Sistemas de Computação

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1 Sistemas de Computação Práticas Laboratoriais Semana 2 Prof. Bruno Medeiros Prof. António Pina

2 Números Fracionários Qual o decimal de ? Parte inteira => > Parte Fracionária => 101 -> 5 / 2 3 = Valor = Ou seja, interpretamos da mesma forma que interpretamos um número inteiro.

3 Números Fracionários Valor: 5 ¾ / /

4 Limitações da representação fracionária em binário Só podemos representar de forma exata valores que possam ser escritos na forma x / 2 y Valor : Representação: 1/ [01] 2 1/ [0011] 2 1/ [0011] 2

5 Cálculo da parte irracional Multiplicações consecutivas por 2 até achar o periódico Exemplo 1/3 = 0.(3) 10 0.(3) * 2 = 0.(6) Parte Inteira : 0 0.(6) * 2 = 1.(3) Parte Inteira : 1 0.(3) periódico Logo 0.(3) 10 = 0.(01) 2

6 Cálculo da parte irracional Exemplo 1/5 = * 2 = 0.4 Parte Inteira : * 2 = 0.8 Parte Inteira : * 2 = 1.6 Parte Inteira : * 2 = 1.2 Parte Inteira : (periódico) Logo = 0.(0011) 2

7 Representação ponto fixo Nesta representação fixamos o ponto binário num ponto pré-definido Por exemplo, usando 8 bits ponto fixo #1 o ponto binário fica entre o bit 2 e o 3 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 [.]b 2 b 1 b 0 #2 o ponto binário fica entre o bit 4 e o 5 b 7 b 6 b 5 [.]b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 Podemos representar até no #1 e no #2 Há um compromisso entre precisão e a gama de valores que podemos representar

8 Representação fixa Onde colocar o ponto fixo? Irá depender da precisão e da gama que queremos representar Na representação fixa existe um trade-off entre a gama de valores que se vai poder representar e a precisão dos valores + gama implica menos precisão e vise - versa

9 Ponto fixo num computador Exemplo com 8 bits Queremos representar reais negativos e positivos Utilizando 1 bit para o sinal (vermelho) 3 para a parte inteira (azul) 4 para a parte fracionária (verde) Exemplo

10 Valores representáveis (exemplo) = 1/ = 2/ = 3/ = 15/16 (valor mais próximo de 1) = =

11 ... continuação A distância entre dois valores consecutivos no exemplo anterior era sempre a mesma (1/16 = ) Veremos mais à frente que no caso do ponto/ vírgula flutuante o espaçamento não é sempre o mesmo.

12 Ponto Fixo Prós Fácil e simples de usar O mesmo hardware que faz a aritmética de inteiros também é capaz de fazer a aritmética de reais Contras Não existe uma boa forma de escolher onde colocar o ponto Ás vezes vamos querer mais precisão, outras vezes queremos uma gama maior

13 Ponto Fixo vs. Vírgula flutuante (fp) Ponto fixo Esta representação acaba por não ser muito usada O standard para a representação binária de números reais é o Floating Point (FP) Permite flutuar o ponto binário da seguinte forma Quando queremos representar números muito pequenos pedimos bits emprestados à parte inteira Quando queremos representar números muito grandes pedimos bits emprestados à parte fracionária

14 Notação Científica Durante o dia à dia deparamo-nos com situações em que podemos ter que lidar com números muito grandes e/ou muito pequenos Comprimento do diâmetro da terra m A massa de uma molécula de água g Como se pode verificar, não é prático trabalhar com números com grandes quantidades de algarismos No entanto, podemos escrever tais números usando potências de 10

15 Notação Científica Molécula de água : 2.99 x g Diâmetro da terra : 1.28 x 10 7 m Facilita as operações aritméticas x ? Em notação científica 3 x 10 8 x 1.5 x 10-7 = (3 * 1.5) * 10 (8-7) = 4.5 x 10 1

16 Notação Científica Em notação científica um número é representado na forma A x 10 b Em que b é um expoente inteiro A é um número real, chamado de significante ou fracionário Se o número é negativo, coloca-se um sinal à esquerda do A Este formato permite que o mesmo número possa ser representado de várias formas diferentes Por exemplo 350 pode ser representado como: 3.5 x x x 10 0

