Fundamentos IV. Clarimar J. Coelho. Departamento de Computação. November 20, 2014

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1 Fundamentos IV Integração numérica Clarimar J. Coelho Departamento de Computação November 20, 2014 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 1/28

2 Integração numérica Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 2/28

3 Regra de Simpson Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 3/28

4 Regra de Simpson Além de aplicar a regra do trapézio, com segmentação mais fina Podemos usar polinômios de grau superior para ligar pontos para obter a estimativa mais precisa de uma integral Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 4/28

5 Polinômios de grau 2 e 3 Um ponto no meio de f(a) e f(b), três pontos podem ser unidos por uma parábola (Figura 1a) Se existem dois pontos igualmente espaçados entre f(a), e f(b), quatro pontos podem ser unidos por um polionômio de terceiro grau (Figura 1b) Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 5/28

6 Figura 1 - regra de Simpson 1/3 a) Descrição gráfica da regra de Simpson 1/3, que toma a área abaixo da curva de uma parábola que une três pontos b) Descrição gráfica da regra de Simpson 3/8, que toma a área abaixo de uma equação cúbica que une quatro puntos Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 6/28

7 Polinômio de Lagrange Trocando a e b por x 0 e x 2, f 2 (x) é representada por um polinômio de Lagrange de segundo grau A integral é transformada em I = x 2 x 0 [ (x x1 )(x x 2 ) (x 2 x 0 )(x 0 x 2 ) f(x 0)+ (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) ] + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 2) Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 7/28

8 Regra de Simpson 1/3 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 8/28

9 Regra de Simpson 1/3 Depois da integração e das manipulações algébricas, obtemos a fórmula Nesse caso, h = (b a)/2 I h 3 [f(x 0)+4f(x 1 )+f(x 2 ) (1) A equação (1) é conhecida como a regra de Simpson 1/3 e é a segunda fórmula de integração fechada de Newton-Cotes 1/3 tem origem no fato que h é dividido por 3 na equação (1) Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 9/28

10 Regra de Simpson 1/3, contf. A regra de Simpson 1/3 pode ser escrita como I (b a) }{{} Largura f(x 0 )+4f(x 1 )+f(x 2 ) 6 } {{ } Altura média (2) a = x 0,b = x 2 e x 1 = o ponto médio entre a e b, (b +a)/2 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 10/28

11 Erro da regra com um segmento De acordo com a equação (2), o ponto médio é ponderado por dois terços Os pontos extremos, é ponderado por um sexto Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 11/28

12 Erro de truncamento É possível demonstrar que a aplicação de um segmento da regra de Simpson 1/3 tem um erro de truncamento ou como h = (b a)/2 E t = 1 90 h5 f (4) (ξ) (b a)5 E t = 2880 f (4) (ξ) (3) ξ está em algum lugar no intervalo de a a b Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 12/28

13 Simpson é melhor que trapézio A regra de Simpson 1/3 é mais exata que a regra do trapézio A comparação com a equação E t = 1 12 f (ξ)(b a) 3 Indica que a regra de Simpson é mais exata que o esperado Não é proporcional à terceira derivada, o erro é proporcional à quarta derivada Porque o termo do coeficiente de terceiro grau zera durante a integração da interpolação polinomial Em consequência, a regra de Simpson 1/3 alcança uma precisão de terceira ordem mesmo baseada em só três pontos Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 13/28

14 Exemplo 1 - aplicação simples da regra de Simpson 1/3 Use a equação (2) para integrar f(x) = x 200x x 3 900x x 5 no intervalo a = 0 e b = 0.8 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 14/28

15 Solução f(0) = 0.2, f(0.4) = 2.456, f(0.8) = A equação (2) é usada para calcular 0.2+4(2.456) I 0.8 = Que representa um erro E t = = , ǫ t = 16% A regra é 5 vezes mais precisa que uma aplicação da regra do trapézio Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 15/28

16 Solução, cont. O erro estimado é calculado pela equação (3) E a = (0.8)5 ( 2400) = Onde 2400 é a média da quarta derivada no intervalo É obtida usando a equação Média = b a f(x)dx b a Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 16/28

17 Solução, cont. O erro aproximado (E a ), devido a média da quarta derivada não é una estimação exata de f (4) (ξ) Como este caso tem a ver com um polinômio de quinto grau, o resultado é coerente Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 17/28

18 Regra de Simpson 1/3 de aplicação múltipla Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 18/28

19 Regra de Simpson 1/3 de aplicação múltipla Como a regra do trapézio, a regra de Simpson melhora ao dividir o intervalo de integração em vários segmentos de um mesmo tamaho (Figura 1) h = b a n (4) Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 19/28

20 Figura 2 - Simpson 1/3 múltipla Representação gráfica da regra de Simpson 1/3 de aplicação múltipla O método pode ser empregado somente se o número de segmentos for par Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 20/28

21 Integral total A integral total pode ser representada como I = x2 x 0 f(x)dx + x4 x 2 f(x)dx xn 2 x n f(x)dx Ao substituir a regra de Simpson 1/3 em cada integral obtemos I = 2h f(x 0)+4f(x 1 )+f(x 2 ) 6 +2h f(x 2)+4f(x 3 )+f(x 4 ) h f(x n 2)+4f(x n 1 )+f(x n) 6 Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 21/28

22 Combinando Combinando termos e usando a equação (4) I (b a) }{{} Largura f(x 0 )+4 n 1 i=1,3,5 f(x i)+2 n 2 i=2,4,6 f(x j +f(x n ) 3n } {{ } Peso médio (5) Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 22/28

23 Sintese A Figura 1 mostra que devemos usar um número par de segmentos para implementar o método Além disso, os coeficientes 4 e 2 na equação (5) a primeira vista parecem particulares Porém, seguem naturalmente a forma da regra de Simpson 1/3 Os pontos impares representan o termo médio em cada aplicação e levam o peso de 4 da equação (2) Os pontos pares são comuns a aplicações adjacentes e são contados duas vezes Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 23/28

24 Estimativa do erro O erro estimado na regra de Simpson de aplicação múltipla é obtido da mesma maneira que na regra do trapézio Somando os erros individuais dos segmentos e calculando a média para chegar à derivada E a = (b a)5 180n 4 f (4) (6) Onde f (4) é a média da quarta derivada no intervalo Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 24/28

25 Exemplo 2 - regra de Simpson 1/3 de aplicação múltipla Use a equação (5) com n = 4 para estimar a integral de f(x) = x 200x x 3 900x x 5 No itervalo a = 0 e b = 0.8, o valor da integral é Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 25/28

26 Solução n = 4,h = (b a)/n h = 0.2 f(0) = 0.2, f(0.2) = f(0.4) = 2.45 f(0.6) = 3,464 f(0.8) = Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 26/28

27 Solução, cont. Usando a equação (5), temos 0.2+4( ) +2(2.456) I = 0.8 = E t = = E t = 1.04% Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 27/28

28 Algoritmo Simpson 1/3 Portugol Função f(x) = x 200 x x x x 5 ; Execução i = simpson( f1,0,0.8, 4) Resultado i = Clarimar, Departamento de Computação Aula 16, Integração numérica 28/28