Aritmética Digital. Tiago Alves de Oliveira

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1 Aritmética Digital Tiago Alves de Oliveira

2 Introdução Os computadores e as calculadoras digitais realizam va rias operac o es aritme ticas com nu meros representados no formato bina rio. O tema da aritme tica digital pode ser muito complexo se desejarmos entender os diversos me todos de computac a o e a teoria que os envolve. Felizmente, esse ni vel de conhecimento na o e necessa rio a maioria dos te cnicos, pelo menos ate que se tornem experientes programadores de computadores.

3 Introdução A abordagem desse assunto esta concentrada nos princi pios ba sicos necessa rios para entender como as ma quinas digitais (computadores) realizam as operac o es aritme ticas ba sicas. Primeiramente, estudaremos como as va rias operac o es aritme ticas sobre nu meros bina rios sa o realizadas usando la pis e papel ; em seguida, abordaremos os circuitos lo gicos reais que efetuam essas operac o es em sistema digitais

4 Adição e Subtração Binária Vamos comec ar examinando as operac o es aritme ticas mais simples realizadas por sistemas digitais: adic a o de dois nu meros bina rios. e subtrac a o de dois nu meros bina rios.

5 Adição Binária A adic a o de dois nu meros bina rios e realizada da mesma maneira que a adic a o de nu meros decimais. Na realidade, e mais simples, visto que sa o poucos casos. Primeiro, vamos rever a adic a o decimal:

6 Adição Binária A operac a o sobre os di gitos na posic a o do di gito menos significativo (least-significant-digit LSD) e efetuada primeiro, produzindo uma soma igual a 7. Os di gitos da segunda posic a o sa o enta o somados, e o resultado e 13, gerando um carry (vai um) que vale 1, para a terceira posic a o. Isso produz uma soma igual a 8 na terceira posic a o.

7 Adição Binária Em geral, os mesmos passos sa o seguidos em uma adic a o bina ria. Entretanto, apenas quatro casos podem ocorrer na soma de dois di gitos bina rios (bits) em qualquer posic a o. Esses casos sa o:

8 Adição Binária Esse u ltimo caso ocorre quando dois bits de uma determinada posic a o esta o em ni vel 1 e ha um carry da posic a o anterior. Vejamos alguns exemplos de adic a o de dois nu meros bina rios (o decimal equivalente esta entre pare nteses):

9 Adição Binária Na o e necessa rio considerar a adic a o de mais de dois nu meros bina rios de uma vez, afinal, em todos os sistemas digitais o circuito que realiza a adic a o pode efetuar uma operac a o apenas com dois nu meros de cada vez. Quando mais de dois nu meros devem ser somados, adicionam-se os dois primeiros e o resultado e acrescentado ao terceiro nu mero, e assim por diante. Essa caracteri stica na o representa uma se ria desvantagem, visto que os computadores modernos podem realizar uma operac a o de adic a o em alguns nanossegundos

10 Adição Binária A adic a o e a operac a o aritme tica mais importante nos sistemas digitais. Como veremos, subtrac a o, multiplicac a o e divisa o, do modo como sa o realizadas na maioria dos modernos computadores e calculadoras, na realidade usam apenas a adic a o em suas operac o es ba sicas.

11 Subtração Binária Da mesma maneira, a subtrac a o bina ria e realizada como a subtrac a o de nu meros decimais. Existem apenas quatro situac o es possi veis para se lidar quando subtrair um bit de outro em qualquer posic a o de um nu mero bina rio. Elas sa o:

12 Aritmética Digital O u ltimo caso ilustra a necessidade de tomar emprestado da pro xima coluna para a esquerda quando subtrair 1 de 0. Aqui va o alguns exemplos da subtrac a o de dois nu meros bina rios (com equivalentes decimais entre pare nteses):

13 Exercícios 1. Efetue a soma dos seguintes pares de nu meros bina rios: a) b) 011, ,010 c) Efetue a subtrac a o dos seguintes pares de nu meros bina rios: a) b) c) 10101, ,0110

14 Representação de Nu meros com Sinal Nos computadores digitais, os nu meros bina rios sa o representados por um conjunto de dispositivos de armazenamento bina rio (ou seja, flip-flops). Cada dispositivo representa um bit. Por exemplo, um registrador de seis bits pode armazenar nu meros bina rios na faixa de a (de 0 a 63 em decimal). Isso representa a magnitude do nu mero. Como a maioria dos computadores e das calculadoras digitais efetua operac o es tanto com nu meros negativos quanto positivos, e necessa rio representar, de alguma maneira, o sinal do nu mero (+ ou ).

