1 x 10 3 = x 10 2 = x 10 1 = x 10 0 = 8 + Total

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1 Cursos Técnicos Habilitações Plenas Eletrônica Digital Professor Arnaldo Sistemas de Numeração Bases Numéricas - Conversões Op. Sistema de Numeração Decimal Composto pela Base 10 e pelos Símbolos ( Algarismos ) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, Sendo que com estes Componentes Poderão Ser Formados & Representados Quaisquer Números Desejados Dentro deste Sistema, bem como Todas as Operações Aritméticas & Matemáticas Convencionais. O Valor de um Número em Quaisquer dos Sistemas Numéricos Depende da Posição em que se Encontram os Algarismos Dentro da Formação Gráfica de tal No., pois, de acordo com o Posicionamento destes Algarismos, estes Possuirão Determinados Pesos Quantitativos. Este Peso de Valor para Números Decimais é Obtido Através da Base 10 Elevada a um Expoente que Dependerá da Posição Gráfica Característica das Regras de Formação do Número em questão : 10 n Dezena de Milhar Milhar Centena Dezena Unidade Exemplo: Formação do Número x 10 3 = x 10 2 = x 10 1 = x 10 0 = 8 + Total Sistema de Numeração Binário Composto pela Base 2 e Apenas pelos Algarismos 0 e 1 que Representarão Todas as Grandezas Possíveis, sejam estas Inteiras, Fracionárias, Positivas, Negativas, bem como Todas as Operações Aritméticas que Possam Envolver tais Números. Como no Sistema Decimal, o Valor de um Determinado Número Depende da Posição de seus Dígitos e no Sistema Binário, tais Posições são Obtidas, Elevando-se a Base Numérica 2 aos Expoentes de 0 até n. 2 n

2 Cada uma das Posições Acima Representa um Peso para os Algarismos que Irão Formar um Número Binário, sendo que a Posição 2 0 Representa o Dígito Menos Significativo e a Posição 2 n Representa o Dígito Mais Significativo a Ser Utilizado na Formação Numérica proposta. IMPORTANTE: Os Termos Dígito & Algarismo Binário Possuem o Mesmo Significado Técnico que bit ( Binary Digit ). Conversão de Números Decimais para Binários Para se Efetuar a Conversão de Números Decimais em Binários São Realizadas Sucessivas Divisões pela Base 2 do Número Decimal que se Deseja Converter, Observando-se a Utilização dos Restos das Operações Efetuadas, tal como no Exemplo a seguir : Realizar a Conversão do Número Decimal 63 para Binário: Final A Seta indica o Sentido Correto da Leitura do Resultado obtido. Assim, o Número é escrito em Binário como COMPROVAÇÃO MATEMÁTICA: ( 1 2 x 2 5 ) + ( 1 2 x 2 4 ) + ( 1 2 x 2 3 ) + ( 1 2 x 2 2 ) + ( 1 2 x 2 1 ) + ( 1 2 x 2 0 ) = = Realizar as seguintes Conversões Decimais para Binários (bits): = = 2 Conversão de Números Binários em Decimais Este Tipo de Conversão é Realizado Multiplicando-se o Dígito Binário pelo Respectivo Peso de sua Posição Gráfica dentro da Formação do Número a ser Convertido para Base 10, Somando-se, em seguida, com os outros Produtos dos Próximos bits pelos Pesos de seus Posicionamentos dentro do Binário que está sendo Adequadamente Convertido.

3 Realizar a Conversão do Binário no Decimal correspondente : Após Atribuir os Pesos de cada Posição Gráfica do Número Binário a ser Convertido, basta Multiplicar os bits pelos respectivos Pesos, Somandose, então, TODOS os Produtos obtidos : ( 1 x 2 5 ) + ( 1 x 2 4 ) + ( 1 x 2 3 ) + ( 1 x 2 2 ) + ( 0 x 2 1 ) + ( 1 x 2 0 ) = ( 1 x 32 ) + ( 1 x 16 ) + ( 1 x 8 ) + ( 1 x 4 ) + ( 0 x 2 ) + ( 1 x 1 ) = = IMPORTANTE: Números Binários de 4 bits São Convertidos para que Representem, no Máximo, o Número 15 10, pois: Números de 4 bits são Representados como na Demonstração abaixo: Então, quando se Escrever o Binário , será obtida a Representação: Percebe-se que este é o Maior Número que pode ser Escrito com 4 bits: (8 x 1) + (4 x 1) + (2 x 1) + (1 x 1) = Assim Sendo, Pode-se Concluir que 1 Número Binário de n bits Poderá Representar, no Máximo, o Número Binário ( 2 n-1 ). Tabela Equivalências Sistemas Numéricos Binário Decimal

