Aula 3 - Representação de Dados

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1 Aula 3 - Representação de Dados Marcos A. Guerine Universidade Federal Fluminense mguerine@ic.uff.br

2 Na aula passada... História dos sistemas de numeração Bases de numeração Conversão entre bases Conversão entre base 10 e base b Conversão entre base b e base 10 2 / 80

3 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior 3 / 80

4 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 4 / 80

5 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 a 2 =0 5 / 80

6 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 a 2 =0 0,90625 x 2 = 1,8125 a 3 =1 6 / 80

7 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 a 2 =0 0,90625 x 2 = 1,8125 a 3 =1 0,8125 x 2 = 1,625 a 4 =1 7 / 80

8 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 a 2 =0 0,90625 x 2 = 1,8125 a 3 =1 0,8125 x 2 = 1,625 a 4 =1 0,625 x 2 = 1,25 a 5 =1 8 / 80

9 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 a 2 =0 0,90625 x 2 = 1,8125 a 3 =1 0,8125 x 2 = 1,625 a 4 =1 0,625 x 2 = 1,25 a 5 =1 0,25 x 2 = 0,5 a 6 =0 9 / 80

10 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 a 2 =0 0,90625 x 2 = 1,8125 a 3 =1 0,8125 x 2 = 1,625 a 4 =1 0,625 x 2 = 1,25 a 5 =1 0,25 x 2 = 0,5 a 6 =0 0,5 x 2 = 1,0 a 7 =1 10 / 80

11 Sistemas de Numeração Conversão de números fracionários para binário E se o número a ser representado não for inteiro? Dado o número p = 0, , como representá-lo em binário? Multiplicar p por 2, enquanto a parte fracionária for diferente de zero Os algarismos que irão representar p na base 2 serão os inteiros obtidos nas multiplicações do passo anterior Exemplo: 0, x 2 = 1, a 1 =1 0, x 2 = 0,90625 a 2 =0 0,90625 x 2 = 1,8125 a 3 =1 0,8125 x 2 = 1,625 a 4 =1 0,625 x 2 = 1,25 a 5 =1 0,25 x 2 = 0,5 a 6 =0 0,5 x 2 = 1,0 a 7 =1 0, = (0, ) 2 11 / 80

12 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 12 / 80

13 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 4,8 = 4 + 0,8 4 = (100) 2 13 / 80

14 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 4,8 = 4 + 0,8 4 = (100) 2 0,8 x 2 = 1,6 a 1 =1 14 / 80

15 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 4,8 = 4 + 0,8 4 = (100) 2 0,8 x 2 = 1,6 a 1 =1 0,6 x 2 = 1,2 a 2 =1 15 / 80

16 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 4,8 = 4 + 0,8 4 = (100) 2 0,8 x 2 = 1,6 a 1 =1 0,6 x 2 = 1,2 a 2 =1 0,2 x 2 = 0,4 a 3 =0 16 / 80

17 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 4,8 = 4 + 0,8 4 = (100) 2 0,8 x 2 = 1,6 a 1 =1 0,6 x 2 = 1,2 a 2 =1 0,2 x 2 = 0,4 a 3 =0 0,4 x 2 = 0,8 a 4 =0 17 / 80

18 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 4,8 = 4 + 0,8 4 = (100) 2 0,8 x 2 = 1,6 a 1 =1 0,6 x 2 = 1,2 a 2 =1 0,2 x 2 = 0,4 a 3 =0 0,4 x 2 = 0,8 a 4 =0 0,8 x 2 = 1,6 a 5 =1 LOOP! 18 / 80

19 Sistemas de Numeração Exemplo 2: 4,8 4,8 = 4 + 0,8 4 = (100) 2 0,8 x 2 = 1,6 a 1 =1 0,6 x 2 = 1,2 a 2 =1 0,2 x 2 = 0,4 a 3 =0 0,4 x 2 = 0,8 a 4 =0 0,8 x 2 = 1,6 a 5 =1 LOOP! Logo, 4,8 = (100, ) / 80

