MAT115 Introdução ao Processamento de Dados Professor: Ibirisol Fontes Ferreira DCC: Departamento de Ciência da Computação

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1 Representação de dados e sistemas de numeração MAT115 Introdução ao Processamento de Dados Professor: Ibirisol Fontes Ferreira <ibirisol@dcc.ufba.br> DCC: Departamento de Ciência da Computação

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3 O que será abordado? Bases numéricas: conversões e aritmética em base Binária

4 Números Decimais A posição de cada dígito do número é atribuído um peso segundo a base do sistema A base dos números decimais é dez, porque apenas dez símbolos (0 a 9) são usados, para representar qualquer número Os pesos dos números decimais são potências de dez, que aumentam da direita para a esquerda, com início 10 ⁰ =

5 Números Decimais Para números decimais fracionários, os pesos das colunas são potências negativas de dez que diminuem da esquerda para a direita

6 Números Decimais Os números decimais pode ser expressos como a soma dos produtos de cada dígito vezes o valor da posição do dígito Assim, o número 9240 pode ser expresso como 9 x x x x 10 0

7 Números Decimais Quanto é expresso em soma de produtos?

8 Números Decimais Quanto é expresso em soma de produtos? (4 x 10 2 ) + (8 x 10 1 ) + (0 x 10 0 ) + (5 x 10-1 ) +(2 x 10-2 )

9 Números Binários Nos sistemas digitais usa-se o sistema numérico binário Em Binário, temos a base dois e usamos os dígitos 0 e 1 para representar as quantidades As casas dos números binários são potências de dois que aumentam da direita para a esquerda, com início em 2 0 =

10 Números Binários Também podemos representar números binários fracionários, os pesos de coluna são potências negativas de dois, que diminuem da esquerda para a direita

11 Números Binários Abaixo a contagem de uma sequência binária de zero à quinze Neste caso, os números estão valorados pela coluna Frequentemente, contadores digitais têm esse padrão de dígitos Counter Decoder Decimal Number Binary Number

12 Conversão O número decimal equivalente a um número binário pode ser determinado pela soma dos valores de todos os bits das colunas que são 1 Os bits valorados com 0 são descartados Como converter o número para decimal?

13 Conversão Podemos começar escrevendo os pesos das colunas, em seguida, adicionamos os pesos que correspondem a cada um dos números ½ ¼ ¼ = 37¼

14 Conversão Podemos converter um número inteiro decimal para binário, invertendo o procedimento Escreva o peso decimal de cada coluna e coloque 1 nas colunas que fazem parte da decomposição em soma do número decimal Como converter o número decimal 49 em binário?

15 Conversão Coloque os pesos das colunas em binário para cada posição Anote os pesos das colunas até que o último número seja maior que o que você deseja converter Valore com 1 as casas que são necessárias para somar o valor em decimal

16 Conversão A conversão de uma fração decimal para uma em binário pode ser feita multiplicando repetidamente os resultados fracionários de multiplicações por 2 Converta a fração decimal em binário multiplicando repetidamente os resultados fracionários por x 2 = vai = x 2 = vai = x 2 = vai = x 2 = vai = x 2 = vai = 0 Resposta = (para cinco dígitos)

17 Conversão É possível converter números decimais para outra base, basta dividir repetidamente pelo valor da base Por exemplo, na conversão para binário, dividem-se repetidamente por 2 Como converter o número decimal 49 em binário?

18 Conversão É possível converter números decimais para outra base, basta dividir repetidamente pelo valor da base Por exemplo, na conversão para binário, dividem-se repetidamente por 2 Como converter o número decimal 49 em binário? Resposta: Continuar até o quociente tornar-se resto Quociente Número decimal base

19 Operações Aritméticas As operações aritméticas são muito importantes no sistema binário, geralmente é feito o mesmo processo do sistema decimal A soma por exemplo, pode ser feita com as regras a seguir Quanto é a soma de e 10101? Vai 1, carry

20 Operações Aritméticas

21 Operações Aritméticas A subtração segue o seguinte esquema Vai 1, carry Quanto é a subtração de por 00111?

22 Operações Aritméticas

23 Operações Aritméticas A multiplicação é feita da seguinte forma 0 *0 1 *0 0 *1 1 * Quanto é o produto de por 10?

24 Operações Aritméticas *

25 Operações Aritméticas A divisão é um pouco diferente, mas é baseada em subtrações sucessivas Quanto é a divisão de por 111?

