Conversão de Bases. Introdução à Organização de Computadores 5ª Edição/2007 Página 54. Sistemas Numéricos - Aritmética. Prof.
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- Thomaz Branco Ribeiro
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1 Conversão de Bases Introdução à Organização de Computadores 5ª Edição/2007 Página 54 1
2 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL O SISTEMA DE NUMERAÇÃO É FORMADO POR UM CONJUNTO DE SÍMBOLOS UTILIZADOS PARA REPRESENTAR QUANTIDADES E AS REGRAS QUE DEFINEM A FORMA DE SUAS REPRESENTAÇÕES. 2
3 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL A formação dos números e as operações efetuadas com eles dependem, nos sistemas posicionais e da quantidade de algarismos diferentes disponíveis no referido sistema. Na cultura ocidental é usado um sistema de numeração que possui dez diferentesalgarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,chamadodeSistema Decimal, conhecido em informática como base 10 ou b 10, onde cada número é representado pela letra Noune possui um valor dependendo de sua posição. Para encontramos esses valores, usamos a fórmula N = n x b n. Para uma determinada base b, usamos n dígitos, representado por b n (belevado an) para combinações distintas ou b n (bbasen) para números distintos. Dessa forma para uma base decimal contendo três dígitos podemos representar até 1000 números distintos, sempre incluindo o zero (0) como ponto de contagem inicial. 3
4 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL - Definição A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base: Sistema Decimal ou 10 Algarismos chamamos de base 10 ou b 10 ; Sistema Binário ou 2 Algarismos chamamos de base 2 ou b 2 ; Sistema Octal ou 8 Algarismos chamamos de base 8 ou b 8, e assim por diante. 4
5 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Exemplo de cálculo com o decimal 2459, onde: No sentido da direita para esquerda temos nosso digito inicial, 9, representando a quantidade de unidades, e se encontra na posição decimal zero (0) ou 10 0 ; O próximodigito,5, representa as dezenas, e se encontra na posição decimal um (1) ou 10 1 ; O dígito, 4, representa as centenas, e se encontra na posição decimal dois (2) ou 10 2 ; O dígito,2, representando os milhares, e se encontra na posição decimal três (3) ou
6 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Então temos: 2459 = 2 x x x x10 0 Vejamos um exemplo de cálculo usando a fórmula N=nxb n, seguindo o sentido de cálculo da esquerda para direita, para o número N =5x x x x x10 0 = N = 5 x x x x x 1 = N = = N =
7 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Para entendermos melhor o que é um Sistema Posicional, vamos considerar um exemplo um pouco mais detalhado com número Vejamos algumas de suas propriedades importantes: A base 10 ou b 10, apenas indica que se trata de um decimal; O valor do primeiro algarismo 4 é diferente do último algarismo que também é 4; O primeiro nos indica 4 mil e o último indica 4 unidades; O mesmo acontece com o algarismo 6; O primeiro indica 6 centenas, enquanto o segundo indica 6 dezenas. 7
8 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL Pelo que já vimos, podemos afirmar que em um Sistema Posicional um mesmo símbolo pode assumir valores diferentes dependendo de sua posição. Então, para sabermos o valor de qualquer número que esteja usando o Sistema Posicional, precisamos conhecer o valor da posição ou posicional de cada símbolo. 8
9 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL EXEMPLO DE APLICAÇÃO Para calcular o valor de um determinado símbolo que esteja representado através do Sistema Posicional, iremos aplicar a fórmula de Valor Posicional V=S*b n 1, onde: V = Valor posicional do símbolo. Exemplo: o valor posicional do símbolo 4 no número decimal 345 é 40. S = Valor absoluto do símbolo. Exemplo: o valor do símbolo 4 no sistema posional é o número decimal é 4 ou b = Base do sistema numérico. É a quantidade de símbolos que dispomos para escrever os números. Exemplos: o No sistema decimal temos 10 símbolos (de zero a nove), portanto a base 10. o No sistema binário temos 2 símbolos (zero e um), portanto a base 2. n 1 = É a posição em que o símbolo se encontra. Seu resultado indicará qual potência será elevado o número. Esta posição é definida da direita para esquerda e inicia em zero. 9