20 Sistemas de Numeração Conversão de binário para números fracionários Dado o número p = 101, 101, como representá-lo em decimal fracionário? Exemplo: 101, / 80

21 Sistemas de Numeração Conversão de binário para números fracionários Dado o número p = 101, 101, como representá-lo em decimal fracionário? Exemplo: 101,101 1x x x x x x / 80

22 Sistemas de Numeração Conversão de binário para números fracionários Dado o número p = 101, 101, como representá-lo em decimal fracionário? Exemplo: 101,101 1x x x x x x2 3 Logo, 101,101 = (5,625) / 80

23 Sistemas de Numeração Algumas Observações Como representar o ponto? Como representar números negativos? Como são realizadas as operações aritméticas? 23 / 80

24 Introdução Aspectos essenciais a serem decididos na aritmética computacional: 1 Modo de representação dos números(formato binário) 2 Algoritmos que realizam operações aritméticas básicas(adição, subtração, multiplicação e divisão) Tais pontos são observados tanto para números inteiros quanto para flutuantes 24 / 80

25 Introdução Sistema binários(representação por 2 digítos) podem representar valores fracionários da seguinte maneira: 1001, 101 = = 9, a Computadores não compreendem os sinais de menos ou vírgula(apenas dígitos binários) a representação com potência negativa da base 25 / 80

26 Representação Sinal e Magnitude Convenções normalmente trabalham com Bit Mais Significativo da palavra(mais à esquerda) para o sinal Se o BMS(sinal-magnitude) for 0, o número será positivo; caso contrário, será negativo +18 = = (Sinal e magnitude) 26 / 80

27 Desvantangens do Sinal e magnitude 27 / 80

28 Desvantangens do Sinal e magnitude Em operações de adição e subtração, considera-se tanto a magnitude quanto o sinal dos dois operandos(será visto com detalhes posteriormente) Outra desvantagem é a existência de 2 representações para o zero: = = Fica mais difícil testar se um número é zero ou não Devido a tais desvantagens, tal representação é dificilmente usada 28 / 80

29 Complemento de um Trata-se de uma representação por complementação binária O número negativo é o complemento binário do número positivo Complemento binário é obtido através de negação bit-a-bit = = / 80

30 Complemento de um Trata-se de uma representação por complementação binária O número negativo é o complemento binário do número positivo Complemento binário é obtido através de negação bit-a-bit = = Ainda possui a desvantagem de possuir duas representações para o zero: = = / 80

31 Complemento de dois Melhora a representação de complemento de um Utiliza BMS para representar o bit de sinal(devido a fácil identificação) Vantagens Somente uma representação para o zero(número positivo) Executa facilmente operações aritméticas de soma e subtração Assimetria em relação a quantidade de números representados 2 n 1 a 2 n / 80

32 Complemento de dois Para encontrar a negação de um número inteiro: 1 Encontre a representação de x 2 Realize uma inversão bit-a-bit 3 Some 1 ao valor encontrado Exemplo Representação inteiro negativo para 5 com 8 bits 1 5 = Inversão bit-a-bit: = / 80

33 Faixa de valores Complemento de dois para 8 bits +127 = = = = 2 7 Complemento de dois para 16 bits = = = = / 80

34 Extensão de valores Para estender o valor da representação, ou seja, converter um número de x bits em x + y bits, basta extender o BMS Exemplo 1 - De 8 para 16 bits +18 = = Exemplo 2 - De 8 para 16 bits 18 = = / 80

35 Representações para 4 bits Decimal Sinal-Magnitude Complemento de / 80

36 Negação Sinal-magnitude Apenas inverte-se o bit de sinal Exemplo 1 +4 = = 1100 Exemplo 2-3 = = / 80

37 Negação Complemento a dois Executa-se dois passos: 1 Tome o complemento booleano de cada bit(troca-se 0 por 1 e 1 por 0) 2 Adicione 1 ao resultado +18 = Inversão de bits = = / 80

