CCI - 22 Matemática Computacional

Transcrição

1 Matemática Computacional Prof. Paulo André Sala 110 Prédio da Computação

2 Estrutura do Curso Introdução ao estudo de matemática numérica Representação de dados e aritmética de máquina Noções sobre erros, condicionamento e estabilidade numérica Resolução de sistemas lineares Zero (raízes) de funções reais Interpolação Ajuste de Curvas Integração numérica Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias

3 Estrutura do Curso 2 Avaliação Por bimestre: 1 prova e 2-3 laboratórios Nota bimestre = 60%* prova + 40%*média labs Um exame final As provas, os laboratórios e o exame são individuais

4 Bibliografia Ruggiero, M.A.C. & Lopes. V. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacional. McGraw Hill, São Paulo, 1987 Chapra, S.; Canale, R.; Métodos Númericos para Engenharia. McGraw Hill Cláudio, D.M. & Marins J.M. Cálculo Numérico Computacional. Atlas. São Paulo ed. Notas de Aula.

5 Método de Solução em Matemática Computacional

6 Exemplo Calcule a área de uma circunferência de raio 100 m. RESULTADOS OBTIDOS a) A=31400 m 2 b) A = m 2 c) A = m 2 Como justificar as diferenças entre os resultados? É possível obter exatamente esta área?

7 Exemplo 2

8 Sistema Sistemas de Numeração Base Alfabeto Decimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Binário 2 0, 1, Octal 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Hexadecimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,A,B,C,D,E,F Equivalência entre os sistemas: (29)base 10 = (11101)base 2 = (35)base 8 = (1D)base 16

9 Representação de Números Um número em base B, pode ser representado como (a j, a j-1,a j-2,...a 0 ) B, onde 0 a k B-1 e escrito na forma polinomial: a j B j + a j-1 B j-1 + a j-2 B j a 1 B 1 + a 0 B 0 Logo: (347) 10 = 3 x I x l x 10 0 (10111) 2 = 1 x x x x x 2 0

10 Mudança para base 10 Podemos facilmente converter um número representado no sistema binário para o sistema decimal. Por exemplo: (10111) 2 = 1 x x x x x 2 0 Colocando agora o número 2 em evidência teremos: (10111) 2 = 2 x (1+ 2 x (1+ 2 x ( 0+ 2 x 1) ) ) +1= (23) 10 Assim podemos criar um algoritmo para converter um número de base 2 para 10 sem uso de operação de potência.

11 Método para mudança de base. Base 2 para base 10 b j = a j b j-1 = a j x b j b j-2 = a j x b j-1... b 0 = a x b 1 O número (a j, a j-1,a j-2,...a 0 ) 2 em base 10 está calculado em b 0.

12 Exemplo Método de mudança de Base Para (10111) 2 b 4 = a 4 =1 b 3 = a x b 4 = 0 + 2x1= 2 b 2 = a x b 3 = 1+2x2=5 b 1 = a x b 2 = 1+2x5 = 11 b 0 = a x b 1 = 1 + 2x11 = (23) 10 O número (a j, a j-1,a j-2,...a 0 ) 2 em base 10 está calculado em b 0.

13 Mudança de Base 10 para base 2 Seja (a j, a j-1,a j-2,...a 0 ) 2 a representação em base 2 do número (347) 10. Então: (347) 10 = a j 2 j + a j-1 2 j a a 0 = Colocando em evidência: = 2 x (a j 2 j-1 + a j-1 2 j a ) + a 0 = 2 x Logo, a o = 1 Repetindo o processo para 173, encontramos a 1

14 Método para mudança para base 2

15 Algoritmo para Mudança para Passo 1: K=0; N k = N Passo 2: base 2 Encontrar q k e r k tais que N k = 2 x q k + r k a k = r k Passo 3: Se q k = 0 Então parar Senão N k+1 = q k Faça k=k+1, voltar passo 2

16 Conversão de Base

17 Computadores e Sistema Binário Números Negativos (dois zeros) Complemento de 2 Números Fracionários (ponto flutuante) Mantissa e expoente

18 Complemento de 2 Conversão de Base: Se Positivo (isto é, bit de sinal igual a zero): Conversão Normal Se Negativo: Complementa número sem sinal, adiciona 1 e faz a Conversão Normal

19 Deslocamento

20 Inteiros Números Fracionários (Ponto Flutuante) (15) 10 = (01111) 2 = = Números binários fracionários (1,5) 10 = (1,1) 2 = = 1+0,5 = (1,5) 10 (0,101) 2 = 1*2-1 +0* *2-3 = 0,5+0+0,125 = (0,625) 10

21 Conversão de Números Fracionários De binário para Decimal: (0.1011) 2 = = 0,5+0,125+0,0625 = = (0,6875) 10 (0.1001) 2 = = 0,5+0,0625 = (0,5625) 10 ( ) = = ,5+0,125= (7,625) 10 Conversão de Fracionários para base 2 2,25 -> Parte Inteira: (2) 10 = (10) 2 -> Parte Fracionária (0,25) 10 = (0.01) 2 Número: (2,25) 10 = (10,01) 2

22 Conversão de Fracionários

23 Conversão de Fracionários - 2

24 Algoritmo para Conversão de A representação em base 10 (0,d 1 d 2..d j-1 d j ) pode ser obtida através dos seguintes passos: Base Observe que o algoritmo pode nunca parar... Como solucionar o problema do possível loop infinito?

25 Conversão de Base

26 Ponto Flutuante em Computadores