Aula 2 - Sistemas de Numeração

Transcrição

1 Aula 2 - Sistemas de Numeração Marcos A. Guerine Instituto de Computação - UFF [email protected]

2 História Contagem e controle de rebanhos Noção de quantidade intuitiva; Um, dois e muitos Montes de pedras para identificar os animais Origem da palavra cálculo (calculus, do latim). 2 / 29

3 História Numeração escrita através de marcações em madeiras e outros objetos Primeiro sistema de numeração escrita 3500 ac Símbolos para 1, 10, 100, (354, soma de três 100, cinco 10 e quatro 1) 3 / 29

4 História Sistemas de Numeração Sistema Romano/Hebraico: Representação de números através de letras I, V, X, L, C, D, M - (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000) Além da soma, utiliza a diferença para representar os números VII(7) era representado por cinco mais dois CDXLII(442) era representado como sendo quinhentos menos cem, mais cinquenta menos dez, mais um, mais um 4 / 29

5 Conceitos básicos Diferenças entre: Número, numeral e algarismo 5 / 29

6 Conceitos básicos Diferenças entre: Número, numeral e algarismo Número - representação da quantidade (5 == V == IIIII) Numeral - nome dos números (um, dois, primeiro,...) Algarismo - símbolo que os representa (1, 3, X, L) A distinção entre esses termos é importante para que se evite confusão, pois mesmos dígitos podem ter valor numérico diferente 6 / 29

7 Sistema Decimal - Base 10 Analogia com a quantidade de dedos da mão Existem dez dígitos (0, 1, 2, 3,..., 8, 9) Os demais são composições desses algarismos 123 é 3x x x10 2 a n 10 n + a n 1 10 n 1 + a n 2 10 n a a a 0 Sistema decimal é empregado quase que universalmente Mas existem outros sistemas de numeração que usamos diariamente (dia, hora, minuto, dúzia) 7 / 29

8 Analogamente - Sistema de base b Base b Existem b algarismos Os demais são composições desses algarismos 8 / 29

9 Bases Clássicas de Numeração Binária(2), Octal(8), Decimal(10), Hexadecimal(16) Base é a quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração Notação posicional: A posição ocupada por um algarismo altera o seu valor de uma potência da base 9 / 29

10 Base Binária Sistemas de Numeração 2 símbolos para representar os números: 0 e 1 (1011) 2 = 1 x x x x 2 0 = (11) 10 Se utulizassem aritmética decimal no computador: seriam necessárias 10 componentes para representar os números Com a base binária, utilizam-se dois componentes - Presença ou ausência de corrente elétrica (Perfeita para computadores) / 29

11 Bases Octal e Hexadecimal Quanto menor a base, mais dígitos são necessários e pior a visualização. Solução: trabalhar com bases que utilizem a potência de 2; as mais utilizadas são octal (2 3 ) e hexadecimal (2 4 ). Octal Oito algarismos para representação; um algarismo octal representa 3 bits Hexadecimal Dezesseis algarismos para representação; um algarismo hexadecimal representa 4 bits A B C D E F 11 / 29

12 Representação de informação As bases binária, octal e hexadecimal podem parecer um conceito totalmente novo, mas não são. Sua formação e comportamento funcionam exatamente como na base decimal - a lógica de construção é exatamente a mesma. São um conjunto de símbolos ou algarismos associados a uma certa quantidade. Quando a quantidade a ser representada excede o número de algarismos, começamos a combiná-los, seguindo um critério estabelecido pela notação posicional. (sua posição determina uma potência da base) 12 / 29

13 Decimal Binário Hexadecimal Octal A B C D E F / 29

14 Conversão entre bases Como comparar números em bases distintas? 14 / 29

15 Conversão entre bases Como comparar números em bases distintas? Inviável! Para fazer a comparação, os números devem estar na mesma base. 15 / 29

16 Conversão de uma base b qualquer para base 10 Dado o número a n a n 1...a 1 a 0 Sua representação na base 10 é a n b n + a n 1 b n a 1 b 1 + a 1 b 0 Ex: (0101) 2 = 0 x x x x 2 0 = (5) 10 (6437) 8 = 6 x x x x 8 0 = = (3359) 10 (5F3) 16 = 5 x x x 16 0 = = (1523) / 29

17 Conversão da base 10 para uma base b qualquer Dado o número p = a n a n 1...a 1 a 0 na base 10 Sua representação na base b é feita da seguinte maneira Dividir p pela base b, até que o quociente seja zero Os algarismos que irão representar p na base b serão os restos obtidos nas divisões do passo anterior Prova! 17 / 29

18 Exercícios = ( ) 10 FB7 16 = ( ) = ( ) 10 A46 16 = ( ) = ( ) / 29

19 Conversão binário-octal 1 algarismo octal representa 3 algarismos binários Deve-se separar os bits de um número binário em grupos de 3 bits Converter cada um destes grupos para o algarismo octal equivalente. Ex: ( ) 2 = (001)(111)(110)(101) = (1) (7) (6) (5) = (1765) 8 19 / 29

20 Conversão binário-hexadecimal Analogamente 1 algarismo hexadecimal representa 4 algarismos binários Deve-se separar os bits de um número binário em grupos de 4 bits Converter cada um destes grupos para o algarismo hexa equivalente. Ex: ( ) 2 = (0011)(1111)(0101) = (3)(F)(5) = (3F5) / 29

21 Conversão entre bases Para as conversões inversas (octal-binário e hexadecimal-binário) basta, para cada algarismo, obter a representação em binário, respeitando a ordem posicional. Importante! Sempre utilizar a respectiva quantidade de bits nas conversões (3 para octal, 4 para hexadecimal) Ex (errado): (3F5) 16 = (11) 2 (1111) 2 (101) 2 = = (1FD) 16 Ex (certo): (3F5) 16 = (0011) 2 (1111) 2 (0101) 2 = = (3F5) / 29

22 Exercícios = ( ) 16 = ( ) 8 5FB7 16 = ( ) 2 = ( ) = ( ) 2 = ( ) = ( ) 16 FA46 16 = ( ) 8 22 / 29

23 Conversão de números fracionários Sistemas de Numeração E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo? Multiplicar p pela base b, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base b serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior 23 / 29

24 Conversão de números fracionários Sistemas de Numeração E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo? Multiplicar p pela base b, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base b serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, > a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 > a 2 =0 0,90625 x 2 = 1,8125 > a 3 =1 0,8125 x 2 = 1,625 > a 4 =1 0,625 x 2 = 1,25 > a 5 =1 0,25 x 2 = 0,5 > a 6 =0 0,5 x 2 = 1,0 > a 7 =1 0, =(0, )2 24 / 29

25 Exercícios 0, = ( ) 10 0,25 10 = ( ) 2 0, = ( ) 2 0,8 10 = ( ) 2 25 / 29

26 Próxima aula: Como representar números negativos? 26 / 29

27 Próxima aula: Como representar números negativos? Usar bit para representar o sinal. Problemas? Como é a soma e subtração? 27 / 29

28 Créditos Material baseado nas aulas dos Profs Cristina Boeres e Marcos Quinet 28 / 29

29 Aula 2 - Sistemas de Numeração Marcos A. Guerine Instituto de Computação - UFF [email protected]