38 Casos especiais Caso 1 Representação única para o zero: 1: Representação do número +0 = : Inversão de bits 0 = : Soma-se um ao valor encontrado no passo anterior 0 = = = / 80

39 Casos especiais Caso 2 1: Representação do número 128 = : Inversão de bits 128 = : Soma-se um ao valor encontrado no passo anterior = 128???? Essa anomalia não pode ser evitada Se existir apenas uma forma de representar o zero, então a quantidade de números positivos e negativos representados será diferente 39 / 80

40 Adição Adição é realizada da maneira tradicional = = 7 40 / 80

41 Adição Observações A operação de adição é realizada operando-se as colunas da direita para a esquerda, da mesma forma que nas operações decimais. Todas as operações aritméticas podem ser realizadas através da soma. A multiplicação pode ser feita através de sucessivas somas; A subtração pode ser feita através do metodo de complemento da base (que veremos a seguir); Finalmente, a divisão pode ser feita através de sucessivas subtrações. 41 / 80

42 Adição Outros exemplos = = -5 Overflow = Overflow = Overflow 42 / 80

43 Overflow Como observado uma adição pode ter um número de bits maior que o tamanho da palavra usada, isso é chamado Overflow O overflow é monitorado pela ALU O overflow apenas acontece quando existe soma de 2 números de mesmo sinal Se o resultado tiver sinal oposto aos valores incrementados, então ocorreu overflow 43 / 80

44 Adição Exercícios BA C / 80

45 Subtração Subtração é facilmente implementada Para subtrair um número S(subtraendo) de um número M(minuendo), basta pegar o complemento de dois(negação) de S e acrescentar esse valor a M Tal operação necessita apenas de circuito de adição e complemento 45 / 80

46 Subtração Exemplo =? 5-2 =? 46 / 80

47 Subtração Exemplo =? 5-2 =? M = 2 = 0010 M = 5 = 0101 S = 7 = 0111 S = 2 = S = -7 = S = -2 = = = / 80

48 Subtração Exemplo =? 5 - (-2) =? 48 / 80

49 Subtração Exemplo =? 5 - (-2) =? M = -5 = 1011 M = 5 = 0101 S = 2 = 0010 S =-2 = S = -2 = S = 2 = (-2) = = / 80

50 Subtração Exemplo 3 - Overflow 7 - (-7) =? -6-4 =? M = 7 = 0111 M =-6 = 1010 S =-7 = 1001 S = 4 = S = 7 = S = -4 = (-7) = Overflow = Overflow 50 / 80

51 Subtração Exercícios BB 16 - AA / 80

52 Números fracionários Notação Ponto Fixo Pode-se usar notação de ponto fixo(e.g. complemento de 2) para representar números fracionários Basta estipular uma posição para a vírgula que separa a parte inteira e fracionária Desvantangens Não possibilita representar números muito grandes nem frações muito pequenas A divisão de dois números muito grandes pode resultar em perda da parte fracionária do quociente 52 / 80

53 Representação Notação Científica Para números decimais, utiliza-se notação científica para representar números extremamente pequenos ou grandes = 9, A mesma abordagem pode ser utilizada para números binários Forma de representação ±M B ±E Sinal Mantissa M Expoente E Base B é impĺıcita e não precisa ser armazenada 53 / 80

54 Representação Ponto Flutuante Sinal Expoente Mantissa BMS armazena o sinal do número Valor do expoente é armazenado nos bits seguintes A parte final da palavra é a mantissa Quantos bits utilizar para mantissa e expoente? Qual representação utilizada na mantissa e no expoente? Padrão IEEE / 80

