1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d) 0.11 (e) (f)

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1 1 a Lista de Exercícios de Cálculo Numérico Prof a. Vanessa Rolnik 1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d).11 (e).8125 (f) Converta os seguintes números binários para sua forma decimal: (a) 111 (b) (c) 1 (d).111 (e).11 (f) Considere o sistema F(1,3,4,4). Represente neste sistema os números a seguir e indique o tipo de erro quando a representação não for possível. (a) (b) (c) (d) Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: β = 1, t = 4, m = 5 e M = 5. Pede-se: (a) qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina? (b) como será representado o número nesta máquina? (c) se a = 4245 e b = 3 qual o resultado de a + b? (d) qual o resultado da soma S = k=1 nesta máquina? (e) idem para a soma: S = 1 k= (Obviamente o resultado deveria ser o mesmo. Contudo, as operações devem ser realizadas na ordem em que aparecem as parcelas, o que conduzirá a resultados distintos.) (f) o resultado da operação: = wz/t pode ser obtido de várias maneiras, bastando modificar a ordem em que os cálculos são efetuados. Para determinados valores de w, z e t, uma sequência de cálculos pode ser melhor que outra. Faça uma análise para o caso em que w = 1, z = 35 e t = Determinar a parábola mais próxima dos pontos (x i, y i ) para a função y = f(x) tabelada: usando o método dos mínimos quadrados. x y Um osciloscópio, um certo comportamento periódico é observado. Fazendo as medidas obtemos a tabela: Ajuste esses dados pelo método dos mínimos quadrados por uma função G(x) da família G(x) = asenx + b cos x 1

2 π π 3π x π f(x) Considere x y (a) Através do teste de alinhamento, escolha umas das seguintes famílias de funções que melhor ajusta estes dados: ae bx, 1/(a + bx), x/(a + bx). (b) Ajuste os dados acima à família de funções escolhida. 8. Sejam os dados: x y Estime o valor de f(2.2): (a) através de um polinômio interpolador de Newton de segundo grau; (b) através de um polinômio interpolador de Lagrange de segundo grau; (c) resolvendo o sistema linear. Calcule uma aproximação para o erro. 9. Com que grau de precisão podemos calcular e 15 usando interpolação sobre os pontos: x = 1, x 1 = 2, x 2 = 3? Calcule o polinômio interpolador e compare seu valor aproximado com o exato. Use 6 casas decimais. 1. Considere as seguintes tabelas para uma mesma função: Tabela 1: x f(x) Tabela 2: x f(x) (a) Deseja-se obter o polinômio interpolador para a tabela (1) e depois para a tabela (2), de modo a fazer o menor número de operações. Qual o método ideal? Justifique. (b) Calcule os polinômios interpoladores para as tabelas (1) e (2) usando o método escolhido no item a). 2

3 11. Seja P 3 (x) o polinômio interpolador para os dados (, ), (, 5; y), (1, 3) e (2, 2). Encontre y para o caso em que o coeficiente de x 3 em P 3 (x) é A equação erf(z) é definida pela integral erf(z) = 2 π z e t2 dt sendo encontrada com frequência na teoria de probabilidades, erros de observação, refração, condução de calor, etc. Usando os dados da tabela abaixo, determine uma aproximação para erf(, 14) usando um polinômio interpolador de grau 3. z,,5,1,15,2 erf(z),,6,11,17, Uma maneira de se calcular o valor da derivada de uma função em um ponto x, quando não se conhece a expressão analítica da mesma, é usar uma tabela para formar um polinômio que aproxime a função, derivar então esse polinômio e avaliar sua derivada em x = x. Dada a tabela: x y calcule um valor aproximado para f (.5) usando polinômio de interpolação de grau Utilizando os dados da tabela a seguir, x x calcular a integral x dx, aplicando: (a) a regra do trapézio; (b) a regra 1/3 de Simpson; (c) a regra 3/8 de Simpson. 15. A velocidade v de um foguete lançado verticalmente foi tabelada como se segue: 3

4 x f(x) Usando a regra 1/3 de Simpson, calcular a altura do foguete imediatamente após 2 segundos. 16. A curva de carga típica de uma cidade é dada pela figura: Estime o consumo de energia diário dessa cidade utilizando a regra do Trapézio Generalizado, sendo as medidas de potência a cada hora descritas na tabela a seguir: hora MW hora MW hora MW hora MW Usando a regra 3/8 de Simpson calcular: 1.2 utilizando h =.2 e h =.6. Sabe-se que: e x sen(x) dx. x e x sen(x) Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de: 1 I = e x2 dx com erro inferior a

5 19. Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra 1/3 de Simpson, obter π/2 I = e x cos(x) dx com 4 casas decimais corretas. 2. Determinar h de modo que a regra 3/8 de Simpson forneça o valor de com erro inferior a I = sen(x) dx 21. Encontre uma aproximação de diferenças avançadas de O(h) para d4 f dx Encontre uma aproximação de diferenças atrasadas de O(h) para d3 f dx Encontre uma aproximação de diferenças avançadas de O(h 3 ) para df dx. 24. Encontre uma aproximação de diferenças centradas de O(h 2 ) para d3 f dx Dada a função f(x) = cos(πx), encontre uma aproximação para a derivada primeira de f em x =.25 usando diferenças progressivas e regressivas de O(h 2 ). Use passos de tamanho.1,.1 e.25. Encontre a solução exata. Compare os resultados obtidos. 26. Dada a tabela abaixo, calcule aproximações para f (5), f (7) e f (9). Use fórmulas de diferenças finitas de O(h) e O(h 2 ). Encontre as soluções exatas. Compare os resultados. x f(x) = x Escreva um algoritmo para a) realizar um ajuste exponencial do tipo g(x) = ae bx ; b) aproximar f(x) por uma função g(x) = a + bx usando o método dos mínimos quadrados. c) interpolar uma f(x) dada por uma tabela usando a forma simétrica da forma interpoladora de Newton; d) integrar uma função cuja expressão foi dada usando a regra 1/3 de Simpson com um número grande de pontos; e) integrar uma função dada por uma tabela usando uma combinação das regras 1/3 e 3/8 de Simpson para que a aproximação seja a melhor possível; f) derivar uma função dada por uma tabela usando a fórmula de diferença centrada de ordem 2. 5