Cálculo Numérico Conceitos Básicos

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1 Cálculo Numérico Conceitos Básicos Prof. Jorge Cavalcanti MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - 1

2 Princípios usados em CN Fluxograma Solução Numérica MODELO PROBLEMA MATEMÁTICO modelagem SOLUÇÃO resolução PROBLEMA LEVANTAMENTO DE DADOS CONSTRUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO ESCOLHA DO MÉTODO NUMÉRICO IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ANÁLISE DOS RESULTADOS VERIFICAÇÃO 2

3 Princípios usados em CN Comuns à análise matemática, C&T 1. Iteração ou aproximação sucessiva Partindo-se de solução aproximada, inicial, repetem-se mesmas ações/processos para refinar solução inicial OBS: para evitar trabalho sem fim (e de graça), deve-se determinar se a iteração converge (nem sempre é o caso...) e condições de parada 3

4 Princípios usados em CN 2. Discretização Na resolução de problemas contínuos (aqueles definidos matematicamente com uma passagem ao limite), inverte-se a passagem ao limite, discretizando o problema Ex: e x2 dx ~ Σ... 4

5 Princípios usados em CN 3. Aproximação Substituir uma função ou modelo por outro que ofereça comportamento (de interesse) semelhante, mais simples de manipular f(x) g(x) Ex: assíntotas ilustram comportamento no limite de uma função (complexa) de interesse 5

6 Princípios usados em CN 4. Transformação Dado um problema P, desmembra-se P em dois problemas mais simples de resolver, P1 e P2 Área de um trapézio por retângulo (P1) e triângulos (P2) 6

7 Princípios usados em CN 5. Divisão e Conquista Resolver um problema P, por partes ou etapas Exemplo anterior (área do trapézio) Aulas nesta disciplina de CN 7

8 Sistemas de numeração Representação posicional Base decimal (10) 10 dígitos disponíveis [0,1,2,...,9] Posição indica potência positiva de = 5x x x x10 0 N=a n b n +a n-1 b n-1 +a n-2 b n a 0 b 0 +a -1 b a -m b -m N é um dado numero na base b e a n, a n-1 etc representam os coeficientes que multiplicam as potências de b. 8

9 Sistemas de numeração Representação de inteiros Base binária (2) 2 bits disponíveis [0,1] Posição indica potência positiva de na base 2 = 1x2 4 +1x x x x2 0 = = 27 na base decimal 9

10 Sistemas de numeração Representação de números fracionários Base decimal (10) Posição da parte inteira indica potência positiva de 10 Potência negativa de 10 para parte fracionária 54,32 = 5x x x x

11 Sistemas de numeração Representação de números fracionários Base binária (2) Posição da parte inteira indica potência positiva de 2 Potência negativa de 2 para parte fracionária 10,11 na base 2 = 1x x x x2-2 = 2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal 11

12 Outros sistemas de numeração Maior interesse em decimal (10) Nossa anatomia e cultura e binário (2) Uso nos computadores Outros sistemas Octal (8), {0,1,2,..., 7} Hexadecimal (16), {0,1,2,..., 9, A,B,C,D,E,F} Dodecimal (relógio, calendário) 12

13 Alguns sistemas numéricos Decimal Binário Octal Hexadecimal A B C D E F 13

14 Conversão de Inteiro Binário para decimal Já visto na base 2 = 1x2 4 +1x x x x2 0 = = 27 na base decimal Inteiro decimal para binário Divisão inteira (do quociente) sucessiva por 2, até que resto seja = 0 ou 1 Binário = composição do último quociente (Bit Mais Significativo MSB) com restos (primeiro resto é bit menos significativo LSB) Em inglês, Most Significant Bit MSB e least significat bit LSB, respectivamente. 14

15 Conversão de inteiro Exemplo: Converter 25 decimal para binário 25 / 2 = 12 (quociente) e resto 1= LSB 12 / 2 = 6 (quociente) e resto 0 6 / 2 = 3 (quociente) e resto 0 3 / 2 = 1 (último quociente=msb) e resto 1 Binário = MSB... LSB = = 1x x x x x2 0 = = 25 decimal 15

16 Conversão de Inteiros entre Sistemas Procedimentos básicos: - divisão - polinômio - agrupamento de bits HEXADECIMAL POLI DIV DECIMAL POLI DIV OCTAL DIV POLI BINÁRIO 16

17 Conversão (Inteiros) entre sistemas = Sentido da leitura O resto 15 é representado pela letra F Sentido = 21F 16 da leitura 17

18 Conversão (Inteiros) entre sistemas a) ( ) 2 = (? ) 16 b) (A79E) 16 = (? ) 2 18

19 Conversão (Inteiros) entre sistemas Conversão octal hexadecimal Não é realizada diretamente não há relação de potências entre as bases oito e dezesseis. Semelhante à conversão entre duas bases quaisquer base intermediária (base binária) Conversão em duas etapas: 1 - número: base octal (hexadecimal) binária. 2 - resultado intermediário: binária hexadecimal (octal). Joseana M. Fechine

