Fundamentos IV. Introdução a análise de erros. Clarimar J. Coelho. August 14, Departamento de Computação

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1 Fundamentos IV Introdução a análise de erros Clarimar J. Coelho Departamento de Computação August 14, 2014 Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

2 Como aparecem os erros em matemática? Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

3 Objetivos da ciência Entender, modelar e simular um fato real Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

4 Modelagem matemátitca Fases da modelagem matemática Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

5 Erros intrínsicos aos modelos Erros inerentes aos modelos Erros nos instrumentos de medida Erros em medições experimentais Erros de conversão numérica Erros das operações aritméticas Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

6 Erros numéricos - erro absoluto Diferença entre o valor exato e o valor aproximado de um número E x = x x Onde, x é o valor exato e x é o valor aproximado Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

7 Erros numéricos - Erro relativo Diferença entre o valor exato e o valor aproximado de um número, dividida pelo valor exato R x = x x x = R x x Onde, x é o valor exato e x é o valor aproximado Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

8 Exemplo 1 Se x = 5 e x = 4 E x = x x = 5 4 = 1 R x = x x x = = 1 5 = 0, 2 = 20% Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

9 Exemplo 2 Se y = e ȳ = 9999 E y = y ȳ = = 1 R y = y ȳ y = = 0, 0001 = 0, 001% Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

10 Conclusão O erro relativo é uma medida melhor do erro, pois leva em consideração a ordem de grandeza da quantidade Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

11 Erros na resolução do modelo matemático Erro de conversão do sistema decimal (humano) para o sistema binário (computador) No computador existe uma quantidade finita (muito grande) de números As operações aritméticas são realizadas com essa quantidade finita de números O conjunto de números usados pelo computador chama sistema aritmético de ponto flutuante Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

12 Sistema aritmético de ponto flutuante Conjunto de números que depende de vários parâmetros β - base do sistema de numeração t - número de algarismos de uma mantissa m - mentor potência de β permitida M - Maior potência de β permitida Denotamos o sistema por F(β, t, m, M) Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

13 Quais são os elementos de um sistema aritmético de ponto flutuante? Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

14 Os elementos do sistema 0 Números da forma ±(0, d 1 d 2...d t ) β β exp, onde m exp M e β é a base do sistema de numeração Os algarismos d 1 d 2...d t, são números inteiros escolhidos entre os números {0, 1,...,β 1}, com d 1 0 O conjunto {0, 1,...,β 1} é a mantissa Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

15 Quantidade de elementos Quantos elementos contém um sistema aritmético de ponto flutuante? 2(β 1)(M m+1) βt Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

16 Exemplo 3 No sistema F(2, 4, 4, 5), temos β = 2, t = 4, m = 4, M = 5 Então F, possui 2 (2 1)(5 ( 4)+1) = = 161 elementos Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

17 Maior número num sistema Qual é o maior número num sistema aritmético de ponto flutuante? β t 1 β t β M Todo número real, com valor maior que este número, é considerado + pelo computador Todo número real, com valor menor que é o oposto deste número, é considerado pelo computador Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

18 Exemplo 4 No sistema F(2, 4, 4, 5) O valor do maior elemento é = 30 Nesse sistema, todo número real maior que 30 é tido como + Todo número menor que -30 é tido como Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

19 Qual é o menor número num sistema aritmético de ponto flutuante? Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

20 Menor número β m 1 Todo número real com valor maior que zero e menor que este número, é considerado zero pelo computador/calculadora Todo número real, com valor que zero e maior que o oposto deste número, é considerado zero pelo computador Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

21 Exemplo 5 No sistema F(2, 4, 4, 5) O valor do menor elemento é = 1/32 Nesse sistema, todo número real 0 < x < 1/32 é tido como zero Todo número real 1/32 < x < 0 é tido como zero Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

22 Diversos sistemas aritméticos de ponto flutuante Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

23 Erros de aproximação numérica Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

24 Erros de aproximação numérica Truncamento Arredondamento Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

25 Truncamento Consiste em aproximar o valor de um número mantendo os k primeiros dígitos na sua representação decimal Se x = 0, d 1 d 2...d k+1 d k n, com d 1 0 Usamos x = 0, d 1 d 2...d k 10 n como valor aproximado de x O erro relativo que se comete não é sempre conhecido, mas pode ser estimado R trunc 10 k+1, no máximo Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

26 Exemplo 6 Sabemos que 7 = 2, Assim, 7 = 0, Então, 7 0, Trancando com três dígitos, 7 = 2, 64 O erro relativo não é maior que = 10 2 = 0, 01 ou 1% Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

