Representação de Números em Ponto Flutuante

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1 Representação de Números em Ponto Fixo char 8, short 16, int 32, long 32, long long 64 Números de 31 bits + sinal 2 31 < n < +(2 31 1) Números positivos de 32 bits 0 < n < +(2 32 1) Representam 2 32 quantidades distintas Representação de inteiros com sinal em complemento de dois é assimétrica: [ 2 31,0] [0,2 31 ) UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 1 Representação de Números em Ponto Flutuante float 32, double picosegundos segundos num ano aproximações para π e e Representação posicional: = = = UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 2 Representação em Ponto Flutuante float sinal expoente fração 8 bits 23 bits e bits de expoente, f bits de fração V = F β E para fração F, expoente E, e base β menor número: maior número: expoente faixa de representação fração precisão na representação 0 < fração < 1 faixa enorme representada por 2 23 padrões s precisão é menor que em ponto fixo 2 23 coisas s. Princípio 3: good design demands good compromise UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 3

2 Representação em Ponto Flutuante V = F 2 E para fração F, expoente E, e base 2 V = ( 1) sinal (f f f ) 2 E Número é normalizado se não há 0s à direita do ponto binário normalização: desloca fração para esquerda (aumentando precisão) enquanto decrementa expoente: norm = Exemplo: = 3/4 = 3/2 2 = /2 2 = = UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 4 Representação em Ponto Flutuante V = F 2 E para fração F, expoente E, e base 2 Valor máximo da fração é F max = 1 ulp ulp = 2 f Unit in the Last Position Se R é resultado de operação aritmética e R > F max então mantissa deve ser reduzida: F 2 E (F/2) 2 E+1 / = asr UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 5 Representação em Ponto Flutuante double menor número: maior número: sinal expoente fração 11 bits 20 bits fração 32 bits Formato: V = ( 1) sinal (f f f ) 2 E UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 6

3 Faixa de Valores Representáveis Faixa dos PF positivos: F min 2 E min V + F max 2 E max V + = V Overflow Negativo Negativos ( ) Underflow Underflow Negativo Positivo Zero Positivos Overflow Positivo ( ) overflow: expoente muito grande para representação > +127 underflow: expoente muito pequeno para representação < 126 representação do zero? UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 7 Padrão IEEE 754 Padrão universal para representação em ponto flutuante Primeiro dígito significativo da fração é impĺıcito, à esq do ponto: s eeee eeee [1].ffff ffff ffff ffff ffff fff sinal exp mant float double fração [1,2) números devem ser sempre normalizados!!! Zero é caso especial: expoente e fração são todos zero 1.ffff fff = significando Formato: ( 1) s (1 + fração) 2 E sinal significando expoente UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 8 Padrão IEEE 754 expoente deslocado (i) Qual a representação em float para os números 2 4 e 2 4? [1] [1] Considerando as duas representações como inteiros, qual delas representa o maior número? O expoente não é representado em complemento de dois para que se possa comparar floats como se fossem inteiros slt Formato: ( 1) s (1 + fração) 2 (E deslocamento) ( 1) s (1 + f f f ) 2 (E desloc) onde deslocamento é 127 ou 1023 UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 9

4 Padrão IEEE 754 expoente deslocado (ii) E: E 127 0: : : : : : : : : reservado (zero, denorm.) E neg [ 126, 1] E pos [0,127] reservado (overflow, NaN) a coluna da esquerda mostra expoente: repres a coluna da direita mostra o conjunto dos valores para os expoentes negativos e positivos UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 10 Padrão IEEE 754 expoente deslocado (iii) ( 1) s (1 + fração) 2 (E deslocamento) Com expoente deslocado, número menor tem expoente menor [1] [1] pode comparar floats e doubles com instruções para inteiros: beq e slt Faixas de expoente e da fração permitem representar a recíproca de sem overflow: 1/F+ F + min min < F+ max UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 11 Padrão IEEE 754 expoente deslocado (iv) ( 1) s (1 + fração) 2 (E deslocamento) Parâmetros do Formato IEEE 754 float double bits de precisão Expoente máximo E max Expoente mínimo E min Deslocamento no exp UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 12

