UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ. Cálculo Numérico. S. C. Coutinho. Provas e gabaritos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ Cálculo Numérico S. C. Coutinho Provas e gabaritos Lembre-se: Nas provas não são aceitas respostas sem justicativa. Você deve saber explicar tudo o que zer.

2 DCC-UFRJCálculo numérico Primeira ProvaTurma EC225/2 Questão (4 points) Considere as funções f (x) = e x/4 e f 2 (x) =, 982/x. (a) Invente uma função g(x), diferente da que é dada pelo método de Newton, cujo ponto xo é o ponto de interseção dos grácos de y = f (x) com y = f 2 (x). (b) Verique que a iteração dada por x n+ = g(x n ) é convergente no intervalo [, 2]. (c) Determine uma aproximação numérica, correta até a segunda casa decimal, do ponto xo de g(x), partindo do ponto x =,. (d) Determine uma aproximação numérica, correta até a segunda casa decimal, do ponto de interseção de y = f (x) com y = f 2 (x), usando o método de Newton, com ponto de partida x =,. O ponto de interseção é dado por f (x) = f 2 (x); isto é, por e x/4 =, 982/x, que podemos reescrever na forma x =, 982/e x/4. Isto sugere tomar g(x) =, 982e x/4. Para mostrar que a iteração converge em [, 2], usamos o teorema do valor médio para escrever x n+ ξ = g(x n ) g(ξ) = g (c) x n ξ, em que ξ é o ponto xo de g e c está entre x n e ξ. Mas g (x) =, 982 e x/4. 4 Como e x/4 é uma função crescente, sua inversa e x/4 = /e x/4 é decrescente. Logo, g (x) =, 982, 982 < 4ex/ <, para tod x. Iterando a função g a partir de x =,, obtemos os seguintes valores para x n e o erro e n : n x n e n, 42, 2 2, 86 4, 65 2, 42, , 96 5, 676 Portanto, a aproximação desejada é x 4 =.96. Finalmente, precisamos achar um zero de e x/4 =, 982/x usando o método de Newton. Para facilitar as contas, vou rearrumar a equação na forma xe x/4, 982 =, de modo que o problema Page 2

3 consiste em calcular um zero da função h(x) = xe x/4, 982 pelo método de Newton. Como h (x) = e x/4 + xex/4 = x + 4 e x/4 4 4 a iteração do método de Newton-Raphson é dada por x n+ = x n 4 x ne x/4, 982 (x n + 4)e xn/4 = x2 ne xn/4 + 7, 92 (x n + 4)e xn/4. Calculando a iteração pedida, temos n x n e n Portanto, a aproximação desejada é.98. Questão 2 (4 points) Considere o sistema linear x + 4y + z = 7 x + y z = 5x + y 22z = 48. (a) Calcule a decomposição PLU da matriz do sistema. (b) Calcule a solução exata do sistema. (c) Rearrume o sistema de modo que o método de Jacobi seja convergente e calcule duas iterações por este método, partindo de v () = [,, ] t (d) Calcule os erros absoluto e relativo cometidos, no cálculo feito em (c), para a cordenada y da solução do sistema, arredondando para três casas decimais. A matriz do sistema é Vamos aplicar eliminação gaussiana a esta matriz. Como a posição, é não nula, não há necessidade de trocar linhas de posição. Ao nal da eliminação com o pivô na posição,, obtemos: 4 U = 4 e L = 7 5 Page

4 Mas uma vez não há necessidade de trocar linhas de lugar, porque a posição 2, 2 não é nula. Ao nal desta etapa, obteremos 4 U = 4 29 e L = ; 5 além de P, que será igual à matriz identidade. Por outro lado, multiplicando 4 x 7 y = 5 22 z 48 à esquerda por L, obtemos 4 x y = = 8, 29 z donde x =, y = 2 e z =. Passando à letra (c), trocamos a primeira equação o sistema com a segunda, para obter a matriz A = cuja diagonal é estritamente dominante. Com isto o método de Jacobi converge para esta matriz. Não esqueça que também preciamos trocar as posições das duas primeiras entradas no vetor de constante, que passa a ser b = 7, 48 Como 4 = 4 +, o sistema pode ser reescrito na forma x 4 y = 22 z 5 x y + z da qual extraímos a iteração do método de Jacobi: x n+ x n 4 y n+ = y n + 22 z n+ 5 z n 7 48, Page 4

