Curso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS

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1 Curso de Férias de IFVV (Etapa ) INTEGAIS UPLAS VOLUMES E INTEGAIS UPLAS Objetivando resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. A idéia é aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Considere uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado [a,b] [c,d] {(,) I a < < b, c < < d } d c a b e vamos, inicialmente, supor f(,) >. O gráfico de f é a superfície de equação z f(,). z S seja, Seja S o sólido que está contido na região acima de e abaio do gráfico de S, ou S {(,,z) I (,), < z < f(,)} Nosso objetivo é determinar o volume de S.

2 O primeiro passo consiste em dividir o retângulo em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [ i-, i ], de mesmo comprimento (b a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [ j-, j ], de mesmo comprimento (b a) / n. traçando retas paralelas aos eios coordenados passando pelos etremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. [ i-, i ] [ j-, j ] {(,) i- < < i, j- < < j } cada um dos quais com área A. d j j- (, ) c a i- i b Se escolhermos um ponto arbitrário (, ) em cada, podemos aproimar a parte de S que está acima de cada por uma caia retangular fina (ou um prisma) com base e altura f(, ). O volume desta caia é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base: V f(, ) A. Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caias correspondentes, obteremos uma aproimação do volume total de S: V n i m j f (, ) A Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

3 z f (, ) S V (, ) Nossa intuição diz que a aproimação V n i m j f ( aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que: V n m,n i m lim f (, ) A. j, ) A melhora quando Usamos essa epressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo e abaio do gráfico de f. Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição: A integral dupla de f sobre o retângulo é f (, )da lim n m,n i m j f ( se esse limite eistir., ) A Pode ser provado que o limite eiste sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(,) >, então o volume do sólido que está acima do retângulo e abaio da superfície z f(.) é V f (, )da.

4 A soma n i m j f (, aproimação do valor da integral dupla. ) A é chamada soma dupla de iemann e é usada como Eemplo : O volume do sólido que está acima do quadrado [,] [,] e abaio do parabolóide elíptico z pode ser aproimado pela subdivisão de em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado. (,) (,) (,) (,) Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale. O parabolóide é o gráfico de f(,). Aproimando o volume pela soma de iemann com m n, temos: V i j f (, ) A f(,) A f(,) A f(,) A f(,) A () 7() () () Esse é o volume das caias aproimadoras, como mostra a figura abaio:

5 Obtemos melhor aproimação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaio mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproimações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos, e 5 quadrados. INTEGAIS ITEAAS Se f for contínua no retângulo { (,) a < < b, c < < d }, então calculamos a integral dupla de f em através de integrais iteradas, como mostrado abaio: f (, )da b a d c f (, )d d d c b a f (, )d d Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de.

6 Eemplo : Calcule o valor da integral da, onde [,] [,] Solução: da d d d d ou da 7, 5 d d d 7 d d 9 7 ( ),5 9 9 d O valor obtido é o volume do sólido acima de e abaio do gráfico da função f(,) (Veja figura ao lado)

7 Eemplo : Calcule sen()da, onde [,] [,π]. Solução: π sen()da ( cos cos )d sen π π sen π sen()dd sen sen sen π [ cos ] sen π d Obs.: ) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais demorado. Portanto é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração. ) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo e do volume da parte do sólido que está abaio de. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.

8 Eemplo : etermine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico z, os planos e e os três planos coordenados. Solução: Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaio da superfície z e acima do retângulo [,] [,], como mostra a figura. Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla: V da ( ) ( ) 8 88 d 88 d dd d INTEGAIS UPLAS EM EGIÕES GENÉICAS Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região de forma mais geral, como mostra a figura abaio. Vamos supor que seja uma região limitada, o que significa que pode ser cercada por uma região retangular. efinimos, então, uma nova função F com domínio por F (, ) f (, ),, se (, ) está em se (, ) está em mas não está em

9 Se a integral dupla de F sobre eiste, então definimos a integral dupla de f sobre por f (, )da F(, )da Cálculo da erivada upla sobre egiões Planas Genéricas ) egiões planas inscritas em faias verticais: Consideremos uma região inscrita na faia vertical a < < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de, ou seja: { (,) a < < b, g () < < g () } onde g e g são contínuas em [a,b]. Por eemplo, as regiões representadas abaio: g () g () g () a g () b a b a b g () g () A integral dupla de f em é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em. b g () f (, )da a g () f (, )dd

