Sistemas Numéricos e Representação de Dados. Heitor S. Ramos

Transcrição

1 + Sistemas Numéricos e Representação de Dados Heitor S. Ramos

2 + História Na Síria, durante o século VI, fundaram-se centros de cultura grega que se reuniam exclusivamente para discutir cultura e arte grega. Em 662 d.c., o bisco Severus Seborkt exaltou a sabedoria de outros povos, citando o exemplo dos novos métodos de cálculo utilizados pelos hindus e que até então empregam 9 sinais. O algarismo zero ainda não havia chegado ao Ocidente. O hindus introduziram uma posição vazia no final do século VI que só chegou a Europa alguns séculos depois. Com a introdução do zero, o Sistema de numeração utilizado por nós até hoje estava pronto e era chamado de algarismos indoarábicos.

3 + História (2) Em 825 d. C., o sábio de Bagdá chamado al-khowarizmi foi encarregado de traduzir livros de matemática adquiridos da Índia. Durante esse trabalho ele se deparou com o Sistema de numeração decimal. Ficou tão impressionado que decidiu escrever um livro sobre esse sistema. Através desse livro A arte Hindu de Calcular o mundo tomou conhecimento do Sistema Decimal.

4 + Bit, Byte, Caracter, Palavra Nos computadores, apenas dois símbolos são utilizados. Através deles, todos os outros símbolos e algarimos podem ser representados: os algarismos 0 e 1 Esses dois algarismos representam os únicos algarismos da base 2, também chamada de binária. Cada algarismos é um bit (binary digit) O bit é a menor quantidade de informação que pode ser armazenada na memória do computador O byte é uma unidade de informação constituído de oito bits A palavra é uma unidade básica formada por um agrupamento de 32 bits

5 + Base de um sistema de numeração Historicamente existiram vários sistemas de numeração com bases diferentes Os babilônios adotaram um Sistema de numeração com base 60. Esse Sistema é utilizado até hoje na medida de ângulos e tempos. Acredita-se que o primeiro Sistema foi o decimal, ou base dez, em decorrência da quantidade de dedos na mão do homem Em regra, qualquer número inteiro maior ou igual a 1 pode ser utilizado como base Na computação, os Sistemas mais comuns são o binário, os hexadecimais e os octais

6 + Polinômio de um Sistema de numeração Todo número escrito em um Sistema de numeração de base b pode ser representado segundo: n 1 A = a i b i = a 0 b 0 + a 1 b a n 2 b n 2 + a n 1 b n 1 i=0 Ex: = =

7 + Sistema decimal Usa os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Cada dez unidades equivale a uma unidade da ordem imediatamente superior Qualquer algarismos escrito a esquerda de um outro ale dez vezes mais O Sistema é o mais utilizado pelas pessoas, portanto vamos utilizá-lo como referência. Qualquer número escrito em base diferente de 10 será explicitamente indicado como: , , 553 8

8 + Sistema binário Apenas dois algarismos (0, 1) Polinômio característico: A = n 1 i=0 a i 2 i Sistema mais utilizado por computadores Ex: = =

9 + Sistema Hexadecimal Ou base 16, equivale aos aogarismos de 0 a 15, ou seja, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 e F=15 Polinônio característico: A = n 1 i=0 a i 16 i Ex: 3BF4C 16 = B F C BF4C 16 =

10 + Sistema Octal Possui os algarismos entre 0 e 7: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Polinômio característico: A = n 1 i=0 a i 8 i Ex: = =

11 + Código binário puro e variantes Todos os códigos existentes são variantes do código binário puro Principais códigos: Designação Binário Binário Decimal BCD EBCDIC ASCII Quantidade de Informação Variável 6 bits 8 bits 8 bits

12 + Código Binário Decimal (BCD) Variação do código binário puro, sendo mais fácil de interpretar Ex: 7543 BCD Quatro bits representam qualquer algarismo, porém, o BCD pode comportar até 6 bits, os 2 bits adicionais representam as letras A e B B A Zona Parte Numérica

13 + Extended Binary Coded Decimal Interchange Code (BCDIC) Código que era utilizado em plataformas de grande porte da IBM, tendo como padrão 8 bits na configuração do byte No código EBCIDC os bits são numerados dentro do byte de zero a sete, da esquerda para a direita Os bits de zero a três constituem a zona, e os de quarto a sete a parte numérica

14 + American National Standard Code For Information Interchange (ASCII)

15 + Mudança de Base Matemáticas Mudança da base 10 para qualquer base b Envolve uma sucessão de divisões do número inicial pela base b até obtermos um quociente menor que a base Nesse instante, escreve-se o número solicitado começando com o ultimo quociente e com os sucessivos restos, da direita para a esquerda

16 + Mudança da base 10 para binário =

17 + Mudança de base de 10 para base 8 (octal) = 75 8

18 + Mudança da base 10 para a base 16 (hexadecimal) = 3D 16

19 + Mudança de qualquer base para 10 Sucessão de multiplicações da direita para a esquerda, do número inicial pela base b, elevando a base a partir de zero, e incromentando-a de um em um.