5 Aplicando duas vezes esta iteração com v = [,, ] t, obtemos v = 7. e v 2 = Com isso, o erro absoluto cometido no cálculo da coordenada y é = 8 = e o erro relativo correspondente é = 8 = Questão ( points) Dê exemplo de: (a) uma função f : R R que tem um único zero, mas para a qual o método de bisseção não funciona; (b) uma matriz A, de tamanho 2 2 e com nas duas posições da diagonal, de modo que a matriz R correspondente à iteração x n+ = Rx n + c do método de Gauss-Seidel tem raio espectral maior que ; (c) um polinômio de grau dois para o qual o método de Newton alterna entre os valores e 2. Um exemplo para (a) é f(x) = x 2, porque todo o gráco está de um lado só do eixo x, de modo que não podemos aplicar o teorema do valor intermediário. Para (b), vou considerar a matriz e calcular A = [ ] b = c [ ] + c [ ] b [ ] [ ] b R = (D + L) U =. c Como [ ] = c de modo que R = (D + L) U = [ ] c [ ] [ ] b c = [ ] b cb Page 5

6 Para que R tenha raio espectral maior que é necessário que bc >. Finalmente, para resolver (c), suporemos que f(x) = x 2 + ax + b. Calculando a iteração do método de Newton-Raphson para este polinômio, obtemos g(x) = x x2 + ax + b 2x + a = x2 b 2x + a. Queremos que g() = b 2 + a que corresponde ao sistema linear = 2 e que g(2) = 4 b 4 + a = ; 2a + b = a + b =. Resolvendo o sistema, obtemos a = e b =, de modo que o polinômio desejado é x 2 x +. Page 6

7 DCC-UFRJCálculo numérico Segunda ProvaTurma EC225/2 Questão ( points) A tabela abaixo foi obtida como resultado de um experimento relativo à variação da temperatura T (em graus Celsius) com a posição x (em centímetros): T x (a) Use interpolação entre os pontos de posição.,.2 e.4 para calcular a temperatura na posição. com arredondamento para três casas decimais. (b) Determine a curva da forma T = ae bx que melhor se ajusta aos dados da tabela e use a fórmula assim obtida para calcular T (.) com três casas decimais. O polinômio interpolador é (x.2)(x.4) (x.)(x.4) (x.)(x.2) P = (..2)(..4) (.2.)(.2.4) (.4.)(.4.). Substituindo x =., obtemos P (.) = Para achar a curva exponencial T = ae bx que melhor se ajusta a estes dados aplicamos logaritmo natural a esta equação obtendo ln(t ) = ln(a) + bx. Escrevendo α = ln(a) a equação toma a forma ln(t ) = α + bx. Para poder montar o sistema, precisamos dos logaritmos dos valores de T dados na tabela: T ln(t ) x A matriz de Vandermonde correspondente é..2 V = de modo que a equação normal é dada por [ ] α V t V = V t b b Page 7

