Aula 10. Integração Numérica

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1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula Integração Numérica

3 Integração Numérica Cálculo Numérico 3/4

4 Integração Numérica Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Em alguns casos, o valor de f () é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a epressão analítica de f (), não é possível calcular: b a f ( ) d Cálculo Numérico 4/4

5 Integração Numérica Substituição da função f () por um polinômio que a aproime razoavelmente no intervalo [a, b]. Cálculo Numérico 5/4

6 Integração Numérica As fórmulas terão a epressão: b a i f ( ) d A f ( ) + A f ( ) [a,b],i =,,...,n A n f ( n ), I n ( f ) = n i= A f i ( i ) Cálculo Numérico 6/4

7 Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, = a e n = b. Regra /3 de Simpson. Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os i têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b. Cálculo Numérico 7/4

8 Fórmulas de Newton-Cotes Desta forma, as fórmulas fórmulas de integração do tipo: de Newton-Cotes são = a, n = b b n n f ( ) d = f ( ) d i= a A f i ( i ) sendo os coeficientes A i determinados de acordo com o grau do polinômio aproimador. Cálculo Numérico 8/4

9 Fórmulas de Newton-Cotes Diferença entre as fórmulas de Newton-Cotes fechadas (a) e abertas (b). Cálculo Numérico 9/4

10 Utilizando a interpolação polinomial na Forma de Lagrange: REGRA DOS TRAPÉZIOS º Polinômio de Lagrange REGRA /3 DE SIMPSON 2 º Polinômio de Lagrange Cálculo Numérico /4

11 Regra dos Trapézios Cálculo Numérico /4

12 Cálculo Numérico 2/4 Regra dos Trapézios Usaremos a para epressar P () que interpola f () em e : Então: ( ) ( ) ( ) f f P + = ( ) ( ) ( ) ( ) d f f d P d f + = = b a

13 Regra dos Trapézios Resolvendo a integração: ou seja: ( ) [ ( ) ( )] f f I = + T 2 h I = + T 2 [ f ( ) f ( )] Cálculo Numérico 3/4

14 Regra dos Trapézios Simples Consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproima uma função f (), ou seja, n =. Este polinômio terá a forma y = α + α e trata-se da equação que une dois pontos: a = e b =. f () f () f ( ) P () f ( ) a = b = Cálculo Numérico 4/4

15 Regra dos Trapézios Simples Área do trapézio: A = h (T + t) / 2 De acordo com a figura: b a = = h f (b) = f ( ) = T f (a) = f ( ) = t h - altura do trapézio t - base menor T - base maior Logo, f () T = f ( ) t = f ( ) h f + 2 a = b = [ )] ( ) d f ( ) f ( h f () P () Cálculo Numérico 5/4

16 Regra dos Trapézios Simples Aproimação do valor da integral é aceitável. Aproimação não indicada. Cálculo Numérico 6/4

17 Regra dos Trapézios Repetida (Composta) Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. f ()... n- n Cálculo Numérico 7/4

18 Regra dos Trapézios Repetida (Composta) Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. f ()... n- n Cálculo Numérico 8/4

19 Regra dos Trapézios Simples Aproimação do valor da integral é aceitável. Aproimação não indicada. Uso da Regra dos Trapézios Repetida (Composta): soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. A amplitude dos sub-intervalos será h = (b - a) / n. A integral no intervalo é dada pela soma das integrais definidas pelos sub-intervalos. Cálculo Numérico 9/4

20 Regra dos Trapézios Repetida Fórmula: n f ()d h 2 f ( )+ f ( ) [ ] + h 2 f ( )+ f ( 2 ) [ ] h 2 f ( n )+ f ( n ) [ ] Só os termos f ( ) e f ( n ) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em: n f h 2 { f ( ) + f ( ) + 2[ f ( ) + f ( ) f ( )]} ( ) d n 2 n Cálculo Numérico 2/4

21 EXEMPLO Estimar o valor de Regra dos Trapézios Simples - subintervalo I 2,4858 Regra dos Trapézios Repetida - 2 subintervalos I 2,369 Regra dos Trapézios Repetida 8 subintervalos I 2,936 4 ( 2 / 2 + ) d A aproimação para 8 subintervalos é melhor, dado que o. y = ( + ²) -/2,,,5,89445,,77,5, ,, ,5,3738 3,,3623 3,5, ,,24254 Cálculo Numérico 2/4

22 Erro da Regra dos Trapézios Suponha < <... < n, (n + ) pontos distintos em [, n ] e que. Então, para cada em [, n ], eiste um número ξ () (geralmente desconhecido) em ], n [, tal que: f C n+ R ( ) = f ( ) P n [ a,b] ( ) = f ( n+ ) ( ξ ( ) ) ( n +)! ( )( )!( ) n Cálculo Numérico 22/4

23 Erro da Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios simples Da interpolação polinomial, temos que: f ( ) p ( ) + ( )( ) Logo: ( ξ ) f " = ξ 2 ] [,, f ( ) d I + ( )( ) = T 2 f " ( ξ ) d Cálculo Numérico 23/4

24 Erro da Regra dos Trapézios Então, temos que: E T = ( )( ) f " ( ξ ) d 2 Cálculo Numérico 24/4

25 Regra dos Trapézios Já que ( )( - ) não muda de sinal em [, ], o Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais pode ser aplicado ao termo de erro, para algum c, : ( )( ) f "( ξ ) d = f "( c) ( )( )d Então: E f " = 2 ] [ ( c) ( )( )d T Cálculo Numérico 25/4

26 Regra dos Trapézios E = h3 T 2 f " ( c ), c, ] [ Como não podemos determinar eatamente c, temos: onde E : T M 2 = h 2 3 má [ a,b ] M f 2 " ( ) Cálculo Numérico 26/4