27 Arredondamento Consiste em aproximar o valor de um número mantendo os k 1 dígitos na sua representação decimal Mantém-se o dígito d k se este é menor do que 5, ou Substituindo-o pelo dígito d k+1 se este é maior ou igual a 5: Se x = 0, d 1 d 2...d k d k+1 d k n, como d 1 0 Usamos x = 0, d 1 d 2...d k 10 n como valor aproximado de x Se d k+1 {0, 1, 2, 3, 4} ou usamos x = 0, d 1 d 2...(d k+1 ) 10 n como valor aproximado de x se d k+1 {5, 6, 7, 8, 9} O erro relativo desse processo é estimado por R trunc 0, 5 10 k+1 Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

28 Exemplo 6 Sabemos que 7 = 2, Assim, 7 = 0, Então, 7 0, Arrendondando com três dígitos, 7 = 2, 64 O erro relativo não é maior que 0, = 0, = 0, 005 ou 0, 5% Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

29 Outros tipos de erros: perda de significância e propagação de erro Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

30 Perda de significância Considere os números p = 3, e q = 3, p e q são números quase iguais com 11 dígitos A diferença p q = 0, , produz um número com cinco dígitos decimais de precisão Esse fenômeno é conhecido como perda de significância ou cancelamento subtrativo Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

31 Exemplo 7 Compare os resultados do cálculo f(0.01) e P(0, 01), utilizando seis dígitos e de arredondamento, onde f(x) = ex 1 x x 2 e P(x) = x 6 + x2 24 Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

32 Cálculos Para f(x) f(0, 01) = e0,01 1 0, 01 1, , 01 (0, 01) 2 = = 0, 5 0, 01 P(x) é uma polinômio de Taylor de grau n = 2 para f(x) expandindo sobre x = 0 P(0, 01) = , ,01 24 = 0, 5+0, , = 0, Conclusão: P(0, 01) = 0, contém menos erro e deveria ter o mesmo resultado nos dois casos, a perda significância com a subtração é o problema Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

33 Propagação de erro Suponha que o computador trunca todos os valores numéricos para 4 dígitos a = 2/3 deve ser armazenado como 0,6666 com R a = 0, 0001 Somando a a ele mesmo seis vezes temos 0, , 6666 = 1, 333 1, 333+0, 6666 = 1, 999 1, 999+0, 6666 = 2, 665 2, 666+0, 6666 = 3, 331 a = 3, 331+0, 6666 = 3, 997 Cada vez a soma é truncada para 4 dígitos O valor verdadeiro para 6(2/3)=4 O erro relativo é R a = 4 3,997 4 = 0, Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

34 Dicas para evitar grande erros Para diminuir a magnitude dos erros de arredondamento, e para reduzir o possibilidade de overflow/underflow Faça o resultado intermediário tão perto de 1 quanto possível nos processos de multiplicação/divisão consecutivos Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

35 Usando a regra De acordo com esta regra, ao calcular xy/z, podemos programar a fórmula como: (xy)/z quando x e y na multiplicação são muito diferentes em magnitude x(y/z) quando y e z na divisão são próximos em magnitude (x/z)y quando x e z na divisão são próximos em magnitude Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

36 Exemplo 8 Quando calculamos y n /e nx quando x 1 y 1, devemos programar como (y/e x ) n e não y n /e nx para evitar overflow/underflow Rodar dica.m Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

37 Mais sobre erros Yang, W. Y., Cao, W., Chung, T.-S., Morris, J. Applied numerical methods using matlab, Welley, Disponível na página da disciplina Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

38 Lista de exercícios Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

39 Exercícios 1 Calcule o erro absoluto e o erro relativo nas aproximações de p e p (a) p = π, p = 22/7 (b) p = e 10, p = Suponha que p seja um valor aproximado de p, com um erro relativo de no máximo Encontre o maior intervalo que comporte p para p = Execute o cálculo ( ) (i) exatamente, (ii) usando aritmética com números de três dígitos e o método de truncamento, (iii) usando a aritmética com três dígitos e o método de arredondamento e (iv) calcule os erros relativos dos itens (ii) e (iii) Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40

40 Exercícios, cont. 5 Seja f(x) = x cos x senx x senx (a) Use aritmética com arredondamento para valores de quatro dígitos para calcular f(0, 1) (b) Substitua cada função trigonométrica com seu polinômio de Maclaurin de terceiro grau e repita o item (a) (d) O valore real é f(0, 1) = 1, Encontre o erro relativo para os valores obtidos nos itens (b) e (c) 6 Complete o cálculo 1/4 0 e x2 dx = 1/4 0 ) (1+x 2 + x2 2! + x6 dx = p 3! Estabeleça que tipo de erro está presente nessa situação. Compare sua resposta com o valor verdadeiro p = 0, Clarimar (Departamento de Computação) Aula 2 August 14, / 40