8 em que Como V t V = b = [ 5 ] obtemos, ao resolver o sistema, que e V t b = α =.4 e b =.54. [ ] Levando em conta que a = e α = 2.7, a relação entre T e x que melhor se adapta aos dados é T = 2.7 exp(.54x). A aproximação para T (.) resultante desta expressão é Questão 2 ( points) A área do círculo x 2 + y 2 = é igual a π. (a) Determine uma aproximação para a área limitada por este círculo no primeiro quadrante usando o método de Simpson com h =.25 e determine uma estimativa para π a partir disto. Expresse o resultado com três casas decimais. (b) Seja f(x) = x 2. Sabendo-se que f () =, que f ( 2/2) = 2/2 e que f (x) não se anula no intervalo aberto (, ), determine h de modo que a integração pela regra do trapézio produza o valor de π correto até a segunda casa decimal. Se f(x) = x 2 então, pelo método de Simpson, f(x)dx = h (f(x ) + f(x 4 ) + 2f(x 2 ) + 4(f(x ) + f(x ))) Tabelando os valores de f(x i ) obtemos i 2 4 x i f(x) Substituindo na fórmula e efetuando os cálculos f(x)dx =.25 ( ( )) =.779. Page 8

9 Arredondando para casas decimais, obtemos.77, de modo que o valor de π correspondente será 4.77 =.84. Para obter π correto até a segunda casa decimal com os dados de (b) precisamos que a integral entre e 2/2 seja igual a.4/4 =.785 quando calculada com 4 decimais corretas. Pela fórmula do erro para o método do trapézio devemos ter, portanto, que ( 2)h 2 f (ξ) > 2, para algum ξ (, 2/2). Como f (x) não se anula em (, ), os valores dados para f (x) mostram que a f (x) é crescente em (, 2/2). Logo, considerando o intervalo de integração como sendo [, 2/2], temos que 2h 2 f (ξ) > 2 > 2h2 2h 2 = 2 2. Segue-se disto que h 2 < ; donde teria que ser menor que.92. Note que não é possível usar o intervalo [, ] no cálculo do erro porque a função f x (x) = x 2 não é limitada neste intervalo. Questão ( points) Considere o problema de valor inicial y y 2 cos(x) = e y() =. (a) Descreva a recorrência do método de Euler modicado no caso especíco do problema de valor inicial acima. (b) Calcule o valor de y() usando o método de Euler modicado com passo.5. Sua resposta deve incluir todos os valores intermediários das variáveis calculados ao longo da execução do algoritmo. Page 9

10 A iteração é dada por y() = yn+ = y n + hyn 2 cos(x n ) y n+ = y n + h ( y 2 2 n cos(x n ) + (yn+) 2 cos(x n+ ) ) Aplicando-a com x n = n.5, obtemos os dados tabelados abaixo: n 2 x n.5 yn.5.8 y n Portanto, o valor desejado é y() =.69. Questão 4 (2 points) Considere o problema de valores de contorno y = y + y + x 2, y() = 2 e y() =. Calcule y() usando o método de diferenças nitas com h =. Substituindo as aproximações y (x n ) y n + y n+ 2h na equação e levando em conta que h =, obtemos donde, quando n =, e, quando n = 2, y n+ 2y n + y n = (y n+ + y n ) 2 e y (x n ) y n+ 2y n + y n h 2 + y n + x 2 n, 2(y 2 2y + y ) = (y 2 + y ) + 2y (y 2y 2 + y ) = (y + y ) + 2y Levando em conta que y() = 2 e y(2) =, obtemos 6y y 2 = 2 5y 6y 2 =. Resolvendo o sistema y = 5 e y 2 = 2. Portanto, y() 5. Page

11 DCC-UFRJCálculo numérico Primeira ProvaCiência da Computação26/2 Questão (4 points) Considere o sistema linear AX = b, em que 9 6 A = 5 2 e b = 2 2 (a) Calcule a decomposição PLU da matriz do sistema, usando pivoteamento parcial. (b) Calcule as matrizes R e c tais que x = Rx + c é a iteração obtida aplicando-se o método de Gauss a este sistema. (c) Calcule o autovalor dominante de R com erro menor que usando o método da potência a partir de u = [,, ] t /. (d) O que o resultado obtido em (c) nos diz sobre a convergência da iteração x n+ = Rx n + c? Aplicando eliminação gaussiana, temos / 8/ 2 /9 2 4 / Portanto, P é a matriz identidade, 9 6 U = 6/ 8/ e L = /9 4 / (b) Decompondo A na forma A = 5 2 = temos que 9 R = e c = Como =, Page