5 Padrão IEEE 754 exemplos Exemplo 1: = 3/4 = 3/2 2 = /2 2 = = norm = representado em float: ( 1) s (1 + fração) 2 (expoente 127) ( 1) 1 ( ) 2 ( ) representado em double: ( 1) s (1 + fração) 2 (expoente 1023) ( 1) 1 ( ) 2 ( ) UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 13 Padrão IEEE 754 exemplos ( 1) s (1 + fração) 2 (expoente 127) Exemplo 2: norm = = ( 1) 0 ( ) 2 ( ) Exemplo 3: norm = = ( 1) 0 ( ) 2 ( ) UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 14 Padrão IEEE 754 exemplos ( 1) s (1 + fração) 2 (expoente 127) Exemplo 4: norm = = ( 1) 0 ( ) 2 ( ) Exemplo 5: sinal=1, expoente=129, fração= ( 1) s (1 + fração) 2 (expoente 127) ( 1) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 2 = UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 15

6 Padrão IEEE 754 Valores Especiais Expoente Fração representa e = E min 1 f = 0 ±0 e = E min 1 f 0 0.f 2 E min E min e E max 1.f 2 e e = E max + 1 f = 0 ± e = E max + 1 f 0 NaN formato denormalizado: < F < Operação com NaN resulta em NaN 5+NaN NaN 0 NaN mas 1/0 ± UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 16 Padrão IEEE 754 núm denormalizados Números com expoente menor que E min são legais e possibilitam underflow gradual: x,y pequenos, se x y então x y 0 Overflow Negativo Negativos ( ) Denormalizado Negativo Positivo Zero Positivos Overflow Positivo ( ) UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 17 Padrão IEEE 754 precisão Seja x um número Real e F(x) sua representação em PF O erro absoluto de representação é F(x) x Sejam F 1 e F 2 tais que F 1 x F 2 então F(x) pode ser F 1 ou F 2. Se F 1 = M 2 E então F 2 = (M + ulp) 2 E e o erro máximo é 1/2 F 1 F 2 = ulp 2 E 2 E 2 E+1 2 E+2 O erro relativo de representação é δ(x) = (F(x) x)/x UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 18

7 Adição em Ponto Flututante 1. compara expoentes e desloca o menor número para direita até igualar exp do maior 2. soma significandos 3. normaliza resultado; desloca p/ direita e incrementa expoente ou desloca p/ esquerda e decrementa expoente overflow? undeflow? Sim excessão Não 4. arredonda significando Não normalizado? Sim terminou! UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 19 Adição em Ponto Flututante II Exemplo: base-10, significando com 4 dígitos (1.3) mais 2 dígitos no expoente 1. compara; desloca significando e ajusta expoente do menor trunca para quatro dígitos: soma normaliza norm = arredonda e trunca para 4 dígitos se dígito à direita 0 d 4, arredonda para menos; senão (5 d 9), arredonda para mais = erredonda? UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 20 Adição em Ponto Flututante III Exemplo: base-10, significando com 4 dígitos (1.3) mais 2 dígitos no expoente = norm = = 7/2 4 = /2 4 norm = = compara; desloca significando e ajusta expoente do menor; trunca soma normaliza 1 norm = arredonda e trunca para 4 dígitos = UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 21

8 Multiplicação em Ponto Flututante 1. soma expoentes (c/ deslocamento); subtrai um deslocamento Não 4. arredonda normalizado? Não Sim 5. computa sinal do resultado terminou! 2. multiplica significandos 3. normaliza produto se necessário desloca p/ direita e increm exp overflow? undeflow? Sim excessão UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 22 Multiplicação em Ponto Flututante II Exemplo: b-10, M = 1.3, E = 2 1. soma expoentes com deslocamento!! = 137 +( ) = = 132 = multiplica significandos normaliza: norm = arredonda e trunca p/ 4 dígitos: = calcula sinal: + + = UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 23 Multiplicação em Ponto Flututante III Exemplo: b-10, M = 1.3, E = soma expoentes com deslocamento!! ( ) + ( ) 127 = = multiplica significandos normaliza: arredonda e trunca p/ 4 dígitos: calcula sinal: + = = = 7/32 = UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 24

9 Exatidão Num double só 2 53 números em [1,2) são representados exatamente IEEE 754 prescreve uso de 2 bits adicionais na implementação: bit de guarda e bit de arredondamento que garantem precisão melhor que metade do bit menos significativo da fração sinal expoente 11 bits 32 bits fração 20 bits fração guarda arredondamento Sem bits de guarda e arredondamento, qual é a perda de precisão a cada operação? UFPR BCC CI aritmética ponto flutuante 25

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