15 Representação de Nu meros com Sinal Isso e feito, em geral, acrescentando ao nu mero um outro bit denominado bit de sinal. Em geral, a convenc a o comum que tem sido adotada e que um 0 no bit de sinal representa um nu mero positivo e um 1 no bit de sinal representa um nu mero negativo. Isso esta ilustrado abaixo:

16 Representação de Nu meros com Sinal O registrador A conte m os bits O bit 0 na posic a o mais a esquerda (A 6 ) e o bit de sinal que representa + (positivo). Os outros seis bits sa o a magnitude do nu mero , que e igual a 52 em decimal. Assim, o nu mero armazenado no registrador A e +52. De modo similar, o nu mero armazenado no registrador B e -52, visto que o bit de sinal e 1, representando (negativo).

17 Representação de Nu meros com Sinal O bit de sinal e usado para indicar a natureza positiva ou negativa do nu mero bina rio armazenado. Os nu meros mostrados na figura anterior sa o constitui dos de um bit de sinal e seis bits de magnitude. Os bits de magnitude correspondem ao equivalente bina rio direto do valor decimal representado. Essa representac a o e denominada sistema sinalmagnitude para nu meros bina rios com sinal.

18 Representação de Nu meros com Sinal Embora o sistema sinal-magnitude seja uma representac a o direta, os computadores e as calculadoras normalmente na o o utilizam, porque a implementac a o do circuito e mais complexa que em outros sistemas. O sistema mais usado para representar nu meros bina rios com sinal e o sistema de complemento de 2. Antes de saber como ele e, temos de determinar os complementos de 1 e de 2 de um nu mero bina rio.

19 Forma de Complemento de 1 O complemento de 1 de um nu mero bina rio e obtido substituindo cada 0 por um 1 e cada 1 por um 0. Em outras palavras, substitui-se cada bit do nu mero bina rio por seu complemento. Esse processo e mostrado a seguir. Assim, dizemos que o complemento de 1 de e

20 Forma de Complemento de 2 O complemento de 2 de um nu mero bina rio e obtido tomando o complemento de 1 do nu mero e somando 1 na posic a o do bit menos significativo. Esse processo e ilustrado a seguir para = Assim, dizemos que e a representac a o em complemento de 2 de

21 Forma de Complemento de 2 Vejamos outro exemplo de conversa o de um nu mero bina rio em sua representac a o em complemento de 2.

22 Representação de nu meros com sinal usando complemento de 2 O sistema de complemento de 2 para representac a o de nu meros com sinal funciona da seguinte maneira: Se o nu mero for positivo, a magnitude e representada na forma bina ria direta, e um bit de sinal 0 e colocado em frente ao bit mais significativo (most significant bit MSB). Se o nu mero for negativo, a magnitude e representada na forma do complemento de 2, e um bit de sinal 1 e colocado em frente ao MSB.

23 Representação de nu meros com sinal usando complemento de 2 Nu mero positivo com complemento de 2. Nu mero negativo com complemento de 2.

24 Representação de nu meros com sinal usando complemento de 2 O sistema de complemento de 2 e usado para representar nu meros com sinal porque, conforme veremos, permite realizar a operac a o de subtrac a o efetuando, na verdade, uma adic a o. Isso e importante porque um computador digital pode usar o mesmo circuito tanto na adic a o quanto na subtrac a o, desse modo, poupando hardware.

