Circuitos Digitais. Conteúdo. Soma de Números Binários. Soma de Números Binários. Exemplos. Exemplos. Aritmética Binária
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- Paula Marroquim Alves
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1 Ciência da Computação Aritmética Binária Prof. Sergio Ribeiro Material adaptado das aulas de Sistemas Digitais do Prof. Dr. Marcelo Andrade da USP Conteúdo Soma de números binários. Soma de números BCD. Subtração binária. Representação de números sinalizados. Complemento de. Complemento de 2. Overflow. Multiplicação binária. Divisão binária. 2 Soma de Números Binários Soma de Números Binários Álgebra Booleana (OR) + = + = + = + = Aritmética (+) + = + = carry + = + = e vai um = () + + = e vai um = () e vai um e vai um 3 4 Exemplos Exemplos Nº Nº
2 Exemplos Soma de Dois Números BCD Nº 3, +,, 3, ,75 6,25 Em decimal: Em BCD: Soma de Dois Números BCD Soma de Dois Números BCD E quando a soma for maior do que 9? Ex: Ex2: Em decimal: Em BCD: Solução: + BCD para 6 BCD para 7 BCD inválido! Somar 6 () ao resultado final para corrigir o código BCD inválido e adicionar o carry que será gerado! adicione 6 9 Subtração Binária Subtração Binária Aritmética () = borrow = = = e empresta um (2) () (2-=) empresta um (2 = ) 2 2
3 Exemplos Exemplos Nº Nº ? Números Negativos Sistema Sinal-Magnitude BIT DE SINAL Bit mais significativo (MSB) = indicador de sinal: Se MSB = + Se MSB = Portanto, o número binário pode ser representado por: SINAL / MAGNITUDE Sistema Sinal- Magnitude MSB (n-) bits restantes 5 Não é muito utilizado! 6 Complemento de um Número Complemento de um (em binário): ) (2 n ) número ou 2) substituem-se todos os por e vice-versa. Exemplo : complemento de um de Pelo método ) (2 5 ) = 32 = 3 (3) (22) = (9) Pelo método 2) Comp. de (22) = (9) Complemento de um Número Exemplo 2: complemento de de Método : (2 8 ) = 255 Método 2: Comp. de = (255) (28) ( 37) 7 8 3
4 ) 2) Complemento de 2 Complemento de 2 (em binário): Método : 2 n número Método 2: substituem-se todos os por e vice-versa (complemento de ); e soma-se ao resultado. (2 5 ) = 32 (32) (22) = () Comp. de 2 de = 9 Complemento de 2 Exemplo 2: complemento de 2 de Método : (2 8 ) = 256 Método 2: Comp. de 2 de : (256) (28) ( 38) complemento de + 2 Representação de Números com Sinal usando Complemento de 2 Sistema Complemento de 2 COMPLEMENTO DE 2 Bit mais significativo (MSB) = indicador de sinal: Se MSB = Se MSB = + SINAL / MAGNITUDE SINAL / COMPLEMENTO DE 2 Sistema de complemento de 2 2 Muito utilizado! 22 Sistema Complemento de 2 :: Exemplos Sistema Complemento de 2 :: Exemplos
5 Subtração como soma de complementos Subtração = soma com o complemento do subtraendo. A B = A + (-B) Negação Em binário: como vimos, negamos um número calculando o seu complemento de 2. Em decimal, por exemplo: complemento de 6 = x2 +3 = -3 = + = Subtração por Complemento de 2 Subtração por Complemento de 2 Ex: Ex2: 5 8 comp. de 2: 8 5 comp. de 2: + x + comp. de 2: Desprezado quando estiver à esquerda do bit de sinal. Resultado final (+33) Resultado final (-33) s e s à esquerda A quantidade de s colocados à esquerda de um número positivo ou s colocados à esquerda de um número negativo não altera seu valor. +3 = +3 = - 3 = + = - 3 = Usado para representar qualquer número binário, positivo ou negativo, com o número de bits desejado. Ex3: 5 25 Subtração por Complemento de 2 + Resultado final (-2) Preencha com zeros à esquerda até que os bits de sinal fiquem alinhados comp. de 2:
6 Subtração por Complemento de 2 Representação de Números com Sinal usando Complemento de 2 Ex4: 25 5 Preencha com zeros à esquerda até que os bits de sinal fiquem alinhados Faixa completa de valores que podem ser representados -2 (n-) +(2 (n-) ) + x Sendo n o número de bits Desprezado quando estiver à esquerda do bit de sinal. Resultado final (+2) 3 32 Exemplo Quantos números com sinal podem ser representados utilizando 4 bits? Quantos números com sinal podem ser representados utilizando 4 bits? (2 n- ) +(2 n- ) = (8) (+7) Quantos números sem sinal podem ser representados utilizando 4 bits? 2 n = Caso Especial de Complemento de 2 + Sempre que o número com sinal tiver um no bit de sinal e zero em todos os outros bits, seu equivalente decimal será -2 n, sendo n o número de bits da magnitude. = -2 3 = -8 = -2 4 = -6? = +8 = +6 Overflow Também conhecido como estouro ou transbordamento. Overflow ocorre quando o número de bits do resultado de uma operação aritmética é maior do que a capacidade de representação do número. Só pode ocorrer overflow quando dois números positivos ou dois números negativos são somados
7 Overflow A adição de dois números em complemento de 2 segue duas regras: Some os dois números e observe se ocorre o carry (vai ) sobre o bit de sinal e se ocorre o carry após o bit de sinal. Se ocorrer um e somente um dos dois carry, então houve estouro; caso contrário o resultado da soma está dentro do campo de definição. Overflow Exemplos para n = 4 bits: Não houve carry não overflow Carry sobre o bit de sinal overflow Overflow Overflow Não houve carry não overflow Carry sobre o bit de sinal e após ele não overflow Carry somente após o - bit de sinal overflow Ex: = 8 (utilização de 4 bits) ? Notar: quando o bit mais significativo for, trata-se de um número negativo. No caso desse exemplo seria necessário mais um bit para representar o 8 usando a representação binária em complemento de Complemento de 2: Estouro de Magnitude Multiplicação Binária Em um sistema de complemento de dois, existe sempre um limite para o tamanho dos números a serem representados. Exemplo: quando usamos complemento de dois com padrões de quatro bits (um para o sinal), ao valor 9 não está associado padrão algum; por isso não conseguimos obter uma resposta certa para a soma 5 + 4, o resultado apareceria como -7. x + 25 x 3 =
8 Multiplicação Binária Multiplicamos um número binário por 2 cada vez que seus bits são deslocados para a esquerda e o zero é colocado no bit menos significativo. = 9 = 8 = 9 x 2 = 36 = 9 x 4 = 8 x 2 Divisão Binária Dividimos um número binário por 2 cada vez que seus bits são rotacionados para a direita e o zero é colocado no bit mais significativo. Atenção: usar vírgula quando o bit menos significativo for igual a! = 8 = 9 = 8 2, = 4,5 = 8 4 = 9 2, = 2,25 = 8 8 = 4, Divisão Binária Divisão Binária A B R Q = 2,5, Conclusões O que concluímos? Que qualquer operação aritmética pode ser realizada em computadores apenas através de somas (diretas ou em complemento)! Legal, mas para que serve isso? Por enquanto, ficamos por aqui. Mais adiante veremos como essas propriedades serão úteis para se projetar circuitos lógicos presentes em um processador. Exercícios
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