20 + Mudança da base Hexadecimal para Decimal F 4 B 2 A = = = = = =

21 + Exercícios: ? ? 10 4A3F 16? 10

22 + Operações Aritiméticas com Diversas Bases Para soma de números binários, devemos obedecer às seguintes regras: = = = = 0 e vai 1 Ex: =?

23 + Subtração de binários Para a subtração de números binários, devemos prosseguir da seguinte maneira: 0 0 = = = = 1 e empresta 1 Ex: =?

24 + Soma de hexadecimais Para a soma na base hexadecimal, devemos respeitar da mesma maneira que na base decimal, o limite do algarismo, o qual não pode ultrapassar o valor máximo que é F(15 10 ), aumentando em uma unidade o algarismo antecessor. Ex: BC7 + 34B =?

25 + Subtração de Hexadecimais Para a subtração devemos observer a regra de emprestar 1 do próximo algarismo, o que na realidade significa o empréstimo de 16, ou seja, o máximo do algarismo na base 16. Ex: 3DA 37 =? Ex2: A =?

26 + Soma de Octais Para a soma na base octal devemos respeitar, ada mesma maneira que na base decimal, o limite do algarismo, o qual não poderá ultrapassar o valor máximo que é 7, aumentando em uma unidade o algarismo antecessor. Ex: =?

27 + Subtração de Octais Para subtração de octais, devemos observer a regra de emprestar 1 do próximo algarismo, o que na realidade significa o empréstimo de 8, ou seja, o máximo do algarismo na base 8. Ex: =? Ex2: =?

28 + Exercícios (em classe 1 ponto na prova) Faça as seguintes conversões de base: para as bases 2, 8 e 16 F3B57C 16 para as bases 2, 8 e para as bases 2, 10 e para as bases 8, 10 e 16 Resolva as seguintes operações: FB47C 16 + CA AF2C F4B 16 38F

29 + Representação de números inteiros (N) Como representar números inteiros positivos e negativos? Representação sinal-magnitude O bit mais significativo da palavra é um bite de sinal (0 -> positivo, 1-> negativo) Ex: +18 = Ex2: 18 = A = i=0 n 2 2 i a i, se a n 1 = 0 n 2 2 i a i, se a n 1 = 1 i=0 Essa notação, apesar e simples, apresenta diversas desvantagens. Para efetuar adição e subtração precisa considerer tanto sinal quanto magnitude Existem 2 representações para 0: +0 = =

30 + Representação em complemento de dois usa o bit mais significativo como bit de sinal. Faixa de valores representáveis 2 n 1 a 2 n 1 1 Representações para o zero 1 Negação Expansão do número de bits Regra de overflow Regra da subtração Pegue o complement booleano de cada bit do número positivo correspondente e some 1 ao padrão de bits resultantes Acrescente posições de bit à esquerda e preencha esses bits com o bit de sinal Se dois números com mesmo sinal forem somados, ocorrerá overflow apenas se o resultado tiver sinal oposto A B = (Compl. de 2 B) + A

31 + Complemento de dois A = 2 n 1 a n 1 + n 2 i=0 2 i a i Números negativos representáveis: de 1 a 2 n 1 Números positivos representáveis: de 0 a 2 n 1 1

32 + Benefícios Apenas uma representação para o algarismo zero Facilita as operações aritméticas (vamos ver isso daqui a pouco) A negação é simples 3 = Complemento booleano gera: Adiciona

33 + Interpretação Geométrica

34 + Negação Caso Especial 1 0 = Bit a bit not Adiciona 1 to LSB +1 Resultado Overflow is ignored, so: - 0 = 0

35 + Negação Caso Especial = Bit a bit not Adiciona 1 to LSB +1 Resultado Então: -(-128) = -128 X

36 + Números possíveis de representar 8 bit complemento de = = = = bit complemento de = = = = -2 15

37 + Conversão de tamanho Para números positivos, adiciona-se zero a esquerda +18 = = Para números negativos, adiciona-se 1 a esquerda -18 = =