25 Exercícios 1. Represente cada um dos seguintes nu meros decimais com sinal como um nu mero bina rio com sinal no sistema de complemento de 2. Use um total de 5 bits incluindo o bit de sinal. a) +13 b) 9 c) +3 d) 2 e) 8

26 Extensão de Sinal O exerci cio anterior exigiu que usa ssemos um total de cinco bits para representar os nu meros com sinal. O tamanho de um registrador (numero de flipflops) determina o nu mero de di gitos bina rios armazenados para cada nu mero. A maioria dos sistemas digitais atuais armazena nu meros em registradores medidos em mu ltiplos pares de quatro bits. Em outras palavras, os registradores de armazenamento sera o de 4, 8, 12, 16, 32 ou 64 bits.

27 Extensão de Sinal Em um sistema que armazena nu meros de oito bits, sete bits representam a magnitude, e o MSB, o sinal. Se precisamos armazenar um nu mero positivo de cinco bits em um registrador de oito bits, faz sentido simplesmente acrescentar zeros a frente. O MSB (bit do sinal) ainda e 0, indicando um valor positivo.

28 Extensão de Sinal O que acontece quando tentamos armazenar nu meros negativos em um registrador de oito bits? Anteriormente, descobrimos que a representac a o bina ria de cinco bits em complemento de 2 para 9 e 10111

29 Extensão de Sinal Se acrescentarmos zeros a frente, esse nu mero na o sera mais negativo em seu formato de oito bits. O modo correto de ampliar um nu mero negativo e acrescentar 1s a frente. Assim, o valor armazenado para 9 negativo e :

30 Negação Negação e a operac a o de conversa o de um nu mero positivo em seu equivalente negativo ou de um nu mero negativo em seu equivalente positivo. Quando os nu meros bina rios com sinal esta o representados no sistema de complemento de 2, a negac a o e obtida pela operac a o do complemento de 2. Para ilustrar, considere o nu mero +9 em formato de 8 bits. A representac a o com sinal de +9 e Se fizermos o complemento de 2 desse nu mero, obteremos , que representa 9.

31 Negação Da mesma maneira, podemos iniciar com a representac a o de 9, que e , e obter seu complemento de 2, que e , que reconhecemos como +9. Esses passos sa o mostrados a seguir:

32 Negação Assim, negamos um nu mero bina rio com sinal pela complementac a o de 2. A operac a o de negac a o altera o nu mero para seu equivalente de sinal oposto. Usamos a negac a o nos passos (d) e (e) do exerci cio anterior para converter nu meros positivos em seus equivalentes negativos.

33 Exercícios 1. Cada um dos seguintes nu meros e um nu mero bina rio com sinal de 5 bits no sistema do complemento de 2. Determine o valor decimal em cada caso: a) b) c)

34 Exercícios 1. Represente cada um dos seguintes valores em um nu mero com sinal usando oito bits no sistema de complemento de 2. a) +13 b) 7 c) Cada um dos seguintes nu meros bina rios e um nu mero com sinal no sistema de complemento de 2. Determine os respectivos nu meros decimais equivalentes Qual e a faixa de valores de nu meros decimais com sinal que pode ser representada com 12 bits (incluindo o bit de sinal)?

35 Exercícios 4. Quantos bits sa o necessa rios para representar valores decimais na faixa de 50 a +50? 5. Qual e o maior valor decimal negativo que pode ser representado por um nu mero de dois bytes? 6. Efetue a operac a o do complemento de 2 em cada um dos seguintes nu meros: a) b) c) Defina a operac a o de negac a o.

36 Adição no Sistema de Complemento de 2 Analisaremos agora como as operac o es de adic a o e subtrac a o sa o realizadas em ma quinas digitais que usam a representac a o em complemento de 2 para nu meros negativos. Nos diversos casos a serem considerados, e importante observar que sobre o bit de sinal de cada nu mero e realizada a mesma operac a o que e feita sobre os bits de magnitude.

37 Adição no Sistema de Complemento de 2 Caso I: Dois nu meros positivos. A adic a o de dois nu meros positivos e feita diretamente. Considere a adic a o de +9 com +4:

38 Adição no Sistema de Complemento de 2 Caso II: Um nu mero positivo e outro menor e negativo. Considere a adic a o de +9 com 4. Lembre-se de que 4 sera representado na forma do complemento de 2. Assim, +4 (00100) tem de ser convertido para 4 (11100). Nesse caso, o bit de sinal da segunda parcela e 1. Observe que ele tambe m participa do processo de soma. Na verdade, um carry e gerado na u ltima posic a o da soma. Esse carry sempre e desconsiderado; logo, a soma final e 00101, equivalente a +5.