12 então, R = e c = Várias pessoas zeram Jacobi, em vez de Gauss-Seidel. (c) Ao nal do primeiro laço temos w = R u = = normalizando w e calculando a aproximação do autovalor correspondente, obtemos.84 u =.498 e λ = u t Ru = Como Como o erro será λ = u t Ru =.64. λ λ = =.257 é maior que. precisamos executar mais um laço. Desta vez.22 w 2 =.66 donde.8655 u2 =.427 e λ2 = Como o processo para λ λ 2 = =.8 <., Logo a aproximação desejada para o autovalor dominante é Algumas pessoas iteraram A, em vez de R. (d) Como o maior autovalor em módulo é.644, o raio espectral de R tem que ser menor que. Logo, a iteração do método de Gauss-Seidel converge para a solução do sistema. A pergunta diz respeito à convergência de Gauss-Seidel e não à convergência do método da potência. Questão 2 (6 points) Considere a função f(x) = x cos(x) x 2 8x com domínio no intervalo [, ]. Page 2

13 (a) Determine uma função g(x) cujo ponto xo é um zero de f(x) e prove que a iteração x n+ = g(x n ) converge no intervalo [, ]. (b) Use esta iteração com x = para achar o zero de f(x) com erro inferior a 2. (c) Calcule o polinômio interpolador pelos pontos (f(x i ), x i ), em que x =, x =.5 e x 2 =. (d) Calcule o zero de f(x) (arredondado para duas casas decimais) usando o polinômio interpolador e determine o erro absoluto que seria cometido se achássemos o zero por este método. (e) Calcule o polinômio linear que melhor se ajusta aos pontos de (c) usando o método dos mínimos quadrados. O item (a) desta questão vale 2 pontos. f(x) = nos sugere escrever donde 8x = x cos(x) x 2 g(x) = x cos(x) x2. 8 Para mostrar que esta iteração converge, precisamos calcular a derivada de g(x): g (x) = x sen (x) + cos (x) 2 x. 8 Como x, cos(x) e sen(x) são todos menores ou iguais a, temos pela desigualdade triangular que g (x) = x sen(x) + cos(x) 2x x sen(x) + cos(x) + 2 x = 2, para todo x [, ]. Portanto, a iteração dada por x n+ = g(x n ) para a função x n escolhida realmente converge no intervalo [, ]. Iterando a partir de x =, temos i x i g(x i ) erro Logo, a aproximação desejada para o zero de f(x) no intervalo [, ] é.452. (c) e (d) Tabelando os pontos, obtemos f(x i ) x i..5. de modo que o polinômio interpolador, calculado pelo método de Lagrange é p(x) =.2 x x.482. Page

14 O zero de f(x) calculado a partir do polinômio interpolador é p() = e o erro absoluto, quando calculamos o zero de f(x) desta maneira é.5.4 =.. Muita gente errou as questões (c) e (e) porque interpolou os pontos (x i, f(x i )) em vez de (f(x i ), x i ), como foi pedido. (e) A matriz de Vandermonde é [ ] V =. 4.8 ao passo que b = 2.. donde v t V = [ ] Logo, a equação normal é [ ] [ ] a b cujas soluções são e c = = [ ] [ ].5, 6.65 a =.55 e b =.5. Donde a reta desejada é y =.5x.55. Page 4

