Sistemas de numeração

Transcrição

1 Sistemas de numeração Aula 02 e 03 Prof. Msc. Arthur G. Bartsch Departamento de engenharia elétrica DEE Centro de ciências tecnológicas CCT Universidade do estado de Santa Catarina UDESC Álgebra de Boole ALB0001 arthur.bartsch@udesc.br 2017/02 1/19

2 Sumário 1 Introdução 2 Contagem 3 Bases numéricas 4 Conversão entre bases 5 Operações aritméticas 6 Números negativos na base 2 7 Resumo e Conclusão 2/19

3 Introdução 3/19

4 Introdução Nesta aula, iremos tratar de princípios de contagem em diferentes bases numéricas. 3/19

5 Introdução Nesta aula, iremos tratar de princípios de contagem em diferentes bases numéricas. Além disso, iremos aprender como converter números descritos em bases diferentes e como realizar operações matemáticas básicas em outras bases numéricas. 3/19

6 Introdução Nesta aula, iremos tratar de princípios de contagem em diferentes bases numéricas. Além disso, iremos aprender como converter números descritos em bases diferentes e como realizar operações matemáticas básicas em outras bases numéricas. Por fim, discutiremos a representação de números negativos na base 2. 3/19

7 Contagem 4/19

8 Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. 4/19

9 Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. 4/19

10 Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. 4/19

11 Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. 4/19

12 Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. Em relação a sistemas numéricos antigos, o sistema sexagesimal pode ser considerado um dos mais famoso. Inventado pelos sumérios, nesse sistema numérico, os números são contados de zero a sessenta. 4/19

13 Contagem Contagem é a área da matemática que estuda a associação de quantidades com representações numéricas. Possivelmente, essa foi a primeira área da matemática explorada pelo homem. Segundo registros arqueológicos, há diversos códigos numéricos catalogados, produzidos pelos mais diferentes povos antigos. Talvez o código numérico antigo mais famoso seja o romano, que utilizavam letras, de seu alfabeto, para indicar quantidades. Em relação a sistemas numéricos antigos, o sistema sexagesimal pode ser considerado um dos mais famoso. Inventado pelos sumérios, nesse sistema numérico, os números são contados de zero a sessenta. De forma geral, o ser humano na atualidade utiliza o código numérico indo-arábico, em um sistema numérico decimal. 4/19

14 Definições Códigos numéricos: símbolos utilizados para representar uma dada quantidade. 5/19

15 Definições Códigos numéricos: símbolos utilizados para representar uma dada quantidade. Sistema numérico: intervalo de contagem definido para o código numérico. 5/19

16 Definições Códigos numéricos: símbolos utilizados para representar uma dada quantidade. Sistema numérico: intervalo de contagem definido para o código numérico. Geralmente, ambos os conceitos estão diretamente interligados, pois, normalmente, códigos numéricos são criados para um sistema numérico específico. 5/19

17 Bases numéricas 6/19

18 Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. 6/19

19 Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. 6/19

20 Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. Exemplo: = 754 = = /19

21 Bases numéricas A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. De modo geral, os números são descritos na forma posicional, ou seja, a posição de cada número expressa uma potência de sua base numérica. Exemplo: = 754 = = Notar que em uma dada base r, um número N pode ser representado na forma N r. Desse modo, o número subscrito indica a base em que o número se encontra. Alternativamente, o número da base pode ser substituído por uma letra, para alguns casos específicos. 6/19

22 Principais bases numéricas Decimal, exemplo: , 297 d ; 7/19

23 Principais bases numéricas Decimal, exemplo: , 297 d ; Binária, exemplo: 101 2, b ; 7/19

24 Principais bases numéricas Decimal, exemplo: , 297 d ; Binária, exemplo: 101 2, b ; Octal, exemplo: 101 8, 712 o ; 7/19

25 Principais bases numéricas Decimal, exemplo: , 297 d ; Binária, exemplo: 101 2, b ; Octal, exemplo: 101 8, 712 o ; Hexadecimal, exemplos: , 2FA1 h. 7/19

26 Relação de algarismos em algumas bases numéricas 8/19

27 Conversão entre bases 9/19

28 Representação polinomial de um número Qualquer número inteiro A de m algarismos em uma dada base r, em um sistema de numeração posicional, pode ser representado na forma: A = A r = a m 1 r m 1 + a m 2 r m a 1 r 1 + a 0 r 0. (1) 9/19

29 Representação polinomial de um número Qualquer número inteiro A de m algarismos em uma dada base r, em um sistema de numeração posicional, pode ser representado na forma: A = A r = a m 1 r m 1 + a m 2 r m a 1 r 1 + a 0 r 0. (1) Exemplo: 672 = = = /19

30 Representação polinomial de um número Qualquer número inteiro A de m algarismos em uma dada base r, em um sistema de numeração posicional, pode ser representado na forma: A = A r = a m 1 r m 1 + a m 2 r m a 1 r 1 + a 0 r 0. (1) Exemplo: 672 = = = A expansão da forma polinomial para o caso real envolve a inclusão de potências negativas na representação polinomial. 9/19