10 ) egiões planas inscritas em faias horizontais: Consideremos uma região inscrita na faia horizontal c < < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de, ou seja: { (,) c < < d, h () < < h () } onde h e h são contínuas em [c,d]. Por eemplo, as regiões representadas abaio: d h () d h () d h () c h () c h () h () c A integral dupla de f em é calculada pelas seguintes integrais iteradas: sempre que f for contínua em. d h () f (, )da c h () f (, )dd Eemplo 5: Calcule ( )da onde é a região limitada pelas parábolas e. Solução: A região está inscrita na faia vertical < <, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever: { (,) < <, < < } Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas:

11 ( )da [ ] [ ( ) ( ) ] [ ] ( ) ( ) 5 5 ( )d d d 5 d d d Eemplo : etermine o volume do sólido que está abaio do parabolóide z e acima da região do plano limitada pela reta e pela parábola. Solução: é uma região inscrita na faia vertical < <, portanto: { (,) < <, < < } V Assim, o volume é: da ( ) ( ) d. 8 5 d 5 8 d d d 5 7 5

12 V Mas também podemos inscrever a região na faia horizontal < <, com: { (,) < <, } Portanto, o volume pode ser calculado como: 5 ( da d d d ( ) ( ) 5 d Eemplo 7: Calcule da, onde é a região limitada pela reta e pela parábola. Solução: A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira: [ ] [ ] e 8 ( ) ou ( 5 ) Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-,-) e (5,). Novamente, a região pode ser considerada inscrita tanto em uma faia vertical como em uma faia horizontal. Mas a descrição de considerada inscrita na faia vertical - < < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva. Assim, preferimos epressar como: { (,) - < <, < < } Logo:

13 da 8 8 d d d 5 ( )d d Eemplo 8: etermine o volume do tetraedro limitado pelos planos z,, e z. Solução: (,, ) Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro: z T z ½ (,, ) (, ½, ) A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados, z, o plano vertical e o plano z.

14 Como z intercepta o plano (de equação z ) na reta, vemos que T está sobre a região triangular, do plano, limitada pelas retas, e. O plano z pode ser escrito como z e a região como: { (,) < <, / < < / }. Portanto o volume de T é: V ( ) da ( ) dd [ ] d d ( ) / d d POPIEAES AS INTEGAIS UPLAS: ) [ f (, ) g(, )]da f (, )da g(, )da ) cf (, )da c f (, )da, onde c é uma constante ) f (, )da f (, )da f (, )da, se, onde e não se sobrepõem eceto, possivelmente, nas fronteiras.

15 Eemplo 9: Epresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem cos da, π onde é a região do plano limitada pelos gráficos de,,, e. Solução: No gráfico abaio, aparecem as curvas que formam a fronteira de. π/ π/ A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região. Assim, podemos descrevê-la de duas formas: ) Inscrita na faia vertical π/ e, nesse caso dividi-la em { (,) π/, } e { (,), } ) Inscrita na faia horizontal e, nesse caso, dividi-la em { (,), π/ } e { (,), π/ } Na forma ), as integrais iteradas são: cos da π cos da cos dd cos da cos dd

16 Na forma ), as integrais iteradas são: cos da cos da cos da π cos dd π cos dd APLICAÇÕES: MASSA E CENTO E MASSA E UMA LÂMINA Suponha uma lâmina colocada em uma região do plano e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (,) em é dada por ρ(,), onde ρ é uma função contínua sobre. Então a massa total m da lâmina é dada por: m ρ (, )da Além disso, o centro de massa dessa lâmina é o ponto (X,Y), onde M Y, sendo M m ρ (, ) da e M ρ (, ) da eios e, respectivamente. M X e m os momentos em relação aos Eemplo : etermine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (,), (,) e (,), se a função densidade é ρ(,). Solução: (,) O triângulo está limitado pelas retas, e.. Podemos epressar por: { (,), } (,) (,) A massa da lâmina é: m ρ(, )da ( ) da

17 Portanto: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 d d d d dd m Os momentos são: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d dd da )da (, M ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] d d d d dd da )da (, M ρ

18 Assim: M M X, Y m 8 8 m 8 8 Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (/8,/), indicado na figura: (,) (/8,/) (,) (,) Para complementar o estudo, faça a leitura das páginas 99 a 5 do livro ANTON, vol, e resolva os eercícios ímpares de nº a 5 e 9 a 9, das páginas 5 e e de nº a, a 7 e a 5 das páginas e. ESAFIO: Após ler a seção Área calculada como uma integral dupla, das páginas / e o quadro Valor médio da página, resolva os eercícios de nº 5 e 7 da pág. e 57 da pág. 5.