20 Conversão de fração Operação inversa: multiplicar parte fracionária por 2 até que parte fracionária do resultado seja 0 (zero) Bits da parte fracionária derivados das partes inteiras das multiplicações Bit imediatamente à direita da vírgula = Parte inteira da primeira multiplicação 20

21 Conversão de fração Exemplo: converter 0,625 decimal para binário 0,625 x 2 = 1,25 logo a primeira casa fracionária é 1 ; nova fração (resto) é 0,25 (1,25-1=0,25) 0,25 x 2 = 0,5 segunda casa é 0 ; resto é 0,5 0,5 x 2 = 1,0 terceira casa é 1 ; resto é zero. Resultado: 0, = 0,

22 Conversão partes inteira,fracionária juntas Para converter um número com parte inteira e parte fracionária, fazer a conversão de cada parte, separadamente. 22 m m n 2 n 1 n 1 n n n b a... b a b a b a... b a b a a b Parte Inteira Parte Fracionária

23 Conversão partes inteira,fracionária juntas (8,375) 10 = (? ) 2 23

24 Exercícios Mostre que: 5,8 = 101, , é uma dízima. 11,6 = 1011, a vírgula foi deslocada uma casa para a direita, pois 11,6 = 2 x 5,8. 24

25 Representação em ponto (vírgula) flutuante - float Representação pode variar ( flutuar ) a posição da vírgula, ajustando potência da base. 54,32 = 54,32 x 10 0 = 5,432 x 10 1 = 0,5432 x 10 2 = 5432,0 x 10-2 Forma normalizada usa um único dígito antes da vírgula, diferente de zero Exemplo: 5,432 x

26 Representação em ponto (vírgula) flutuante - float No sistema binário: = 110,101x2 3 = 1,10101x2 5 = 0, x2 7 No caso dos números serem armazenados em um computador, os expoentes serão também gravados na base dois Como 3 10 = 11 2 e 7= ,101 x (2) 11 = 1,10101x(2) 101 = 0, x(2) 111 Na representação normalizada, há apenas um 1 antes da vírgula Exemplo: 1,10101x(2)

27 Representação em ponto (vírgula) flutuante - float Algumas definições No número 1,10101x(2) 101, tomado como referência: 1,10101 = significando (ou mantissa ) 101 = expoente OBS: a base binária não precisa ser explicitada (o computador usa sempre esta) O 1 antes da vírgula, na representação normalizada se esta for adotada, também pode ficar implícito, economizando um bit ( bit escondido ). 27

28 Representação em ponto (vírgula) flutuante - float Representação genérica Uma máquina representa um número real no sistema de aritmética de ponto flutuante, na forma: ±(.d 1 d 2...d t ) x (b) exp, t é o número de dígitos da mantissa d 1 d 2...d t = mantissa, com 0 d i (b-1), d1 0. b = base exp = expoente (inteiro com sinal) 28

29 Representação em ponto (vírgula) flutuante - float Representação genérica Considere uma máquina que opera no sistema: ±(.d 1 d 2...d t ) x (b) exp, onde: t = 3 b = 10 exp [-5, 5] 1. Como os números serão representados nesse sistema? 2. Qual o menor (m) e o maior número (M), em valor absoluto, que pode ser representado nesta máquina? 29

30 Padrão IEEE para floats O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a representação mais comum para números reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux. 30

31 Padrão IEEE para floats O padrão (ou norma) IEEE 754 define dois formatos básicos para os números em ponto flutuante: o formato ou precisão simples, com 32 bits; e, o duplo com 64 bits. 31

32 Padrão IEEE 754 para floats Sinal Expoente(+/-) Mantissa Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00] Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00] Sinal: 0 = + e 1 = - Combinações: Sinal + Expoente + Mantissa 32

33 Padrão IEEE 754 para floats Armazenamento do número 22,5 em precisão dupla. Número finito de bits na representação (número é apenas maior na precisão dupla), implica em truncamento (ou arredondamento) do número real a ser representado. Truncamento introduz erro na representação. 33

34 Erro na representação de floats Casos especiais: Overflow: número a representar é maior que maior número possível de ser representado. Underflow: número a representar é menor que menor número possível de ser representado. Menor Nº que pode ser expresso (DP): Maior Nº que pode ser expresso (DP): 34

35 Aritmética com floats Conhecidos os erros em dois números, é possível determinar o erro de uma operação entre eles, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Erro depende de método / procedimentos empregados. 35

36 Aritmética com floats Padrão IEEE 754 define algoritmo para adição, subtração, multiplicação, divisão e raiz quadrada e exige que implementações produzam o(s) mesmo(s) resultado(s). Igualdade dos bits (resultados) em várias processadores. Transportabilidade de software. Vide próximo módulo. 36