26 Operações Aritméticas

27 Operações Aritméticas

28 Operações Aritméticas

29 Notação de números binários Fora do escopo da representação gráfica, os números binários tem uma forma de representar em hardware os sinais + e - A maneira mais simples de representar na própria cadeia de bits o sinal é utilizando um bit mais de sinal, este deve ficar mais a esquerda que o casa mais significativa Essa notação chama-se sinal-módulo

30 Notação de números binários 49 = Sinal positivo -8 = Sinal negativo

31 Notação de números binários Uma outra forma de representar os sinais dos números binários negativos é utilizando uma técnica de complemento O primeiro é o complemento de 1 Representado por um inversor de bit O segundo é o complemento de 2

32 Notação de números binários -49 = No complemento de 1 basta inverter a sequência de bits

33 Notação de números binários -49 = No complemento de 1 basta inverter a sequência de bits Já o complemento de 2 basta somar 1 ao número somador carry in

34 Notação de números binários Mesmo com complemento de 2, temos ainda que sinalizar que o número está em sua forma negativa Quando armazenarmos números positivos teremos que saber se é um número em complemento de 2 ou se é positivo Normalmente usa-se 8-bits para representar números binários, usando o oitavo bit na forma sinal-módulo 49 = Forma binária Sinal positivo -49 = Forma de complemento de 2 Sinal negativo

35 Inteiros Nos sistemas computacionais a representação de um número inteiro é função do número de bits disponíveis para mapear o intervalo de números Com uma sequência de oito bits (1 byte) é possível representar 256 números Para 2 bytes a representação já salta para números Já com 4 bytes os números possíveis ficam em ^9 Como o conjunto dos números inteiros contém os números negativos a faixa de valores fica em torno de -(2^n - 1) à +(2^(n - 1) -1)

36 Ponto Flutuante Quando é necessário representar números com parte inteira e fracionária ( por exemplo), usamos a numeração por ponto flutuante (ou real) Usa-se com os pontos flutuantes a notação científica, permitindo a representação de números muito grandes e muito pequenos (incluindo os fracionários) sem o aumento do número de bits representa números que têm parte inteira e fracionária

37 Ponto Flutuante Um ponto flutuante consiste em duas partes mais um sinal A mantissa representa a magnitude do número O expoente representa o número de casas decimais que a vírgula decimal é movida O número inteiro pode ser representado como ponto flutuante da seguinte forma ^9 Onde é mantissa O expoente é 9 S Expoente Mantissa 1 bit 8 bit 23 bit

38 Ponto Flutuante Por exemplo, para representar decimal em ponto flutuante temos que converte-lo para a forma binária (4105)d = * 10^3 = ( )b Após isso temos que fazer o shift da base binária para a forma fracionária da onde tiraremos o expoente e a mantissa, o bit mais significativo (MSB) sempre é * 2^12 Devemos somar ao expoente o valor de 127 para polariza-lo (permitindo que expoentes negativos e positivos sejam representados, intervalo de -126 àte +128) =

39 Ponto Flutuante (4105)d = * 10^3 = ( )b * 2^ bit 7 bit 23 bit

40 ...?

41 Referências Sistemas Digitais: Fundamentos e Aplicações. Floyd, Thomas L.. Bookman, 2007, 9 edição. PowerPoints for Digital Fundamentals, 10th edition, Acessado: Set/2014 IDOETA, Ivan Valeije; CAPUANO, Francisco Gabriel. Elementos de eletrônica digital. Livros Erica, 1982.