4 Exercícios Propostos : Quantos bits São Necessários para Representar o Decimal 70? Quantos bits São Necessários para Representar o Decimal 1024? Quantos bits São Necessários para Representar o Decimal 93? Converter os Números Decimais em Binários : Converter os Números Binários em Decimais : BOM APROVEITAMENTO TÉCNICO!!! Prof. Arnaldo

5 Sistema de Numeração Octal O Sistema Octal de Numeração é composto pela Base 8 & pelos Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, & 7. Já foi comentado que os Processos de Formação dos Números de qualquer Sistema Numérico está devidamente fundamentado na Base do Sistema, sendo que o Valor Quantitativo de um determinado Número dependerá exclusivamente das Posições em que seus Algarismos de Formação irão estar quando de sua Representação Gráfica. No Sistema Octal, os Pesos das Posições Gráficas dos Algarismos são obtidos elevando-se a Base 8 aos Expoentes que vão de 0 até n: 8 n Cada uma das Posições Gráficas acima representa um Peso no Processo de Formação de um Número Octal, sendo que a Posição 8 0 representa o Algarismo Menos Significativo, enquanto a Posição 8 n representa o Algarismo Mais Significativo na Composição Final do Número em questão. Conversão do Sistema Decimal para Sistema Octal Para se converter um Número Decimal em um Número Octal deve-se realizar Sucessivas Divisões do Número Decimal pela Base 8 & considerar os Restos das Divisões efetuadas como no Exemplo abaixo: Exemplo: Converter o número decimal 1752 em octal sentido da escrita 3 Desse modo, o Resultado da Conversão do Número para o Sistema Octal será o Número Exercício: Realizar a Conversão do Número para o Sistema Octal. Conversão do Sistema Octal para Sistema Decimal A Conversão do Número Octal para Número Decimal é realizada multiplicando-se o Algarismo pelo respectivo Peso Numérico de sua Posição Gráfica & somando-se com os outros Produtos dos demais Algarismos pelo respectivo Peso dos mesmos.

6 Exemplo: Converter o Número Octal em Decimal Distribuindo-se os Pesos de cada Posição Gráfica do Número, basta multiplicar o Algarismo pelo Peso & somar aos outros Produtos, ou seja: (3 x 8 2 ) + (0 x 8 1 ) + (0 x 8 0 ) = 3 x x x 1 = Sistema de Numeração Hexadecimal Composto pela Base 16 & pelos Algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) & F (15). Mais uma vez, o Processo de Formatação dos Números estará fundamentado na Base do Sistema & assim sendo, da mesma forma que no Sistema Decimal, no Sistema Hexadecimal, o Valor Significativo de um determinado Número depende das Posições Gráficas de seus Dígitos. No Sistema Hexadecimal, os Posicionamentos dos Algarismos são obtidos elevando-se a Base Numérica 16 a Expoentes de 0 até n. 16 n Cada uma das Posições acima representa um Peso para o Número Hexadecimal, sendo que a Posição 16 0 representa o Dígito menos Significativo & a Posição 16 n representa o Dígito mais Significativo. Mas, por que no Sistema Hexadecimal são utilizadas LETRAS no lugar dos Algarismos que possuem 2 Dígitos??? Para, por exemplo, poder Identificar & Diferenciar corretamente se o Número Hexadecimal 110(16) seria 1-10 ( Um Dez ), 11-0 ( Onze Zero ) ou ainda ( Um Um - Zero)... Se o Número for 1-10, ao se posicionarem os Pesos para sua Conversão: Obtendo-se, então, um determinado Resultado. Se o Número for 11-0, ao se posicionarem os Pesos para sua Conversão: O que significaria um outro Resultado. Se o Número fosse 1-1-0, ao se posicionarem os Pesos para sua Conversão: Obtendo-se um Resultado ainda mais diferente. Para Solucionar Problemas como esse São Arbitradas Letras no Lugar dos Algarismos com 2 Dígitos, Eliminando-se Assim este Tipo de Questão.

7 Assim Sendo, ao se Escrever 1-10(16) Representa-se 1A(16), para 11-0(16) Escreve-se B0(16) & no caso de 1-1-0(16), Apresenta-se 110(16). Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal Para se converter um Número Decimal em Hexadecimal deve-se realizar Sucessivas Divisões do Número Decimal pela Base 16 & ao final, selecionar os Restos das referidas Divisões como no Exemplo: Exemplo: Converter o número decimal 34 em hexadecimal sentido da escrita 16 0 Assim Sendo, o Decimal 34(10) é Exatamente o Hexadecimal 22(16). Exercício: Conversão do Decimal 140(10) para Hexadecimal Conversão do Sistema Hexadecimal para Decimal A Conversão de Números Hexadecimais para Números Decimais é realizada multiplicando-se os Dígitos a serem convertidos pelo respectivo Peso de sua Posição Gráfica dentro do próprio Número sob Conversão, somando-se ainda com os Produtos dos outros Algarismos a serem convertidos pelos seus próprios Pesos. Exemplo: Converter o Hexadecimal 300 (16) em Decimal ( 3 x 16 2 ) + ( 0 x 16 1 ) + ( 0 x 16 0 ) = ( 3 x 256 ) + ( 0 x 8 ) + ( 0 x 1 ) = 768 (10) Exercício : Converter o Hexadecimal ABC (16) em Decimal EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TÉCNICA Converter para os Sistemas de Numeração Solicitados : 100(10) para N(2) 100(10) para N(8) 100(10) para N(16)