27 Regra dos Trapézios O erro para cada um dos trapézios é dado por: E = h3 T 2 f " ( c ), c, ] [ Logo o erro da Regra dos Trapézios Repetida será a soma: n h 3 E = TR 2 f " ( c ), c, i i i i+ i= ] [ Cálculo Numérico 27/4

28 Regra dos Trapézios Como estamos supondo f () contínua em [a, b], uma generalização do Teorema do Valor Intermediário nos garante que eiste ξ a, b tal que: Então: ] [ n i= f "( c ) i = n f " ξ ( ) E TR = nh3 f "( ξ), ξ ] a, b[ 2 Cálculo Numérico 28/4

29 Regra dos Trapézios Da mesma forma que na Interpolação Polinomial, não podemos calcular eatamente f (ξ), visto que não conhecemos o ponto ξ. Quando possível, calculamos um. E TR nh3 2 M 2 onde: M 2 = má [a,b] f " ( ) e h = b a n Cálculo Numérico 29/4

30 EXEMPLO 2 Seja: I = e d Calcule uma aproimação para I usando subintervalos para Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido. n f h 2 { f ( ) + f ( ) + 2[ f ( ) + f ( ) f ( )]} ( ) d n 2 n [,] subdivididos em subintervalos com h =, I = e d, 7973 Cálculo Numérico 3/4

31 EXEMPLO 2 O erro pela Regra dos Trapézios Repetida é: Portanto: E TR nh3 2 má [,] e E TR, 2 má [,] e e, 227 Cálculo Numérico 3/4

32 Regra /3 de Simpson Cálculo Numérico 32/4

33 Regra /3 de Simpson Novamente podemos usar a para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproimação de f () por um. Cálculo Numérico 33/4

34 Regra /3 de Simpson P 2 ( )( 2 ) ( )( 2 ) f ( ) + ( )( 2 ) ( )( 2 ) f ( ) ( + ) ( ) ( 2 )( 2 ) f ( 2) 2 ( ) I S = P 2 ( ) ( )( 2 )d ( ) = = f 2h 2 2 ( ) f h 2 ( ) 2 ( ) 2 + f 2 2 2h 2 ( )d ( ) ( )d Cálculo Numérico 34/4

35 Regra /3 de Simpson As integrais podem ser resolvidas usando a mudança de variáveis: = zh. Assim: d = h dz; = + zh; = (z ) h; 2 = (z 2) h. Fazendo esta mudança e resolvendo as integrais, obtemos a : h 2 f ) d I = + + S 3 [ f ( ) 4 f ( ) f ( )] ( 2 Cálculo Numérico 35/4

36 Regra /3 de Simpson Repetida Da mesma forma que a Regra dos Trapézios Repetida, aplicaremos a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [, n ]. Então vamos supor subintervalos igualmente espaçados. Cálculo Numérico 36/4

37 Cálculo Numérico 37/4 Regra /3 de Simpson Repetida Para cada teremos: com k =,..., n/2, sendo n um. [ ] + + = k k k k k S f f f h I d f ) ( ) ( 4 ) ( 3 ) (

38 Regra /3 de Simpson Repetida Assim, a integral obtida pela regra de aproimação de Simpson Repetida será dada por: n { f ()d} I SR = h {[ f ( )+ f ( n )] f ( )+ f ( 3 )+!+ f ( n ) [ ] + +2[ f ( 2 )+ f ( 4 )+!+ f ( n 2 )]} n n n 2 2 h f ( ) d I SR = f 3 j= j= ( ) + ( ) + ( ) + ( ) f n 2 f 2 j 4 f 2 j Cálculo Numérico 38/4

39 Regra /3 de Simpson Supondo f (iv) () contínua em [, 2 ]: O será: E S = h5 9 f ( iv ) ( ξ), ξ ], [ 2 Cálculo Numérico 39/4

40 Regra /3 de Simpson e o E SR = n 2 h 5 9 f iv ( ) ( ξ), ξ ], [ n Calcularemos um para o erro: E SR M 4 = má [, n ] ( f iv ) nh5 8 M 4 onde: ( ) e h = b a n Cálculo Numérico 4/4

41 EXEMPLO 3 Seja I = e d Calcule uma aproimação para I usando a regra /3 de Simpson com n =. Estime o erro cometido. n f ()d I SR = h % ' 3 ' f &' n 2 ( ) + 4 f ( ) 2 j + f n ( ) + 2 f 2 j [,] subdivididos em subintervalos com h =, j= n 2 j= ( ) ( * * )* I = e d, Cálculo Numérico 4/4

42 Eemplo 3 Estimativa do erro cometido: ( E SR = 5, ) 5 9 eξ, ξ ],[ Portanto: E SR 5, má [,] e, 56 6 e Cálculo Numérico 42/4

43 Comparação Eemplo 2 e 3 Vamos comparar os resultados obtidos pela Regra dos Trapézios e pela Regra /3 de Simpson. Regra dos Trapézios Repetida (n = ): e d, 7973 E TR 2, 27 3 Regra /3 de Simpson Repetida (n = ): e d, E, 5 6 SR Cálculo Numérico 43/4

44 Eemplo 4 Considerando a integral dos eemplos 2 e 3. a) Para quantas subdivisões do intervalo de integração (n) teríamos erro inferior a -3 usando a Regra dos Trapézios? b) E para a Regra /3 de Simpson? Cálculo Numérico 44/4

45 Eemplo 4 a) Precisaremos de no mínimo 6 subdivisões do intervalo de integração. b) Precisaremos de no mínimo 2 subdivisões do intervalo de integração. Cálculo Numérico 45/4

46 Referências BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, 28. iii, 72 p. ISBN RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c997. vi, 46 p. ISBN CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Cálculo Numérico 46/4