Sistemas de Numeração

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1 Sistemas de Numeração IFSULDEMINAS Campus Inconfidentes Curso Técnico em Infomática Disciplina: Fundamentos de Informática Prof. Maria de Fátima de Freitas Bueno Marcílio

2 Introdução Um sistema de numeração é um sistema que permite a representação de números através da utilização de certos símbolos (algarismos/dígitos). Algarismos Arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3 Os sistemas de numeração são úteis aos sistemas computacionais, servindo para questões de representação de endereçamento, armazenamento, processamento e transmissão de dados.

4 Bit (simplificação para dígito binário, "BInary digit" em inglês) menor unidade de dados que um computador pode processar, armazenar ou transmitir. 0 ou 1 Nibble conjunto de 4 bits Byte conjunto de 8 bits.

5 Algumas Bases Binária (2) 0, 1 Octal (8) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Decimal (10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Hexadecimal (16) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

6 Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, e o sistema de numeração binário é adequado para representá-los. As bases Octal e Hexadecimal (múltiplos de 2 e 8) são também especialmente interessantes aos Sistemas Computacionais, pois permitem uma representação mais compacta dos números tratados.

7 Representação nas bases na base 2 (binária) na base 8 (octal) na base 10 (decimal) Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia ser representado como: na base 16 (hexadecimal)

8 Base Decimal (10) = 7 x x x = 7 X X X X 10 0 Representação em polinômio genérico Número = d n 10 n + d n-1 10 n d d Conforme observa-se, um número é expresso pela soma de potências da base 10 multiplicadas pelos dígitos correspondentes.

9 Base Binária (2) Representação de binário na base = 1 x x x x x x x = = Representação em polinômio genérico Número = b n 2 n + b n-1 2 n b b 0 2 0

10 Base Binária (2) Em sistemas descritos por variáveis lógicas recorremos ao sistema de numeração de base 2. A vantagem desta utilização resulta da correspondência direta entre os dígitos 0 e 1 e os valores lógicos 0 e 1. Neste sistema, os dígitos binários representam os coeficientes das potências de base 2.

11 Base Binária (2) Notamos, que de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada dígito multiplicado por uma potência da base relacionada à posição daquele dígito. O algarismo menos significativo (base elevada a zero = 1) localiza-se à direita, ao passo que os mais significativos(maiores potências da base) ficam à esquerda.

12 Base Binária (2) Exemplo: Converter o número em decimal. Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo, temos: = = 1 x x x x 2 0 = = = Exemplo: Converter o número em decimal = 1 x x x x x x = = 42 10

13 Base Octal (8) Há uma relação especial entre o sistema octal e o sistema binário que reside no fato de que três dígitos binários representarem oito (2 3 ) números distintos. Esta relação permite efetuar conversões entre estes sistemas de forma quase imediata como veremos adiante. Na conversão do sistema octal para o decimal, utilizase o conceito básico de formação de um número já explicado anteriormente.

14 Base Octal (8) Representação de octal na base = 5 x x x x x = = Representação em polinômio genérico Número = o n 8 n + o n-1 8 n o o 0 8 0

15 Base Hexadecimal (16) Este sistema é bastante utilizado em microcomputadores tanto em hardware como em software. Na conversão do sistema hexadecimal para o decimal, novamente usa-se o conceito básico de formação de um número já explicado.

16 Base Hexadecimal (16) Representação de hexadecimal na base = 3 x x x x x = = Representação em polinômio genérico Número = h n 16 n + h n-1 16 n h h

17 Base Hexadecimal (16) Exemplificando... Converter 2D 16 em decimal. 2D 16 = 2 x x D 16 = D 16 = 45. Converter 1C3 16 em decimal. 1C3 16 = 1 x x x C3 16 = C3 16 =

18 Exercícios Propostos Converta para o sistema decimal a) b) c) d) e) f) g) h) i) 20F 16 j) 4BE 16 k) 100A 16 l) 9F0 16

19 Conversão Decimal Outra base Consiste em dividir sucessivamente pela base desejada o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente de uma das divisões seja 0. O resultado é a sequência de baixo para cima de todos os restos obtidos.

20 Conversão Decimal Binário 715 _2_ _2_ 715 = _2_ _2_ 1 44 _2_ 0 22 _2_ 0 11 _2_ 1 5 _2_ 1 2 _2_ 0 1 _2_ 1 0

21 Conversão Decimal Octal 715 _8_ 3 89 _8_ 1 11 _8_ 3 1 _8_ =

22 Conversão Decimal Hexadecimal 715 _16_ _16_ 12 2 _16_ = 2CB 16 Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

23 Conversão Binário Decimal = = x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 3 = 8 0 x 2 4 = 0 0 x 2 5 = 0 1 x 2 6 = 64 1 x 2 7 = x 2 8 = 0 1 x 2 9 = 512

24 Conversão Octal Decimal = = x 8 0 = 3 1 x 8 1 = 8 3 x 8 2 = x 8 3 = 512

25 Conversão Hexadecimal Decimal 2CB 16 = = 715 B x 16 0 = 11 x 16 0 = 11 C x 16 1 = 12 x 16 1 = x 16 2 = 512

26 Outras Conversões Binário Octal; Binário Hexadecimal; Octal Binário; Hexadecimal Binário; Octal Hexadecimal; Hexadecimal Octal.

27 Conversão Binário Octal x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 0 = 1 0 x 2 1 = 0 0 x 2 2 = 0 1 x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 0 = = = = = 1

28 Conversão Binário Hexadecimal Segue o mesmo princípio da conversão de binário para octal, só que agora agrupando de quatro em quatro bits = = = 11 2 C B 16

29 Conversão Octal Binário Simplesmente pega-se cada algarismo na base Octal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, representado-se cada um dos algarismos da base Octal com três bits, mantendo-se a ordem original (operação inversa à conversão de Binário para Octal):

30 Conversão Hexadecimal Binário Da mesma forma, simplesmente pega-se cada algarismo na base Hexadecimal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, só que agora representado-os com quatro bits (operação inversa à conversão de Binário para Hexadecimal): 2CB

31 Exercícios Propostos Converta para o sistema binário a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) F16 16 k) AA0B 16 l) D99F 16 m) C79 16 n) 200B 16

32 Demais Conversões Octal Hexadecimal; Hexadecimal Octal. Fica como Exercício Dica: é necessária a conversão intermediária para uma base comum, binária, ou decimal Escolha a mais simples

33 Exercícios Realize as conversões a) em decimal b) em binário c) em sistema base a) em sistema ternário b) em sistema base 9 c) em binário