39 Adição no Sistema de Complemento de 2 Caso III: Um nu mero positivo e outro maior e negativo. Considere a adic a o de 9 com +4: Aqui, a soma tem um bit de sinal 1, indicando um nu mero negativo. Como a soma e negativa, esta na forma do complemento de 2; logo, os u ltimos quatro bits, 1011, de fato representam o complemento de 2 da soma. Para obter a magnitude direta da soma, temos de fazer a negac a o (complemento de 2) de 11011; o resultado e = +5. Assim, representa 5.

40 Adição no Sistema de Complemento de 2 Caso IV: Dois nu meros negativos: O resultado final e novamente negativo e esta na forma do complemento de 2 com um bit de sinal 1. Efetuando a negac a o (complemento de 2), temos como resultado = +13.

41 Adição no Sistema de Complemento de 2 Caso V: Nu meros iguais e de sinais opostos: Obviamente, o resultado e +0, conforme o esperado.

42 Adição no Sistema de Complemento de 2 Considere o sistema de complemento de 2 para as duas questo es. 1. Verdadeiro ou falso: sempre que a soma de dois nu meros bina rios com sinal tiver um bit de sinal 1, a magnitude da soma estara na forma do complemento de Efetue a soma dos seguintes pares de nu meros com sinal. Expresse a soma como nu mero bina rio com sinal e como nu mero decimal. a) b)

43 Subtração no Sistema de Complemento de 2 A operac a o de subtrac a o que usa o sistema de complemento de 2 na verdade envolve a operac a o de soma e na o e diferente dos diversos casos de adic a o. Ao efetuar a subtrac a o de um nu mero bina rio (subtraendo) de outro bina rio (minuendo), use os seguintes procedimentos: 1. Fac a a operac a o de negac a o do subtraendo. Isso mudara o subtraendo para o valor equivalente com sinal oposto. Adicione 2. esse nu mero obtido ao minuendo. O resultado dessa adic a o representa a diferenc a entre o subtraendo e o minuendo.

44 Subtração no Sistema de Complemento de 2 Mais uma vez, como em todas as operac o es aritme ticas em complemento de 2, e necessa rio que os dois nu meros tenham o mesmo nu mero de bits em suas representac o es. Vamos considerar o caso em que +4 e subtrai do de +9. minuendo (+9) subtraendo (+4) 00100

45 Subtração no Sistema de Complemento de 2 Fac a a negac a o do subtraendo para obter 11100, que representa 4. Agora some esse nu mero ao minuendo. Quando o subtraendo e representado em complemento de 2, na verdade torna-se igual a 4. Assim, estamos somando 4 com +9, que e o mesmo que subtrair +4 de +9.

46 Subtração no Sistema de Complemento de 2 Essa e a mesma situac a o representada no caso II anterior. Qualquer operac a o de subtrac a o torna-se, na realidade, de adic a o quando utilizamos o sistema de complemento de 2. Essa caracteri stica do sistema de complemento de 2 fez dele um dos sistemas mais utilizados entre os me todos disponi veis, uma vez que permite que a adic a o e a subtrac a o possam ser realizadas pelo mesmo circuito.

47 Subtração no Sistema de Complemento de 2 Vejamos outro exemplo que mostra +9 sendo subtrai do de 4: Ao fazer a operac a o de negac a o do subtraendo (+9), obtemos ( 9), que somamos ao minuendo ( 4).

48 Overflow aritmético Em cada um dos exemplos anteriores de adic a o e subtrac a o, os nu meros sa o constitui dos de um bit de sinal e quatro de magnitude. As respostas tambe m consistem de um bit de sinal e quatro de magnitude. Qualquer carry na posic a o do sexto bit foi desconsiderado. Em todos esses casos, a magnitude da resposta era suficientemente pequena para ser representada com quatro bits.

