Noções sobre Erros em Matemática Computacional

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1 Noções sobre Erros em Matemática Computacional

2 Sumário Representação de Números em Ponto Flutuante Erros em Expressões Definições Úteis

3 Ponto Flutuante em Computadores

4 Representação de Números em Ponto Flutuante Um sistema de representação de números em ponto flutuante é definido por: β : base t : número de dígitos da mantissa e: expoente. Onde e [ l, u] e [ 5,5] Seja β=10, t=3 e, quais o maior e o menor números representáveis nesse sistema?

5 Representação em Ponto Flutuante O menor número, em valor absoluto, representável é: m = E o maior número é: 0,1*10 5 = M = 0,999*10 5 = Considerando o conjunto G abaixo e os números reais são possíveis três situações G = { x R m x M}

6 Situações Possíveis Seja β=2, t=5 e e [ 5,5] x > M : Impossibilidade de representação. Número grande demais. overflow. Ex. 0,100*2 9 x G Número de dígitos t: representação ok. Ex. 0,110* 2 2 Número de dígitos > t: truncagem ou arredondamento Ex. 0, *2 4 x < m : Impossibilidade representação. Número pequeno demais. underflow

7 Introdução ao Estudo do Erros Define-se como erro absoluto a diferença entre o valor exato (x) e o valor aproximado: EA x = x x Geralmente x não é conhecido, apenas um limite superior e inferior (l,u). Se o valor pertencer ao mesmo intervalo então: EA < l u

8 Erro Relativo O erro absoluto não leva em consideração a ordem de grandeza do valor x. Para solucionar tal problema utiliza-se o Erro relativo. Define-se como erro relativo (ER x ) como: ER x = x x x

9 Erros no Arredondamento e Truncamento Considerando um sistema de ponto flutuante com t dígitos, na base 10, podemos escrever x como: x = * 10 e f x *10 + g x onde 0,1 f x <1 e 0 g x <1 e t A parcela g x não pode ser incorporada a mantissa. Então quais as opções? Qual o erro gerado por cada opção?

10 Erro Absoluto e Relativo em Truncamento No truncamento, g x * 10 e-t é desprezado, e logo: x = * 10 Temos: f x

11 Erro Absoluto e Relativo no Arredondamento Simétrico Arredondamento Simétrico: Em qualquer caso, pode-se demonstrar que:

12 Sumário Representação de Números em Ponto Flutuante e Erros Erros em Expressões Definições Úteis

13 Análise de Erros em Operações Erro em operações podem ser gerado por erros nas parcelas e erros no armazenamento do resultado. Exemplo de erro no resultado (t=4 e base 10):

14 Análise de Erros em Operações 2 Exemplo 2: Obter x*y Truncamento: Arredondamento:

15 Análise de Erros em Operações 3 Desconsiderando erros de representação nas parcelas, os erros relativos ficam limitados a: Considerando erro na representação de ambas as parcelas x e y, temos:

16 Análise de Erros em Operações 4 O erro absoluto na soma é dado por: Erro relativo na soma:

17 Análise de Erros em Operações 5 Subtração (análogo a soma):

18 Análise de Erros em Operações 6 Multiplicação Em geral, EA x e EA y serão bem menores que x e y, respectivamente. Então:

19 Análise de Erros em Operações 7 No caso da divisão, pode-se demonstrar que:

20 Análise de Erros em Expressões Suponha x,y,z e t representados de forma exata, qual o erro relativo na expressão u= (x+y)z-t. Suponha ainda o uso de arredondamento nos resultados Seja s=(x+y) e RA o erro de arredondamento, então: Seja m= s*z, Logo:

21 Análise de Erros em Expressões 2 Calculando u=m-t, temos: Então: Logo:

22 Cancelamento Subtrativo Número próximos em subtrações podem levar a limites elevados para erros relativos

23 Cancelamento Subtrativo Dados x e y, se z=x-y, então: Se x e y foram arredondados: Se x e y forem próximos, por exemplo: Então:

24 Sumário Representação de Números em Ponto Flutuante Erros em Expressões Definições Úteis

25 Precisão da Máquina Chama-se de precisão da máquina (ou epsilon da máquina) o menor número positivo(ε) tal que (1+ε)>1. Tal número depende de: base numérica, dígitos na mantissa e compilador utilizado. Como calcular?

26 Precisão da Máquina 2 É possível calcular (ε) utilizando o algoritmo: Passo 1: a=1 Passo 2: Enquanto (1+a) >1 faça a= a/2 Passo 3: Faça epsilon=2*a e imprima epsilon

27 Dígitos significativos Em um sistema de numeração, um dígito é significativo se: for diferente de zero caso seja zero, se não for usado para fixar a vírgula ou preencher o lugar de dígitos descartados Exemplos de dígitos significativos (no sistema decimal): 0,008735: 8, 7, 3 e : todos 23000: 2 e 3

28 Dígito Significativo Exato Um dígito significativo é exato se arredondando-se o número para uma posição imediatamente após a posição do dígito, isso fizer com que o erro absoluto não seja maior que a meia unidade na posição do dígito. Exemplos:

29 Dígito Significativo Exato - 2 Exemplo: x = 2/3 e p/ 1º. Digito 6 0,66 0, = 0, < 0,05 p/ 2º. Digito 6 0,666 0, = 0, < 0,005 = 5*10-3 p/ 3º. Digito 6 x = 0, ,6666 0, = 0, < 0,0005 = 5 *10-4 p/ 4º. Digito 6 0, , = 0, < 0,00005 = 5 * 10-5 p/ Digito 7 0, , = 0, < 0, = 5 * 10-6 Todos são dígitos significativos exatos

30 Dígito Significativo Exato - 3 Exemplo 2: Exemplo: x = 2/3 e p/ 1º. Digito 6 0,66 0, = 0, < 0,05 p/ 2º. Digito 6 x = 0, ,666 0, = 0, < 0,005 p/ 3º. Digito 6 0,6669 0, = 0, < 0,0005 p/ Digito 9 0, , = 0, > 0,00005 (dígito 9 inexato!)

31 Condicionamento e Estabilidade Numérica Condicionamento: relaciona-se a sensibilidade aos erros nos dados de entrada Um problema é bem condicionado, se pequenos erros nos dados de entrada produzem pequenos erros nos resultados. Um problema é mal condicionado se os erros nos resultados são grandes apesar dos dados de entrada terem pequenos erros de entrada Estabilidade Numérica: Um algoritmo é instável numericamente se pequenos erros em dados intermediários levam a grandes erros nos resultados. Logo, se um problema é mal condicionado qualquer algoritmo será instável para ele

32 Métricas de condicionamento Há métricas para o condicionamento de sistemas de equações, baseadas em normas de vetores e matrizes (vide Cláudio & Marins) No entanto, estes cálculos podem ser complexos e não evitam o problema...por isso, não iremos detalha-lhos maiores informações podem ser obtidas em (Cláudio & Marins) e (Chapra &Canale) Em sistemas lineares, mostraremos técnicas para minimizar problemas de condicionamento Algoritmos geralmente ficam instáveis ao calcular valores intermediários muito grandes (próximos a M) ou muito pequenos (próximos a m)