31 Conversão entre bases Base 10 para base r: método das divisões sucessivas. 10/19

32 Conversão entre bases Base 10 para base r: método das divisões sucessivas. Base r para base 10: solução da forma polinomial. 10/19

33 Conversão entre bases Base 10 para base r: método das divisões sucessivas. Base r para base 10: solução da forma polinomial. Bases de potência de 2 para base 2 (e vice-versa): agrupamento numérico. 10/19

34 Exercício Faça as conversões de base como solicitado: X X X X 10. 2A 16 X X X X X /19

35 Exercício Faça as conversões de base como solicitado: X 10. R: X 2. R: X 16. R: 2F X 10. R: A 16 X 10. R: X 2. R: X 16. R: F X 2. R: X 16. R: /19

36 Relação de números de 1 a 15 em algumas bases numéricas 12/19

37 Operações aritméticas 13/19

38 Operações aritméticas em diversas bases Soma: = 37A 16 13/19

39 Operações aritméticas em diversas bases Soma: Subtração: = 37A = /19

40 Operações aritméticas em diversas bases Soma: Subtração: Multiplicação: = 37A = = /19

41 Operações aritméticas em diversas bases Soma: Subtração: Multiplicação: Divisão: = 37A = = = /19

42 Casos especiais para base 2 Multiplicação por 2: pode-se deslocar todo número binário para a esquerda (shift left). Exemplo: = /19

43 Casos especiais para base 2 Multiplicação por 2: pode-se deslocar todo número binário para a esquerda (shift left). Exemplo: = Divisão por 2: pode-se deslocar todo número binário para a direita (shift right), o último bit é perdido (caso se trate de uma divisão inteira) ou assume uma posição após a vírgula (caso se trate de uma divisão real). Exemplo: = 0100 ou = 0100, 1. 14/19

44 Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: A2C 16 + B A /19

45 Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: R: R: DCA 16 A2C 16 + B5 16. R: AE R: R: R: A R: R: C R: R: R: /19

46 Números negativos na base 2 16/19

47 Números negativos na base 2 Dígito sinalizador: O número negativo é representado simplesmente adicionando-se um bit 1 na frente do número. Exemplo: +13 = e 13 = /19

48 Números negativos na base 2 Dígito sinalizador: O número negativo é representado simplesmente adicionando-se um bit 1 na frente do número. Exemplo: +13 = e 13 = Complemento de 1: O número negativo é obtido invertendo-se todos os bits do número (o que é zero vira um e vice-versa). Nessa representação, o número iniciado por 1 ainda é negativo e o número iniciado por zero ainda é positivo. Exemplo: +13 = e 13 = /19

49 Números negativos na base 2 Dígito sinalizador: O número negativo é representado simplesmente adicionando-se um bit 1 na frente do número. Exemplo: +13 = e 13 = Complemento de 1: O número negativo é obtido invertendo-se todos os bits do número (o que é zero vira um e vice-versa). Nessa representação, o número iniciado por 1 ainda é negativo e o número iniciado por zero ainda é positivo. Exemplo: +13 = e 13 = Complemento de 2: O número negativo é obtido adicionando-se o bit 1 ao seu complemento de = e 13 = /19

50 Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. 17/19

51 Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. A subtração de um número já resulta naturalmente no complemento de 2. Exemplo: = /19

52 Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. A subtração de um número já resulta naturalmente no complemento de 2. Exemplo: = A representação em complemento de 2 é especialmente útil para evitar problemas computacionais como /19

53 Números negativos na base 2 O complemento de 2 de um número negativo é o módulo do próprio número. A subtração de um número já resulta naturalmente no complemento de 2. Exemplo: = A representação em complemento de 2 é especialmente útil para evitar problemas computacionais como -0. Além disso, é importante ressaltar que em certos ambientes computacionais se trabalha com números não-sinalizados. Em outros ambientes, por padrão, se trabalha com números sinalizados. 17/19

54 Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: Complemento de 1 de Complemento de 2 de Complemento de 2 de , representado nas bases 2, 10 e 16. Shift right de e seu valor na base 10. Shift left de e seu valor na base /19

55 Exercício Realize as operações matemáticas solicitadas: Complemento de 1 de R: Complemento de 2 de R: Complemento de 2 de , representado nas bases 2, 10 e 16. R: , 11 10, B 16. Shift right de e seu valor na base 10. R: , Shift left de e seu valor na base 10. R: , /19

56 Resumo e Conclusão 19/19

57 Resumo e Conclusão Nesta aula, estudamos a aritmética básica em diferentes bases numéricas. 19/19

58 Resumo e Conclusão Nesta aula, estudamos a aritmética básica em diferentes bases numéricas. Na próxima aula, iremos estudar códigos binários especiais. 19/19