10 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL EXEMPLO DE APLICAÇÃO Exemplos para o cálculo n 1 no decimal (345) 10 : o Ordem de leitura, da direita para a esquerda. o A posição n do símbolo 5 no número 345 é 1, assim temos: n 1=1 1=0oupotência0. o A posição n do símbolo 4 no número 345é2com potência 1, assim temos: n 1=2 1=1oupotência1. o A posição do símbolo 3 no número 345 é 2 com potência 2, assim temos: n 1=3 1=2oupotência2. FÓRMULA V = S * b n 1 Posição b n Símbolos S
11 NOTAÇÃO POSICIONAL - BASE DECIMAL EXEMPLO DE APLICAÇÃO Conhecendo a fórmula basta calcular o valor posicional de cada símbolo do número dado e então somar os valores encontrados. Exemplo, vamos considerar novamente o número decimal (5613) 10. Posição b n Símbolos S Valor Posicional V V= 5 * (10 3 ) V= 5 * 1000 V= 5000 V= 6 * (10 2 ) V= 6 * 100 V= 600 V= 1 * (10 1 ) V= 1 * 10 V= 10 Somando os valores encontrados temos: = (5613) 10. V= 3 * (10 0 ) V= 3 * 1 V= 3 Acredito que nunca precisaremos fazer todos estes cálculos para concluir que o número decimal (5613) 10 vale (5613) 10. Mas este é apenas um exemplo didático para demonstrar a aplicação da fórmula do Valor Posicional. 11
12 NIBBLE / BYTE Sistemas Numéricos - Aritmética Base binária ou base 2 é a forma mais comum para representar números e caracteres nos computadores, formadas apenas por 0s e1s, que correspondem aos sinais elétricos de ligado e desligado. Em base 2, os algarismos com representação numérica binária recebem o nome de bit, da abreviatura Binary Digit. Outrasdenominações usadas com frequência são: byte =conjuntode8bits; nibble =conjuntodequatrobitsoumeio byte. O Sistema Binário resolve o problema de leitura dos computadores, e para os humanos o Sistema Decimal continua sendo o preferido. Para que um entenda o outro precisamos saber como converter números decimais para binários e vice versa. 12
13 MATERIAL DIDÁTICO LOUSA Página 55 13
14 BASE BINÁRIA CONVERSÃO DE BASES - EXEMPLOS De binário para decimal: (10011) 2 = =1x2 4 +0x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 = =1x16+0x8+0x4+1x2+1x1= = = =
15 BASE BINÁRIA CONVERSÃO DE BASES - EXEMPLOS Paraaconversãodebinário para decimal precisamos calcular o valor posicional de cada símbolo do número fornecido, usaremos a fórmula de valor posicional: V=S*b n 1, onde: V = Valor posicional do símbolo; S = Valor absoluto do símbolo; b = Base do sistema numérico. Base 2 para nosso exemplo; n 1 = É a posição em que o símbolo se encontra. Para nosso exemplo, usaremos do número (100101) 2 = (37) 10 : Posição b n Símbolos S Valor Posicional V V= 1 * (2 5 ) V= 1 * 32 V= 32 V= 0 * (2 4 ) V= 0 * 16 V= 0 V= 0 * (2 3 ) V= 0 * 8 V= 0 V= 1 * (2 2 ) V= 1 * 4 V= 4 V= 0 * (2 1 ) V= 0 * 2 V= 0 V= 1 * (2 0 ) V= 1 * 1 V= 1 Somandoosvaloresdosdígitos( )teremosototal37, ou seja, a representação decimal do binário
16 BASE BINÁRIA CONVERSÃO DE BASES - EXEMPLOS Passos para converter o decimal (37) 10 em binário: Estespassossão,naverdade,divisõessucessivasdonúmeroasercalculadopor2(base do sistema binário), até que tenhamos um quociente zero. Vejamos o exemplo abaixo: Dividendo Divisor Quociente Resto Como ler: A leitura do binário é feita de baixo para cima Para obtermos a representação binária, tomamos os restos das divisões na ordem inversa. Paraocasoanteriortemos(100101) 2, que é a representação binária do número (37)
17 BASES - Sistema de numeração com representação em base 8, utiliza 8 símbolos decimais para a sua representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Forma compacta de representar valores binários no sistema decimal para números de base 2 muito extensos. Utilizando se a equação da Notação Posicional, representaremos os números dos exemplos abaixo com suas respectivas bases: Exemplo 01 na base 2: (1011) 2 Exemplo 02 na base: (1043) 5 Exemplo 03 na base (257) 8 17
18 BASE DOIS - Exemplo Sistemas Numéricos - Aritmética Para o número na base 2: (1011) 2, onde N será nossa abreviação de Notação decimal, teríamos: N=1x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +1x2 0 = N = = (11) 10 N=(11) 10, lemos que o valor 11 está expresso na base 10 e não na base 2. 18
19 BASE CINCO Exemplo Sistemas Numéricos - Aritmética Para o número na base 5: (1043) 5,teríamos: N=1x5 3 +0x5 2 +4x5 1 +3x5 0 = N = = (148) 10, onde N = (148) 10 19
20 BASE OCTAL Exemplo Sistemas Numéricos - Aritmética Para o número na base 8: (257) 8,teríamos: N=2x8 2 +5x8 1 +7x8 0 = N = = (175) 10, onde N = (175) 10 20
21 BASE HEXADECIMAL USANDO TABELA DE CONVERSÃO 21
