d d d d d d 6 ( ( ( ( d d d d d d

7 = = c c < = c < c = = c c < = c < = c = Figura 6: Intersecção com o plano = c Para o integral iterado da forma ddd, fiamos = c e, tal como se representa na figura 6, devem ocorrer dois casos, ou < = c < ou < = c <. Em qualquer dos casos, a intersecção de S com o plano = c dada por S { = c} = {(,, c : < < ; < < } De seguida devemos fiar = b e, de acordo com a figura 6, para cada um dos casos obtemos três regiões de integração na variável. Note-se que das inequações de definição de S obtemos < < < < < < e, portanto, { < < < < < <. Isto quer dier que depois de fiar e teremos < se >, ou seja, se >, ou teremos < se <. Por outro lado, teremos > se < ou > se >. Podemos concluir que, depois de fiar, para fiar teremos de considerar os valores,, e, portanto, teremos duas situações distintas (ver figura 6. a Para < = c <, a coordenada será fiada em três intervalos: ou ] c, c[, ou ]c, [ ou ], [. b Para < = c <, a coordenada será fiada em três intervalos: ou ] c, [, ou, c[ ou ]c, [. ] 7

8 M < = c < = c = = Figura 7: Corte no cilindro segundo o plano horiontal = c Assim, o volume de S será dado pela soma de seis integrais iterados ( ( V ol(s = d d d.4 Um Cilindro ( ( ( ( ( ( d d d d d d d d d d d d d d d Consideremos o cilindro vertical de raio um e altura dois dado por S = {(,, R 3 : < ; < < } Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos 8

9 < = a < M = a Figura 8: Corte no cilindro segundo o plano vertical = a a intersecção de S com o plano = c que se representa na figura 7 S { = c} = {(,, c : < } = {(,, c : < < ; < < } e, portanto, vol 3 (S = d d d Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a < e obtemos S { = a} = {(a,, : < a ; < < } = {(a,, : a < < a ; < < } que se representa na figura 8, e, portanto, ( ( vol 3 (S = d d.5 Um Cone d Consideremos o cone S = {(,, R 3 : < < } 9

10 < = c < = c = = Figura 9: Intersecção com o plano = c Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos S { = c} = {(,, c : < c } = {(,, c : c < < c ; c < < c } que se representa na figura 9 donde se conclui que ( ( c vol 3 (S = c d d d Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = b < e obtemos S { = b} = {(, b, : b < < } = {(, b, : b < < b ; b < < } tal como se apresenta na figura e, portanto, ( ( vol 3 (S =.6 Um Hiperbolóide Consideremos o conjunto d S = {(,, R 3 : < ; > ; > ; < < } Trata-se de um subconjunto aberto de R 3 limitado pelos planos = ; = ; = ; = e pela superfície =. d d

11 = b < = b < b = b b Figura : Intersecção com o plano = b c < = c < = c = c c = Figura : Intersecção com o plano = c Usando o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e, portanto S { = c} = {(,, c : < c ; > ; > } ou seja, S { = c} é um quarto de círculo centrado na origem e de raio c tal como se representa na figura. De seguida fiamos = b, com < b < c, e obtemos, < < ; < < ; < < Assim, vol 3 (S = d d d

12 a < a > = a = = = a Figura : Intersecção com o plano = a < = a < < = a < = a a = a Figura 3: Intersecção com o plano = a Consideremos o integral iterado da forma ddd. Neste caso fiamos < < e obtemos S { = a} = {(a,, : < a ; > ; < < } Portanto, devemos ter a >, ou seja >. Assim, se = a < então > e < <. Se = a > então > e < <. Nas figuras e 3 apresentam-se as intersecções de S com o plano = a para os dois casos acima descritos: < a < e < a <. Destas figuras obtemos vol 3 (S = ( d d d d d d

13 < = a < < = a < = a = a a a a Figura 4: Intersecção com o plano = a Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = a < e obtemos ou seja, S { = a} = {(a,, : > a ; > ; < < } Se < então >. Se < < então >. tal como se apresenta na figura 4. Assim, temos Se <, então < < ; < e < <. Se > e < < então < <, e < <. Se > e < < então < < e < <. Portanto, vol 3 (S = ( d d d d d d d d d 3

14 = c X Figura 5: Corte horiontal = c numa bola.7 Uma Bola Seja S a bola de raio um e centro na origem em R 3, S = {(,, R 3 : < } Devido à simetria esférica de S basta considerar o integral iterado da forma ( ( ddd. S Fiando < = c < obtemos, em,, um círculo centrado na origem e com raio igual a c tal como se representa na figura 5. S { = c} = {(,, c : < c } = {(,, c : < c ; < c } e, portanto, vol 3 (S = d d d.8 Um Toro Neste eemplo vamos considerar o sólido em R 3 limitado por um quarto do toro de raios R = 3 e r = e pelos planos = e = tal como se representa na figura 6. S = {(,, R 3 : ( 3 < ; > ; > } 4

15 4 Figura 6: Parte do Toro de raios R = 3 e r = < = c < 3 c 3 c Figura 7: Corte no Toro com um plano = c Para o integral iterado da forma ddd, fiamos < = c < e obtemos S { = c} = {(,, c : c < 3 < c ; > ; > } = {(,, c : 3 c < < 3 c ; > ; > } tal como se representa na figura 7. De seguida devemos fiar a variável. Da figura 7 fica claro que, devemos fiar < = b < 3 c ou 3 c < < 3 c. Portanto, o volume de S será epresso pela soma de dois integrais ( ( 3 (3 vol 3 (S = d d 3 3 (3 d (3 d d d 5

16 < = b < 4 b 6 b < = b < 3 3 < = b < 4 6 b 6 b Figura 8: Corte no Toro com um plano = b Para o integral iterado da forma ddd, fiamos em primeiro lugar < = b < 4. Note-se que para = temos e, portanto < < 4. ( 3 < Assim, devemos fiar < = b < ou < = b < 4 como se representa na figura 8. Note-se que o caso < = b < 4 se apresenta subdividido em dois: < = b < 3 e 3 < = b < 4. Esta subdivisão é relevante para o cálculo do integral iterado da forma ddd que não será considerado nestas notas, mas ficará ao cuidado do leitor. Para < = b <, obtemos 4 b < < 6 b e ( b 3 < < ( b 3 Para < = b < 4, obtemos < < 6 b 6

17 e, tal como anteriormente, ( b 3 < < ( b 3 Portanto, vol 3 (S = q ( 3 q d ( 3 q ( 3 q d ( 3 d d d d Referências [] Luís T. Magalhães. Integrais Múltiplos. Teto Editora, 996. [] H. A. Priestle. Introduction to Integration. Oford, Clarendon Press, 997. [3] W. Rudin. Principles of Mathematical Analsis. McGraw Hill,