Números Binários. Apêndice A V1.0

Transcrição

1 Números Binários Apêndice A V1.0

2 Roteiro Histórico Números de Precisão Finita Números Raiz ou Base Conversão de Base Números Binários Negativos Questões

3 Histórico As maquinas do século XIX eram decimais Alguns dos primeiros computadores também Charles Boole publicou em 1854 os principios da lógica que ficou conhecida como lógica booleana. Variáveis assumem valores Verdadeiro ou Falso (0 ou 1) Sistema Binário Representação decimal em computadores eletrônicos era cara e complicada.

4 Números de Precisão Finita A quantidade de digitos decimais que podem ser representados estão limitados pelo projeto do computador. Ex: Arquitetura IA32 Inteiros sem sinal: 0 até (4GiB) Ex: Arquitetura IA64 (x86_64) Inteiros s/ sinal: 0 até (16EiB)

5 Números de Precisão Finita x 10¹⁸ dá para representar qualquer coisa? Ex: 1 ano Luz: 9,46 X 10¹ ⁵ m (ok) Existem 602 X 10²¹ moléculas de NaCl em 54g de Sal Já não dá OBS.: É possível compor duas células para representar números grandes: Mas o trabalho é do programador.

6 Números Raiz ou Base Sistema de Notação Posicional O valor do digito é dado pela posição Todos os sistemas usam o mesmo esquema: Menos significativo Digito elevado a 0 ou seja 1 Mais Significativo: Digito elevado a N Se a Base for B o valor dos digitos vai de 0 até B-1 B Digitos Ex: Sistema Decimal: (0-9, 10 Digitos) 10 n 10 n-1 10² 10¹ 10⁰

7 Números Raiz ou Base Ex: Hexadecimal (Base 16) Digito de 0 até F (onde F vale 15 unidades) 16 Digitos Ex: 10Ah ou 0x10A (Notação para número em Hexa) 16² 16¹ 16⁰ 1 0 A Decimais Equivalentes? Ex: Octal (Base 8) Digitos de 0 até 7 (8 Digitos) 8² 8¹ 8⁰ Ex: 101 8

8 Números Raiz ou Base Ex: Binário (Base 2) Digitos 0 e 1 2 Digitos Ex: 101 2² 2¹ 2⁰ 1 0 1

9 Conversão para a Base Binária Método Matemático Divide-se pela base guardando-se todos os restos gerados e ultimo quociente possível (0 ou 1). Esse quociente será o digito mais significativo Ex: ⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ 2⁵ ⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

10 Conversão Binário para Decimal Método Matemático O Digito Binário é chamado de BIT 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰ ⁵ ⁴ ³ ² ¹ ⁰ = 54 A IBM Convencionou chamar 8 Bits de um Byte Um byte já foi 6 e 7 bits!

11 Questões Comuns em relação a Bits e Bytes Quantos necessitam para representar 125? E 16ki? Quantas combinações cabem em 7 bits E em 12 Bits? Respostas 2⁰-1< 125, 2¹-1 < 125,..., 2⁶-1 < 125, 2⁷-1 > 125 1Ki = 2¹ ⁰ -> 16Ki = 16. 2¹ ⁰ = 2 ⁴.2¹ ⁰ = 2¹ ⁴ 1Ki. 1Ki = 1Mi = 2² ⁰ : 1Mi.1Ki = 1Gi = 2³ ⁰ 7 Bits: 2 ⁷ (128) combinações (0 até 2 ⁷ 1) 12 bits: 2². 2¹ ⁰ ou 4ki combinações 7 Bits 14 bits

12 Conversão Octal e Hexa para Binário Observe 1 Digito Hexa vai de 0 a F (15 10 ) 16 Combinações 1 Digito Octal vai de 0 a 7: 8 Combinações Sendo assim: 1 digito Hexa pode ser representado por 4 bits 1 digito Octal pode ser representado por 3 bits Ex 0x4A = = A (10)

13 Representação de Números Negativos 4 formas foram usadas ao longo da história Magnitude com sinal Complemento de 1 Complemento de 2 Excesso de 2 m-1

14 Representação de Números Negativos Magnitude com sinal O bit da extrema esquerda representa o sinal. 0 = + e 1 = - Ex: = -2 2 desvantagens desta notação Necessário circuitos de subtração 2 representações para zero (+0 e -0) Escopo em 8 bits: -127 a +127

15 Representação de Números Negativos Complemento de 1 (obsoleto) (-127 a 127) Inverte os bits para conseguir o inverso Usa o bit mas esquerda como bit de sinal Ex: 2 = e Operação Ainda tem 2 representações para zero (+0 e -0) (11111 e 00000) 1

16 Representação de Números Negativos Complemento de 2 (2 Etapas) Etapa 1: Inverte os bits (complemento de 1) Etapa 2: Soma +1 (Descarta o vai 1) Ex: 2 = e -2 ( ) = Operação 5-2 Descarta Também usa o bit mais a esquerda para sinal Só tem uma representação para zero Escopo em 8 bits: -128 a 127

17 Representação de Números Negativos Excesso de 2 m-1 Armazena-se os valores somados com 2 m-1 Onde m é o número de bits. Ex 5 bits = 16 Ex: 2 (2+16=18) = e -2 (16-2=14) = Operação 5-2 (5+16=21=10101) Descarta Também usa o bit mais a esquerda para sinal Sentido inverso 1 = + e 0 = - Só tem uma representação para zero

18 Representação de Números de Ponto Flutuante Apêndice B V1.0

19 Roteiro Notações de números de ponto flutuante Padrão IEEE 754

20 Notações Ex: O Raio de um átomo de carbono: 0, m A massa da Terra: Kg Notação Cientifica (Separa a faixa da precisão) Raio: ¹² Massa: 5, ²⁴ Genéricamente: f. 10 e Onde: f é a fração ou mantissa E e é o expoente.

21 Representação de números entre 0 e 1 Ex: 6,125 = 6.10 ⁰+1.10 ¹ ² ³ 10⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³ ,125 Separa a parte decimal 0,125 2 x 0,125 = 0,250 (2 ¹) 2 x 0,250 = 0,5 (2 ²) 2 x 0,500 = 1 (2 ³) 2² 1 2¹ 1 2⁰ 0. 2 ¹ 2 ² 2 ³ 0 0 1

22 Normalização 3, π (PI) com 6 casas depois da Virgula Representações com notação científica 3, ⁰ (Mantissa 3, expoente 0) ⁶ (Mantissa expoente -6) 31, ¹ (Mantissa 31,41516 expoente -1) Uma mantissa é dita normalizada quando está entre 0 e 1. Ex: π (PI) com 6 casas depois da Virgula e mantissa normalizada fica: 0, ¹

23 Padrão IEEE 754 Padrão para tratar números flutuantes Definido no final da década de 70 Obedecidos por todos os fabricantes de CPUs com suporte a operações de ponto flutuante Formatos definidos pelo padrão Precisão Simples (32 bits) Precisão Dupla (64 bits) Precisão Extendida (80 bits)

24 Padrão IEEE 754 Mantissa(M) Expoente(E) Sinal(S) Simples Dupla 1 8 Bits 23 Bits 1 11 Bits 53 Bits OBS: Mantissa estará normalizada, segundo o padrão se M está entre 1 e 2 F = S X M X 2 E,Onde E é representado na soma 127

25 Padrão IEEE Comparação

26 FIM