49 Overflow Aritmético Vamos analisar a adic a o de + 9 com +8. A resposta tem um bit de sinal que indica resultado negativo, que, obviamente, e incorreto, visto que somamos dois nu meros positivos. A resposta deveria ser +17, mas a magnitude 17 requer mais de quatro bits e, portanto, ocorreu um overflow (transbordamento) na posic a o do bit de sinal.

50 Overflow Aritmético Essa condic a o de overflow ocorre apenas quando dois nu meros positivos ou dois negativos sa o somados, e isso sempre produz resultado errado. O overflow pode ser detectado verificando se o bit de sinal do resultado tem o mesmo valor dos bits de sinal dos nu meros que esta o sendo somados. Um computador tem um circuito especial para detectar qualquer condic a o de overflow quando dois nu meros sa o so- mados ou subtrai dos. Esse circuito de detecc a o enviara um sinal para a unidade de controle do computador, informando que ocorreu overflow e o resultado esta incorreto.

51 Círculos de nu meros e aritmética binária O conceito de aritme tica com sinal e overflow pode ser utilizando usando o ci rculo abaixo:

52 Círculos de nu meros e aritmética binária Observe que ha duas maneiras de olhar para esse ci rculo. Ele pode ser pensado como um ci rculo de nu meros sem sinal (como mostra o anel externo), com valor mi nimo de 0 e ma ximo de 15 ou como nu meros com sinal na forma de complemento de 2 (como mostra o anel interno), com valor ma ximo de 7 e mi nimo de 8. Para somar usando um ci rculo de nu meros, deve-se comec ar no valor da primeira parcela e avanc ar o nu mero de casas indicado na segunda ao redor do ci rculo no sentido hora rio.

53 Círculos de nu meros e aritmética binária Por exemplo, para somar 2 + 3, comece no 2 (0010) e avance treŝ casas no sentido hora rio, chegando ao 5 (0101). O overflow ocorre quando a soma e grande demais para caber em um formato de quatro bits com sinal, ou seja, quando excedemos o valor ma ximo de 7. No ci rculo de nu meros, isso e indicado quando, ao somar dois valores positivos, ultrapassamos a linha entre 0111 (ma ximo positivo) e 1000 (ma ximo negativo).

54 Círculos de nu meros e aritmética binária O ci rculo de nu meros tambe m pode ilustrar como funciona a subtrac a o na forma de complemento de 2. Vamos, como exemplo, subtrair 5 de 3. Sabemos que a resposta e 2, claro, mas vamos resolver o problema por meio do ci rculo de nu meros. Comec amos no nu mero 3 (0011) do ci rculo. O modo mais claro de subtrair e nos deslocarmos cinco casas no sentido anti-hora rio, o que nos leva ao nu mero 1110 ( 2).

55 Círculos de nu meros e aritmética binária A operac a o menos o bvia que ilustra a aritme tica do complemento de 2 e somar 5 ao nu mero 3. Cinco negativo (o complemento de 2 de 0101) e 1011, que, interpretado como nu mero bina rio sem sinal, representa o valor 11 (onze) em decimal. Comece no nu mero 3 (0011) e avance 11 casas no sentido hora rio e voce chegara novamente ao nu mero 1110 ( 2), que e o resultado correto.

56 Exercícios 1. Efetue a subtrac a o nos seguintes pares de nu meros com sinal usando o sistema de complemento de 2. Expresse os resultados como nu meros bina rios com sinal e como valores decimais. a) b) Como 2. o overflow aritme tico pode ser detectado quando nu meros com sinal sa o somados? E quando sa o subtrai dos?

57 Multiplicação de Nu meros Binários A multiplicac a o de nu meros bina rios e feita da mesma maneira que a de nu meros decimais. Na realidade, o processo e mais simples, visto que os di gitos multiplicadores podem ser 0 ou 1; assim, estaremos sempre multiplicando por 0 ou por 1 e por nenhum outro di gito.