15 DCC-UFRJCálculo numérico Segunda ProvaCiência da Computação26/2 Questão (2 points) Use o método de Newton para calcular o máximo da função f(x) = x( e x/4 ) no intervalo [2., 2.5] com tolerância inferior a 2. Você deve vericar que o ponto que obteve é, de fato, um máximo de f. O máximo é um zero da primeira derivada de f, que é igual a f (x) = ( e x/4 ) + x( 4 ex/4 ) = (4 + x) e x/4. 4 Portanto, devemos aplicar o método de Newton a esta função. Como f (x) = 4 ex/4 (4 + x) e x/4 (8 + x) = e x/4, 6 6 a iteração do método de Newton será x k+ = g(x k ), com 2 (4 + x)ex/4 g(x) = x 4 = 48 + (x2 + 4x 6)e x/4. (8 + x)e x/4 (8 + x)e x/4 Iterando a partir de x = 2., x = g(2.) = 2.5 x 2 = g(2.5) = 2.47 x = g(2.47) = 2.47 Com isto achamos o ponto crítico x 2.47, que é, de fato, um máximo, porque f (2.47) = Questão 2 ( points) Seja I n o valor aproximado da integral x + dx calculado usando a regra do trapézio com [, ] subdividido em n partes iguais. (a) Prove que esta integral é igual a ln(2). (b) Calcule I 4. A diferença I 4 ln(2) é positiva ou negativa? Page 5

16 (c) Explique porque, qualquer que seja n, a diferença I n ln(2) terá sempre o mesmo sinal que I 4 ln(2). Fazendo a substituição u = x + a integral se torna 2 du = ln(x) u=2 u= = ln(2) ln() = ln(2). u Para calcular I 4, devemos tomar h = /4, de modo que, pela regra do trapézio I 4 = ( ) = =.697. Logo, a diferença é I 4 ln(2) = =.4 >. A diferença será sempre positiva porque a função /(x + ) tem concavidade para baixo. Com isso, qualquer segmento de reta entre dois pontos da curva ca sempre acima do arco da curva. Questão ( points) Considere o problema de valor inicial ẏ = t cos(y) e y() =. (a) Calcule uma aproximação para y() usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com h =.5. (b) Use o resultado de (a) para calcular uma aproximação para ÿ(). Aplicando o método de Runge-Kutta de segunda ordem ao problema dado, obtemos a iteração y k+ = y k +.25(t k cos(y k ) + (t k +.5) cos(y k +.5t k cos(y k ))). Como y =, então y =.25 e y 2 =.48. Para (b), usamos a regra da cadeia, para obter de ẏ = t cos(y) que ÿ = d(t cos(y)) dt = cos(y) t sen(y)ẏ = cos(y) t 2 sen(y) cos(y) Portanto, ÿ() cos(y 2 ) t 2 2 sen(y 2 ) cos(y 2 ) =.476. Page 6

17 Questão 4 (2 points) Considere o problema de valores de contorno y + 4xy = x 2, com y() = e y() =. (a) Determine o sistema linear obtido aplicando-se a este problema o método das diferenças nitas com passo h. Você deve explicitar de que forma as condições de contorno afetam o sistema. (b) Resolva o sistema para h = e calcule os valores de y() e y(2). Substituindo as aproximações na equação, obtemos y (x k ) y k+ y k 2h e y (x k ) y k+ 2y k + y k h 2 y k+ 2y k + y k h 2 + 2x k y k+ y k h = x 2 k. Escrevendo as condições de contorno serão Quando k =, n = ( )/h = /h y = y n =. y 2 2y + y y 2 y + 2x h 2 h que, levando em conta y = e que x = h, torna-se Por outro lado, quando k = n, 2h 2 + h 2 y 2 2 h 2 y = h 2. = x 2 ; ( 2x n h + ) y h 2 n 2 2 h y 2 n = x 2 n. Portanto, no caso especíco em que h =, o sistema que devemos resolver é 2y + y 2 = y 2y 2 = 4, cujas soluções são y = 4 e y 2 = 5. Page 7