55 Padrão IEEE-754 Trata-se de uma convenção para representação de números fracionários Facilita a portabilidade de programas Altamente utilizado em processadores modernos 55 / 80

56 Padrão IEEE Especificações Bit de sinal Se o bit de sinal é 0, o número é positivo, caso contrário então é negativo Expoente Não é complemento de 2 Utiliza representação polarizada (ou por excesso) Valor fixo denominado polarização é somado ao valor do expoente para se obter o campo A polarização normalmente é representada por 2 k 1 1 onde k é o número de bits do expoente binário 56 / 80

57 Padrão IEEE Especificações Expoente(cont.) Para 8 bits tem-se que a polarização é 127 (2 7-1) Na representação polarizada, se tratados como números inteiros sem sinal, a magnitude dos números não muda (1111 é o maior número e 0000 o menor) Facilita a comparação entre números Mantissa Um mesmo número pode ser representado de várias maneiras 0, , / 80

58 Padrão IEEE Especificações Mantissa(cont.) Para simplificar as operações os números precisam ser normalizados, ou seja, devem estar na forma: ±1, mmmm...m 2 E Onde m é um dígito binário (0 ou 1) O bit antes da mantissa é sempre 1 e por isso não é necessário armazená-lo (caso o número esteja normalizado) 58 / 80

59 Padrão IEEE Especificações É definido um formato simples de 32 bits e um formato duplo de 64 bits Na precisão simples, o expoente possui 8 bits e a mantissa 23 bits Sinal (1 bit) Expoente (8 bits) Mantissa (23 bits) Em precisão dupla, o expoente possui 11 bits e a mantissa 52 bits Sinal (1 bit) Expoente (11 bits) Mantissa (52 bits) Precisão dupla aumenta a precisão das operações Existe ainda uma precisão estendida utilizada pra diminuir a chance de overflow e aumentar a precisão 59 / 80

60 Exemplo 1 Converter (12, 25) 10 para representação fracionária 1 Acha-se a representação com potência negativa da base: 12 = = , 25 = 2 2 = 01 12, 25 = 1100, 01 2 Após isso normaliza-se o valor: 12, 25 = 1100, 01 = 1, Calcula-se o campo do expoente Polarização = 2 k 1 1 = = 127 Campo (e) = Expoente (E) + Polarização = = 130 = / 80

61 Exemplo 1(cont.) 4 Estipular o bit de sinal, que nesse caso é 0(positivo) 5 Completar os bits da mantissa se precisar com 0 s bits = Representação final 12, 25 = / 80

62 Exemplo 2 Representação inicial Qual o valor decimal do número fracionário abaixo? / 80

63 Representação inicial Exemplo 2 Qual o valor decimal do número fracionário abaixo? Identifica-se o sinal que nesse caso é positivo(bit 0) 2 Calcula-se o expoente através do campo Polarização = 2 k 1 1 = = 127 Expoente = Campo - Polarização Expoente = = 3 3 Identifica o valor da mantissa eliminando a extensão = , , 10001x , 01x , 01 = (12, 25) / 80

64 Especificações Mantissa(cont.) O bit mais significativo da mantissa não é armazenado (bit escondido), porém ele pode ser determinado pelo valor do expoente polarizado. Casos: Se 0 < e < 2 k 1, então o bit mais significativo da mantissa é 1 e o número é dito normalizado. Caso contrário, número está não normalizado ou desnormalizado. 64 / 80

65 Características principais Resumo O sinal é armazenado no primeiro bit da palavra O primeiro bit da mantissa é sempre 1 e não precisa ser armazenado (caso o número esteja normalizado) O valor 127 (para 8 bits no expoente) é adicionado ao verdadeiro expoente para ser armazenado no campo do expoente (e = E + polarização) A base é 2 65 / 80