58 Multiplicação de Nu meros Binários O exemplo a seguir ilustra essa operac a o para nu meros bina rios na o sinalizados:

59 Multiplicação de Nu meros Binários Nesse exemplo, o multiplicando e o multiplicador esta o no formato bina rio direto e na o sa o usados bits de sinal. Os passos seguidos no processo sa o exatamente os mesmos seguidos na multiplicac a o decimal. Primeiro, o LSB do multiplicador e analisado; no nosso exemplo, ele e 1. Esse 1 multiplica o multiplicando, gerando 1001, que e escrito logo abaixo como o primeiro produto parcial.

60 Multiplicação de Nu meros Binários Em seguida, o segundo bit do multiplicador e analisado. Esse bit e 1; logo, 1001 e escrito como o segundo produto parcial. Observe que esse segundo produto parcial esta deslocado uma posic a o a esquerda em relac a o ao primeiro produto. O terceiro bit do multiplicador e 0, sendo 0000 escrito como o terceiro produto parcial; observe novamente que esse produto esta deslocado uma posic a o em relac a o ao produto parcial anterior.

61 Multiplicação de Nu meros Binários O quarto bit multiplicador e 1; portanto, o u ltimo produto parcial, 1001, e escrito, novamente, deslocado uma posic a o a esquerda. Enta o, os quatro produtos parciais sa o somados para gerar o produto final. A maioria das ma quinas digitais pode somar apenas dois nu meros bina rios de cada vez. Por isso, os produtos parciais obtidos durante a multiplicac a o na o podem ser somados ao mesmo tempo. Em vez disso, sa o somados dois de cada vez; ou seja, o primeiro e somado ao segundo, o resultado e somado ao terceiro, e assim por diante.

62 Multiplicação de Nu meros Binários Esse processo esta ilustrado a seguir para o exemplo anterior:

63 Multiplicação no sistema de complemento de 2 Nos computadores que usam a representac a o em complemento de 2, a multiplicac a o e realizada da forma descrita anteriormente, desde que o multiplicando e o multiplicador sejam inseridos no formato bina rio direto. Se os dois nu meros a serem multiplicados forem positivos, eles ja estara o no formato bina rio direto e podera o ser multiplicados. Naturalmente, o resultado do produto e positivo, tendo um bit de sinal 0.

64 Multiplicação no sistema de complemento de 2 Quando os dois nu meros forem negativos, eles devera o estar na forma do complemento de 2. Obte m-se o complemento de 2 de cada um para converte -los em nu meros positivos e, em seguida, os dois nu meros sa o multiplicados. O produto e mantido como nu mero positivo e o bit de sinal e igual a 0. Quando um nu mero for positivo e o outro, negativo, o negativo sera primeiro convertido em uma magnitude positiva por meio do complemento de 2. O produto tera um formato com magnitude direta. Entretanto, o produto tem de ser negativo, visto que os nu meros originais sa o de sinais opostos. Assim, o complemento de 2 e aplicado ao produto, e o bit de sinal deve ser 1.

65 Exercícios Multiplique os nu meros sem sinal 0111 e Multiplique os nu meros sem sinal 1011 e 0101

66 Divisão Binária O processo para dividir um nu mero bina rio (dividendo) por outro (divisor) e o mesmo seguido para nu meros decimais, ao qual normalmente nos referimos como divisa o longa. De fato, esse processo e mais simples com nu meros bina rios, pois quando verificamos quantas vezes o divisor cabe dentro do dividendo, existem apenas duas possibilidades, 0 ou 1.

67 Divisão Binária Para ilustrar, considere os exemplos simples de divisa o a seguir: No primeiro exemplo, temos dividido por 11 2, que equivale a 9 3 em decimal. O resultado, ou quociente, e = No segundo exemplo, e dividido por 100 2, ou 10 4 em decimal. O resultado e 0010,1 2 = 2,5 10.

68 Divisão Binária Na maioria das ma quinas digitais modernas, as subtrac o es que sa o parte da operac a o de divisa o sa o normalmente realizadas usando o complemento de 2, ou seja, tomando-se o complemento de 2 do subtraendo para depois adiciona -lo. A divisa o de nu meros com sinal e realizada da mesma forma que a multiplicac a o. Nu meros negativos sa o transformados em positivos pela operac a o de complemento de 2, para que a divisa o seja executada posteriormente.