18 DCC-UFRJCálculo numérico Prova FinalCiência da Computação26/2 Questão (. points) As seguintes iterações foram propostas como maneiras de calcular a interseção dos grácos das funções sen(x) e f(x) = 2x + 2: g (x) = 2 sen(x) x g 2 (x) = (2 sen(x))/2 g (x) = ( sen(x) + x cos(x) + 2)/(2 + cos(x)). (a) Explique como cada uma destas iterações foi obtida. (b) Para quais destas iterações podemos garantir a convergência a partir de x =? (c) Qual destas iterações você espera que vá convergir mais rapidamente? g e g 2 são obtidas a partir de manipulações algébricas simples, já g corresponde ao método de Newton. Para a iteração dada por g i (x) ser convergente, é necessário que g i(x) < para todo x real. Mas, ao passo que g (x) = cos(x) cos(x) + 2, g 2(x) = cos(x)/2 /2. Portanto, não podemos garantir a convergência de g, mas g 2 e g são convergentes. A terceira converge mais rapidamente que a segunda, porque a convergência do método de Newton é quadrática, ao passo que a convergência da segunda iteração é apenas linear, pois g 2(x). Questão 2 (2. points) Considere o sistema AX = b em que 4 5 A = e b = (a) Determine a decomposição PLU de A e resolva o sistema. (b) Ache matrizes R e c tais que x k = Rx k + c é a iteração de Jacobi do sistema. Page 8

19 A decomposição PLU é dada por P = I, 4 L = e U = As soluções do sistema são x = 2 4, y = 6, z = 9 2. Decompondo A na forma 4 4 A = = temos que /4 5/4 R = 2/ / e c = 5/2 Questão (. points) Qual o número n de partes em que é necessário dividir o intervalo [, ] para calcular a área sob o gráco de cos(x 2 ) com erro inferior a 4, usando o método de Simpson? O erro no método de Simpson é dado por para algum ξ [, ]. Como temos que 8 nh5 f (4) (ξ) = 8 ( 5 n 4 ) f (4) (ξ) f 4 (x) = 48 x 2 sin ( x 2) + ( 6 x 4 2 ) cos ( x 2) f 4 (x) = 688 para todo x [, ]. Logo, uma cota superior para o módulo do erro é dada porque ( ) 5 5 f (4) (ξ) 688 ( ) 5. 8 n 4 8 n 4 Tomando, ( ) 5 4, obtemos n e, como n é inteiro, n n 4 Page 9

20 Questão 4 (2. points) Considere os pontos (, ), (2, ), (4, 5), (5, 9), (6, 97), (9, 7). (a) Use o método de diferenças divididas para encontrar o grau e o coeciente do termo de maior grau do polinômio que interpola estes pontos. (b) Use o método dos mínimos quadrados para achar o polinômio de grau que melhor se adapta a estes pontos. A tabela gerada pelo método de diferenças divididas é Como só precisamos dos quatro primeiros pontos para achar os coecientes do polinômio interpolador, isto signca que o polinômio é x x, que tem grau e seu coeciente líder é.. Como o polinômio calculado via mínimos quadrados minimiza a distância entre seu gráco e os pontos dados e há um polinômio de grau três que passa por esses pontos, então o polinômio desejado é o mesmo calculado acima. Questão 5 (2. points) Considere o problema de valores de contorno xy 2y = 6, com y() = e y(5) =. (a) Determine o sistema linear nas variáveis y 2, y e y 4 obtido aplicando-se a este problema o método das diferenças nitas com passo h = e resolva-o. (b) Calcule y (). Substituindo as aproximações y (x k ) y k+ y k e y (x k ) y k+ 2y k + y k 2h h 2 na equação e levando em conta que h =, obtemos Portanto, o sistema será (x k + )y k 2x k y k + (x ) y k = 6. 2y = 6 4y 2 + y = 5 4y 2 6y + 2y 4 = 6 5y 8y 4 = 6. Page 2

21 A matriz deste sistema é a mesma da segunda questão 4 A = cuja Para calcular y (), note que, derivando xy 2y = 6 obtemos y + xy 2y =, donde y = x y. Quando x =, obtemos y () = y () = (6 2y ()) 6 (y 2 y ) = 6 ( ) = 9 4. Page 2