8 Converter os Seguintes Números para o Sistema Decimal : (2) = (2) = 9F3 (16) = BAF0 (16) = 18 (8) = F0DA (16) = Conversões entre Sistemas Octal Hexadecimal As referidas Conversões entre tais Sistemas Numéricos poderão ser realizadas através de 2 Metodologias Técnicas, sendo que uma delas se utiliza do Sistema Decimal como Intermediário Operacional. No. (16) No. (10) No. (8) Outra Metodologia usa o Sistema Binário de Intermediário Operacional. No. (16) No. (2) No. (8) Conversão de Hexadecimal para Octal Conversão Hexadecimal / Octal Utilizando-se do Sistema Decimal como Operador Matemático Intermediário Exemplo: Converter o Hexadecimal 1FA 16 para Octal F A 1º Passo: Converte-se o referido Número para o Sistema Decimal ( 1 x 16² ) + ( 15 x 16¹ ) + ( 10 x 16 0 ) = = 506 (10) 2º Passo: O Número Obtido deve ser convertido para o Sistema Octal Assim Sendo : O Número Octal 772 (8) equivale ao Hexadecimal 1FA (16)

9 Conversão Octal / Hexadecimal Utilizando o Sistema Decimal como Operador Matemático Intermediário Exemplo: Converter Octal 772 para Hexadecimal º Passo: Converter o referido Número para o Sistema Decimal ( 7 x 8² ) + ( 7 x 8¹ ) + ( 2 x 8 0 ) = = 506 (10) 2º Passo: Converte-se o Número Decimal obtido para o Sistema Hexadecimal, dividindo-o sucessivamente pela Base (10) (15) 1 16 A F 1 Assim sendo: Hexadecimal 1FA (16) equivale ao Octal 772 (8) Conversão Hexadecimal / Octal Utilizando Sistema Binário como Operador Matemático Intermediário Visando-se agilizar as Conversões Numéricas a serem efetuadas pode-se utilizar Tabelas Auxiliares como as que são apresentadas a seguir: C B A OCTAL D C B A HEXA A B C D E F

10 1º Passo: Escreve-se o Número Hexadecimal como um Número Binário, fazendo-se com que cada Algarismo do referido Número Hexadecimal seja representado por um Número Binário de 4 bits. Exemplo: Converter o Número Hexadecimal 1FA (16) para Número Octal utilizando-se o Sistema Binário como Operador Intermediário. 1 F A º Passo: Agrupa-se, de 3 em 3 bits, o Binário obtido anteriormente fazendo-se a Conversão de cada Grupo de 3 bits para o Sistema Decimal. Dessa forma, o Número encontrado será o Número Octal desejado (8) Conversão Octal / Hexadecimal Utilizando Sistema Binário como Operador Intermediário 1º Passo: Converte-se o Octal em Binário, fazendo-se com que cada Algarismo do Octal seja representado por um Binário de 3 bits. Exemplo: Conversão do Octal 772 (8) para Hexadecimal º Passo: Agrupa-se de 4 em 4 bits, fazendo-se a Conversão de cada um desses Grupos de 4 bits para o Sistema Decimal, de modo que o Número a ser encontrado seja o Hexadecimal desejado F A Dessa Forma, Pode-se Comparar as 2 Metodologias de Conversão Numérica & se Obter as próprias Conclusões Sobre Qual Delas Considera-se Mais Fácil, Ágil & de Maior Domínio Operacional para Aplicações Técnicas do Cotidiano.

11 EXERCÍCIOS para FIXAÇÃO TÉCNICA 1) - Converter Hexadecimais para Decimais : a) AF b) B01 c) CA1 d) 110 2) - Converter Octais para Decimais : a) 10 b) 70 c) 101 d) 110 3) - Converter de Octal para Hexadecimal : a) 106 b) 107 c) 201 d) 777 e) 681 4) - Converter de Hexadecimal para Octal : a) 105 b) AF c) B01 d) FACA e) 110A Bom Aproveitamento Técnico & Ótimo Divertimento Intelectual!!! Prof. Arnaldo