69 Divisão Binária Se o dividendo e o divisor tiverem sinais opostos, o quociente sera transformado em um nu mero negativo por meio do complemento de 2, e o bit de sinal, colocado em 1. Se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal, o quociente sera mantido positivo, e o bit de sinal, colocado em 0.

70 Aritmética Hexadecimal Nu meros em hexadecimal sa o usados extensivamente na programac a o em linguagem de ma quina e na especificac a o de enderec os de memo ria nos computadores. Quando se trabalha nessas a reas, encontram-se situac o es em que os nu meros hexa te m de ser somados ou subtrai dos.

71 Adição hexadecimal A adic a o hexadecimal de nu meros e realizada basicamente da mesma maneira que a adic a o decimal, desde que voce se lembre de que o maior di gito hexa e F em vez de 9. E aconselha vel seguir estes procedimentos: 1. Some os dois di gitos hexa em decimal, inserindo mentalmente o equivalente decimal para os di gitos maiores que Se a soma for menor ou igual a 15, o resultado dela pode ser expresso como um di gito hexa. 3. Se a soma for maior ou igual a 16, subtraia 16 e transporte um carry 1 para a posic a o do pro ximo di gito.

72 Adição hexadecimal Os exemplos a seguir ilustram esses procedimentos. Some os nu meros hexa 58 e 24. A soma dos LSDs (8 e 4) tem resultado 12, que corresponde a C em hexa. Nesse caso, na o ha carry para o di gito da pro xima posic a o. Ao somar 5 e 2, gera-se o resultado 7.

73 Adição Binária Some os nu meros hexa 58 e 4B. Comece somando 8 e B, substituindo mentalmente o decimal 11 por B. Isso gera soma igual a 19. Visto que 19 e maior que 16, obtenha 3 (por subtrac a o); escreva o di gito 3 logo abaixo dos di gitos somados e transporte um carry 1 para a pro xima posic a o. Esse carry e somado ao 5 e ao 4, gerando resultado 10 10, que e enta o convertido no hexadecimal A.

74 Adição Binária Some 3AF com 23C. A soma de F com C e considerada como = Visto que essa soma e maior que 16, subtraia 16 para obter 1110, que corresponde ao hexadecimal B, e transporte um carry 1 para a segunda posic a o. Some esse carry aos di gitos A e 3 para obter E. Nesse caso, na o ha carry para a posic a o MSD.

75 Subtração Hexadecimal Lembre-se de que os nu meros hexadecimais sa o apenas uma maneira eficiente de representar nu meros bina rios. Assim, podemos subtrair nu meros hexa utilizando o mesmo me todo usado para nu meros bina rios. O complemento de 2 do subtraendo em hexa deve ser efetuado e, enta o, somado ao minuendo; qualquer carry na posic a o MSD deve ser desconsiderado.

76 Subtração Hexadecimal Como obter o complemento de 2 de um nu mero hexadecimal? Uma vez convertido em bina rio, efetue a operac a o do complemento de 2 do bina rio equivalente e, enta o, converta-o de volta em hexa. O processo e ilustrado a seguir:

77 Subtração Binária Existe um procedimento mais ra pido: subtraia cada di gito hexa de F; em seguida, some 1. Vamos experimentar esse procedimento para os exemplos anteriores.

78 Subtração Binária Subtraia 3A5 16 de Primeiro, converta o subtraendo (3A5) para sua forma em complemento de 2, usando um dos me todos apresentados. O resultado e C5B. Em seguida, some esse resultado ao minuendo (592): Ignorando o carry gerado na adic a o dos MSDs, o resultado e 1ED. Podemos provar que esse resultado esta correto somando 1ED com 3A5 e verificando que e igual a

79 Exercícios 1. Efetue a soma 67F + 2A4. 2. Efetue a subtrac a o 67F 2A4. Quais 3. dos seguintes nu meros hexa representam valores positivos: 2F, 77EC, C000, 6D, FFFF?