38 + Adição e subtração Adição binária convencional Monitora-se o bit de sinal para detectar overflow Toma-se o complement de dois do subtraendo e soma ao minuendo i.e. a - b = a + (-b) Então só precisamos de circuitos e adição e complemento de 2

39 + Hardware para adição e subtração

40 + Exemplos de adição de números representado em complemento de

41 + Exemplos de adição de números representado em complement de

42 + Multiplicação 1011 Multiplicando (11 dec) x 1101 Multiplicador (13 dec) resultado (143 dec) Obs: o resultado tem o dobro do tamanho

43 + Multiplicação de inteiros sem sinal

44 + Exemplo

45 + Fluxograma da multiplicação de inteiros sem sinal

46 + Multiplicação de inteiros considerando o sinal O algoritmo anterior não funciona! Solução1 Converta o número para positivo (caso necessário) Multiplique com o algoritmo anterior Se os sinais forem diferentes, tome a negação da resposta Solução 2 Algoritmo de Booth

47 + Algoritmo de Booth

48 + Example do Algorítimo de Booth

49 + Números reais Número com frações Pode ser resolvido com binário puro = = 9,625 Onde é o ponto de separação? Fixo? Muito limitado Móvel? Como sabemos onde ele está?

50 Bit de sinal + Ponto Flutuante Expoente Polarizado Significando ou Mantissa 1bit 8bits 23 bits ±Mantissa 2 ±E O expoente é polarizado (soma-se a polarização (2 k 1 1)) A mantissa é normalizada na forma: ±1, bbb b 2 ±E Isso implica que o bit mais à esquerda da mantissa é sempre 1 Não precise armazená-lo (bit implícito) O campo de 23 bits é utilizado para armazenar uma mantissa de 24 bits com valor entre 0.5 e 1 O número de números representados continua sendo 2 32

51 + Examplo de Ponto Flutuante

52 + Exemplo 9,5 10 =? Sinal negativo 1 9,5 para binário 1001,1 deslocamos a vírgula 1,0011 2³ agora que temos o expoente 3, devemos normalizá-lo = 130 Em binário temos 3 = 11 e 127 = , somando os dois temos Resultado:

53 + Números que podem ser expressados x x x x

54 + Densidade de números

55 + Precisão vs Representatividade Se aumentarmos o número de bits do expoente, expandimos a faixa de valores representáveis Se aumentarmos o número de bits da mantissa, aumentamos a precisão Para aumentar o alcance e a precisão, precisamos aumentar o número total de bits

56 + IEEE 754 Padrão para representação de ponto flutuante 32 e 64 bit (simples e dupla precisão) 8 e11 bit de expoente, respectivamente Suporta formato estendido tanto para mantissa quanto para expoente para armazenar resultados intermediários

57 + IEEE 754 Formats

58 + Manipulação de Bits Operadores Lógicos: or ( ), and (&&) e not (!) Tratam qualquer argumento diferente de zero como true e igual a zero com false Retornam 1 ou 0 (true, false) Exemplos: Expressão Resultado!0x41 0x00!0x00 0x01 0xaa && 0x55 0x01 0xaa 0x55 0x01

59 + Operadores bit a bit Manipulação de dados bastante comum Podem ser aplicados a qualquer dos tipos inteiros Char, short, int, long Baseados na algebra booleana (bit a bit) & 0 1 And (A & B) Or (A B) Not (~A) Xor (A ^ B) & ^

60 + Exemplos (C) unsigned short a,b,c; a = 0xFF00; /* a = b = 0xA5A5; b = c = a b; /* c =? c = a & b; /c =? c = ~a; /* c =? c = a ^ b; /* c =?

61 + Exemplos (C) Swap sem terceira variável void troca (unsigned char x, unsigned char y) { /* 0x x y = x ^ y; x = x ^ y; y = x ^ y; /* 0x x /* 0x x /* 0x x }

62 + Deslocamento de bits Deslocamento de padrões de bits para a direita ou para a esquerda x << n : shift para a esquerda (equivale a 2 n ) Bits a direita são preenchidos com zero x >> n : shift para a direita (equivale a /2 n ) Shift lógico: bits à esquerda são preenchidos com 0 Shift aritmético: bits à esquerda são preencidos com o bit mais significativo original (bit de sinal) Quando o operando é sem sinal, o shift é lógico Quando o operando é com sinal, tipo de shift é escolhido pelo compilador A aplicação de >> a operandos com sinal não é portátil

63 + Deslocamento de bits: exemplos Operação x=[ ] x=[ ] x << x >> 4 (lógico) x >> 4 (aritmético)