66 Outras características Representações devem incluir um padrão de bits para designar o zero, infinito e indeterminação Underflow e Overflow ocorrem durante operações aritméticas Notação de ponto flutuante representa a mesma quantidade de números que os inteiros (2 32 representações) Para aumentar a precisão deve-se aumentar a quantidade de bits (arquiteturas atuais oferecem precisão dupla, 64 bits e até a precisão estendida, com 80 bits) 66 / 80

67 Casos Especiais Para qualquer ponto flutuante a, vale: a + = a + - = = NaN NaN + a = NaN a / = 0 * = / a =, se a 0 0/0 = NaN / = NaN * 0 = NaN 67 / 80

68 Casos Especiais Normalizado -126 E +127 Zero S = 0/1 e = 0 (E = -127) M = 0 + S = 0 e = 255 (E = 128) M = 0 - S = 1 e = 255 (E = 128) M = 0 NaN (0/0) S = 0/1 e = 255 (E = 128) M 0 68 / 80

69 Faixa de valores Números negativos entre ( ) e 0, Números positivos entre 0, e ( ) Cinco regiões não são abrangidas: 1 Negativos menores que ( ) (overflow) 2 Negativos maiores que 0, (underflow) 3 Zero 4 Positivos menores que 0, (underflow) 5 Positivos maiores que ( ) (overflow) 69 / 80

70 Quantidade de bits representados Temos 1 bit para sinal Expoente com 11 bits Mantissa com 52 bits Representação Exemplo de Precisão Dupla Como representar ( 0.75) 10 em precisão dupla? Passar para base 2: Normalizando: -1.1 x 2 1 Polarização: = 1023 Campo = Expoente + Polarização = = 1022 Sinal (1 bit) - Campo (11 bits) - Mantissa (52 bits) / 80

71 Exercícios Ponto Flutuante Representar utilizando precisão simples (0.25) Representar utilizando precisão dupla (2.75) / 80

72 Exercícios Ponto Flutuante Qual o valor decimal, usando precisão simples 466DB / 80

73 Adição/Subtração Basta seguir os seguintes passos: 1 Verifica-se se um operando é zero, se for o resultado será o outro operando 2 Iguala-se os expoentes dos 2 números Alinha-se o menor com o maior 3 Adiciona ou subtrai as mantissas 4 Normaliza o resultado 5 Verifica ocorrência de overflow/underflow - Expoente está no intervalo E [ 2 k 1 2, 2 k 1 1]? 73 / 80

74 Adição/Subtração Exemplo (30) 10 + (125) 10 Tranformar pra binário normalizado: 30 = = 1, = = 1, Iguala-se os expoentes = 0, Soma-se 1, , = 10, Normalize o resultado 10, = 1, Expoente está no intervalo? Sim, 7 [ 126, +127] então não ocorre violação Em decimal: 1, = = = / 80

75 Adição/Subtração Exemplo (0.5) 10 (0.4375) 10 Tranformar pra binário normalizado: 0.5 = 0, 1 = = 0, 0111 = 1, Iguala-se os expoentes 1, = 0, Soma-se = a Normalize o resultado = Expoente está no intervalo? Sim, 4 [ 126, +127] então não ocorre violação Em decimal: = 1/16 = a Dica: Use complemento de 2 75 / 80

76 Extra MIPS Assembler and Runtime Simulator O software MARS (MIPS Assembler and Runtime Simulator) possui uma ferramenta que facilita a visualização de números em ponto flutuante na representação IEEE 754 (precisão simples 32bits) 76 / 80

77 Extra IEEE 754 Online Converter O website IEEE 754 Converter também possui uma ferramenta de visualização. 77 / 80

78 Adição/Subtração Exercícios (5.25) 10 (2.5) 10 (0.25) 10 (1.0) 10 (42.345) 10 (32.25) / 80

79 Créditos Slides baseados no material de Edcarllos Santos 79 / 80

80 Aula 3 - Representação de Dados Marcos A. Guerine Universidade Federal Fluminense mguerine@ic.uff.br