Números binários e erros

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1 Números binários e erros Alan Costa de Souza 14 de Agosto de 2017 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

2 Introdução Calcular a área de uma circunferência de 100 m de raio. resposta 1: A=31400 resposta 2: A=31416 resposta 3: A=31415,92654 Resposta depende da aproximação de π resposta 1: π=3,14 resposta 2: π=3,1416 resposta 3: π=3, Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

3 Introdução π possui infinitos dígitos. Computador apenas representa números com representação finita. Qualquer cálculo com π é aproximado. Quanto mais dígitos maior a precisão. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

4 Exemplo 2 S = i=1 0, 1 = (1) Nem todo número com precisão finita na base 10 tem representação finita no computador. Resultado é convertido da base 10 para a base binária. Cálculos são realizados na base binária. Resultados são convertidos para decimal antes de ser exibido para o usuário. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

5 Exemplo 3 a=1.0 i=0 while(a>0): a=a/2 print a i=i+1 print i,a Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

6 Conversão de Números Inteiros entre o sistema decimal e o sistema binário (347) 10 = (10111) 2 = (10111) 2 = = (23) 10 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

7 Conversão de Números Inteiros entre o sistema decimal e o sistema binário (10111) 2 1 1*2+0=2 2*2+1=5 5*2+1=11 11*2+1=23 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

8 Conversão de Números Inteiros entre o sistema decimal e o sistema binário (347) = = = = = = = = = quociente 0, pare (347) 10 = ( ) 2 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

9 Conversão de Números Reais entre o sistema decimal e o sistema binário (0, 125) 10 = (0, 125) 10 = d d d d k 2 k 0, = 0, 25 = d 1 + d d d k 2 k+1 d 1 = 0 0, 25 2 = 0, 5 = d 2 + d d k 2 k+2 d 2 = 0 0, 5 2 = 1, 0 = d d k 2 k+3 d 3 = = 0 = d d k 2 k+4 d 4 = 0 (0, 125) 10 = = (0, 001) 2 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

10 Conversão de Números Reais entre o sistema decimal e o sistema binário (0, 1) 10 0, 1 2 = 0, 2 d 1 = 0, r 1 = 0, 2 0, 2 2 = 0, 4 d 2 = 0, r 2 = 0, 4 0, 4 2 = 0, 8 d 3 = 0, r 3 = 0, 8 0, 8 2 = 1, 6 d 4 = 1, r 4 = 0, 6 0, 6 2 = 1, 2 d 5 = 1, r 5 = r 1 = 0, 2 (0, 1) 10 = (0, ) 2 = (0, 00011) 2 representação decimal finita com representação binária infinita. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

11 Conversão de Números Reais entre o sistema decimal e o sistema binário Computador armazena apenas 5 dígitos (0, 1) 10 = (0, 00011) 2 = ( ) 10 (0, 1) 10 + (0, 1) 10 = (0.1875) 10 (0.2) 10 S = i=1 0, 1 = (2) Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

12 Conversão de Números Reais entre o sistema decimal e o sistema binário (0, ) 2 = (0, ) 2 = = ( ) 10 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

13 Aritmética de Números Binários número binário inteiro: d 1 d 2...d n Soma: = = = = 10 Exemplo: Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

14 Aritmética de Números Binários Diferença: 0-0 = = emprestado 1-0 = = 0 Exemplo: Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

15 Exemplo 2: 1,000-0, (0, 111) 2 = = (0, 875) 10 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

16 Multiplicação: 0 0 = = = = 1 Exemplo: Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

17 Arredondamento de números binários e decimais. 23, ,457 45, ,651 67, ,190 1, ,101 1, ,110 1, ,100 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

18 Normalização 4231, 189 0, , , , , , , Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

19 Representação nos computadores atuais Em 1985, a IEEE (Institute for Electrical and Electronic Engineers) publicou um relatório chamado Binary Floating Point Arithmetic Standard Padrões para representação de números ponto flutuantes decimais e binários. single: 32 bits, double: 64 bits. números reais caracterizados por três elementos: bit de sinal, expoente e mantissa. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

20 Computador hipotético 8 bits 1 bit sinal 3 bits expoente expoentes poderiam variar de 0 a 7. 0 e 7 são reservados expoentes variam de fato entre 1 e 6 fator de correção do expoente = 2 n 1 1 número nesse caso é 3. 4 bits mantissa Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

21 Computador hipotético - números especiais c=0, mantissa =0, representa o zero c=0, mantissa 0, representa números menores ( 1) s 2 2 (0 + f ) (3) c=7, sinal=0, mantissa = 0, representa o. c=7, sinal=1, mantissa = 0, representa o. c=7, sinal=1, mantissa 1000, representa indeterminado. c=7, e demais combinações representam NAN. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

22 Computador hipotético ( 1) s 2 c 3 (1 + f ) (4) número máximo positivo: c=6, mantissa ( ) = 15, ( ) = 124 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