22 BASE HEXADECIMAL Já em bases com valores superiores a 10 dígitos, usamos letras do alfabeto para sua representação, chamadadebase 16 ou hexadecimal. 0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Nessa base, os algarismos A, B, C, D, E, F representam o valore, onde: A=10, B=11, C =12, D=13, E=14, F=15. Exemplo: (10AC) 16, onde A =10eC =12 N=1* * * *16 0 = N = 1 * * * * 1 = N = = N =
23 BASE HEXADECIMAL Tabela de Representação Usando a tabela ao lado, podemos fazer comparações ao observarmos que os dígitos octais (base 8) e hexadecimais (base 16) para 2 e 3 em vermelho correspondem a combinações em 0010 e 0011 em bits, base 2 ou Binários. OBS.:Zerosaesquerdadoúltimobit, deverá ser desprezado, para efeito de cálculo. Base 2 Base 5 Base 8 Base 10 Base A B C D E F 23
24 BASE HEXADECIMAL Exemplo Usando Tabela Por exemplo, o número (3037) 10 éiguala( ) 2, possui 12 bits, mas pode ser representado com quatro (4) algarismos octais ou com apenas três (3) algarismos hexadecimais. 1) Octal de 000 (0) até 111 (7): ( ) 2 = (5735) 8, porque ao dividirmos o binário em 4 partes, temos: 101 = 5; 111 = 7; 011 = 3; 101 = 5, onde teremos um octal de valor (5735) Hexadecimal de 0000 (0) até 1111 (F): ( ) 2 = (BDD) 16, porque ao dividirmos o binário em 3 partes, temos: 1011 = B; 1101 = D; 1101 = D, onde teremos um hexa de valor (BDD)
25 BASE HEXADECIMAL Exemplo Sem usar Tabela Para a conversão de números decimais em hexadecimal, precisamos saber que o sistema hexadecimal dispõe de 16 símbolos, de 0 (zero) até F. Vamos aplicar a mesma técnica para a conversão hexadecimal que utilizamos na conversão decimal / binário. A única diferença é que estaremos dividindo por 16 em vez de 2. Exemplo: Conversão de (23870) 10 para hexadecimal: Dividendo Divisor Quociente Resto Como ler: A leitura é feita de baixo para cima Tomando se os restos na ordem inversa e seus respectivos símbolos, temos: Resto Símbolo 5 D 3 E Assim concluímos que o número (23870) 10 convertido para hexadecimal é: (5D3E)
26 Sistema Hexadecimal Conversão para Decimal sem Tabela O sistema hexadecimal também é considerado como posicional, então só precisamos aplicar a fórmula do valor posicional a cada símbolo e somar os resultados obtidos. No exemplo abaixo converteremos o número hexadecimal (5C3FA) 16 para decimal: Posição b n Símbolos S Em Hexadecimal 5 C 3 F A Símbolos S Em Decimal Valor Posicional V V= 5 * (16 4 ) V= 5 * V= V= 12 * (16 3 ) V= 12 * 4096 V= V= 3 * (16 2 ) V= 3 * 256 V= 768 Somando se os valores posicionais encontrados, temos: = (377850) 10 V= 15 * (16 1 ) V= 15 * 16 V= 240 Portanto o número hexadecimal (5C3FA) 16 convertido para decimal é: (377850) 10. V= 10 * (16 0 ) V= 10 * 1 V= 10 26
27 Sistema Hexadecimal Conversão de Octal com a Tabela Para o processo de conversão de base 8 para base 16, levamos em conta que qualquer processo de transformação de base usa como referência a base 2 (binária),então: Etapa 01: transformamos a base 8 para base 2 usando a tabela de conversão apresentada; Etapa 02: transformamos o resultada da base 2 (binária) para base 16 Hexadecimal. Exemplo de transformação do octal (37421) 8 em base 16: Etapa 01 Na transformação para binário a leitura é feita da esquerda para direita usando a tabela, então: 3 = = = = = 001 ( ) 2 ( ) 2 = 15 algarismo INCORRETO Não podemos trabalhar usando a tabela para transformação em HEXA com soma de algarismos ímpares, então completamos com zeros (0) a esquerda até termos soma de algarismos pares, onde teremos o binário: ( ) 2 Zero acrescentado a esquerda do algarismo. 27
28 Sistema Hexadecimal Convertendo de Octal para Hexa Etapa 02 Resultado obtido na etapa 01 foi ( ) 2, onde faremos: 1. Dividimos o binário em um total de 4 partes, pois temos 16 algarismos e a transformação para hexadecimal pede que trabalhemos com quatro algarismos por vez, de 0000 até 1111, onde teremos: Consultando a tabela de transformação obtemos os seguintes valores: a) 0011 = 3 b) 1111 = F c) 0001 = 1 d) 0001 = 1 Portanto, fazendo a leitura de a para d nosso número hexadecimal será: (3F11) 16 28
29 Aulas de Apoio Sistemas Numéricos - Aritmética Estarão disponibilizadas nos descritos a baixo para downloads os arquivos nos formatos: PowerPoints ou Word das aulas. Alguns estarão disponíveis para impressão, outros, somente para leitura, mas não para edição. Em alguns casos em que se fizer necessário a impressão, o professor estará liberando para um melhor desenvolvimento dos trabalhos a ser solicitados. Sites do professor: Contato: celso.candido@estacio.br 29
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