23 Computador hipotético número mínimo positivo normalizado: c=1, mantissa (1 + 0) = 0, (1 + 0) = 2 Com a subtração no expoente: 0, 25 x 15, 5 Sem a subtração no expoente: 2 x 124 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

24 Computador hipotético número mínimo positivo não normalizado (0, 0001) = 2 6 = 0, número máximo positivo não normalizado (0, 1111) = 2 2 (1 2 4 ) = = 0, Ambos menores que 0,25. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

25 Computador hipotético = = 5, = 6,25 (6, 125) 10 = 110,001 = 1, , = 6, 25 (5, 875) 10 = 101,111 = 1, , = 6 5, 875 x < 6, 25. Toda representação de um número na máquina representa um intervalo de números reais. Possível fonte de erros. S = i=1 0, 1 = (5) Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

26 Representação nos computadores atuais 64 bits 1 bit sinal 11 bits expoente expoentes poderiam variar de 0 a e 2047 são reservados expoentes variam de fato entre 1 e 2046 fator de correção do expoente = 2 n 1 1 número nesse caso é bits mantissa ( 1) s 2 c 1023 (1 + f ) (6) {0} 40 1 = Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

27 Representação nos computadores atuais. c=0, mantissa =0, representa o zero c=0, mantissa 0, representa números menores c=2047, sinal=0, mantissa = 0, representa o. ( 1) s (0 + f ) (7) c=2047, sinal=1, mantissa = 0, representa o. c=2047, sinal=1, mantissa 1{0} 51 n=1, representa indeterminado. c=2047, e demais combinações representam NAN. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

28 Representação nos computadores atuais. número máximo positivo normalizado: c=2046, mantissa {1} 52 n= ( ) número mínimo positivo normalizado: c=1, mantissa (1 + 0) números abaixo do mínimo: arrendondados para zero. Exemplo 3 inicial. números acima do máximo: programa termina. Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

29 Representação nos computadores atuais. Exemplo: [ , ) Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

30 Erros Erros vem da representação finita de números reais na máquina. estudar esses erros vamos usar a notação decimal normalizada: 0, d 1 d 2...d k 10 n Número decimal qualquer 1 d d i 9 y = 0, d 1 d 2...d k d k+1 d k+2 10 n forma em ponto flutuante com truncamento: fl(y) = 0, d 1 d 2...d k 10 n forma em ponto flutuante com arredondamento: fl(y) = 0, δ 1 δ 2...δ k 10 n Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

31 Exemplo. Número real Número real normalizado π = 3, y = 0, Forma em ponto flutuante com truncamento de 5 dígitos fl(y) = 0, Forma em ponto flutuante com arredondamento de 5 dígitos fl(y) = 0, Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

32 Erro absoluto e relativo Seja p uma aproximação de p. Erro absoluto: Erro relativo: EA = p p ER = p p p Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

33 Exemplos. p p EA ER ,1 0,1 0, ,1 0,1 0,1 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

34 Aritmética de dígitos finitos x = 5 7 y = 1 3 x = 0, y = 0, 3 fl(x) = 0, fl(y) = 0, x y = fl(fl(x) + fl(y)) = fl(0, , ) = fl(1, ) = fl(0, ) = 0, Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

35 x y = 0, x + y = EA = 22 0, = 0, ER = 0, = 0, Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

36 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

37 Subtração de números próximos. x = 0, u = 0, fl(x) = 0, fl(u) = 0, x y = fl(fl(x) fl(y)) = fl(0, , ) = fl(0, ) = fl(0, ) = 0, Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

38 x u = 0, x u = 5 0, = EA = , = 0, ER = 0, , 136 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

39 Adição de números com ordens de grandeza muito diferentes. u = 0, v = 98765, 9 u = 0, v = 0, fl(u) = 0, fl(v) = 0, u v = fl(fl(u) + fl(v)) = fl(0, , ) = fl(0, , ) = fl(0, ) = 0, Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

40 u v = 0, u + v = 98766, = 0, EA = 0, , = 0, ER = 0, , , Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

41 Diminuindo os erros na aritmética de ponto flutuante. Exemplo: x 1 = b + b 2 4ac 2a ax 2 + bx + c = 0 x , 10x + 1 = 0 x 2 = b b 2 4ac 2a x 1 = x 2 = 62, (8) Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

42 Diminuindo os erros na aritmética de ponto flutuante. Suponha uma máquina de 4 dígitos de precisão. b2 4ac = (62, 10) 2 (4, 000)(1, 000)(1, 000) = 62, 06 x 1 = Erro relativo 2, x 2 = Erro relativo 3, , , 06 2, , 10 62, 06 2, 000 = 0, 0200 = 62, 10 Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1

43 Diminuindo os erros na aritmética de ponto flutuante. x 1 = b + b 2 4ac 2a Erro relativo 6, ( b ) b 2 4ac b 2c = b 2 4ac b + b 2 4ac x 1 0, 0161 TOME CUIDADO ANTES DE COMPUTAR Alan Costa de Souza Números binários e erros 14 de Agosto de / 1