17 Notação Científica Normalizada Para facilitar a sua representação, impõe-se um formato específico Normalizado (1 <= A < 10) No caso do 350, em notação científica normalizada ficava 3.5 x 10 2 (1 <= 3 < 10) Esta forma facilita comparações entre números, uma vez que o expoente b dá o número de ordem de magnitude

18 Notação Científica É mais fácil comparar Normalizada 3.5 x 10 2 com 4.5 x 10 2 do que 35 x 10 1 com 4.5 x 10 2

19 Problema? Usando 7 algarismos, 5 para mantissa e 2 para expoente Como representamos [0.0000E -99, E -99 [? Na forma normalizada estamos a desperdiçar este intervalo Utilizamos a chamada Notação desnormalizada 0.yyyy x 10 exp

20 De notação Científica para FP A notação científica do tipo Valor = (-1) s x Mantissa x Radix exp É das que permite a melhor representação dos números reais em vírgula flutuante Radix é a base 10 no decimal, e em binário pode ser 2 ou potências de 2, mas vamos apenas focar em 2 que é o standard atual. S é o sinal S -> 0 positivo = (-1) 0 = 1 S -> 1 negativo = (-1) 1 = -1

21 ... continuação Mantissa será Y.xxxx (normalizada com 1 <= Y < radix) 0.xxxx (desnormalizada)

22 Floating point Vai nos permitir ao mesmo tempo representar tanto valores muito grandes como muito pequenos (ao contrário do ponto fixo) O truque é representar o número real na sua forma científica Ex x 10 4 = x 10-1 = x 10-2 = Como podemos ver o expoente é responsável pela flutuação do ponto decimal No caso dos binários vai acontecer o mesmo em relação ao ponto binário

23 Floating point Para podermos representar um número real no computador no mesmo estilo da representação científica Temos que fixar o ponto binário E flutuamos o ponto apenas mexendo no expoente Iremos usar a forma normalizada Que no caso do binário será 1.F x 2 exp

24 Floating point Formato binário de um valor em fp usa 3 campos Sinal, S Ficando mais à esquerda, permitirá usar o mesmo hardware (que trabalha com inteiros) para testar o sinal de um valor em fp Expoente, E Ficando logo a seguir ao sinal Vai permitir fazer comparações quanto à grandeza entre valores absolutos em fp, sem a necessidade de separar os 3 campos. Basta comparar os valores como se de valores meramente binários se tratasse Parte Fracionária, F É o campo mais à direita

25 Bit Escondido Sabemos que um valor normalizado tem sempre o dígito mais à esquerda diferente de zero Se for no sistema decimal podemos ter 9 valores diferentes Mas no binário só temos um valor possível = 1 Logo podemos omitir este bit durante a representação interna de um fp em binário Ganha-se um bit extra para melhorar a precisão, este bit será usado na parte fracionária

26 A Norma IEEE 754 para fp Estabeleceu em 1985 um standard para a aritmética e representação de floating points Antes desta norma havia diferentes formatos que eram difíceis de combinar Norma suportada pela grande maioria dos CPU atuais Permiti portabilidade dos dados entre diferentes sistemas

27 Aspectos relevantes da norma IEEE 754 Representação do sinal bit mais à esquerda representa o sinal. 0 positivo, 1 negativo Parte fracionária representamos o valor em absoluto Utiliza-se o bit escondido Representação do expoente Para facilitar o processo de comparação de valores (sem obrigar a separar campos) o expoente deverá ser codificado da seguinte forma

28 Aspectos relevantes da norma IEEE 754 Representação do expoente Para facilitar o processo de comparação de valores (sem obrigar a separar campos) o expoente deverá ser codificado da seguinte forma Os valores menores do expoente (negativos) terão uma representação binária menor do que os valores positivos (os maiores) Sinal e amplitude? Complemento para 1? Complemento para 2? Nenhum das 3 porque usam todas um 1 à esquerda para representar o sinal, o que torna os como números binários maiores do que os positivos

29 Representação do expoente Utilização do Excesso Vai permitir que o padrão de bits todo a zeros (00..00) seja o menor expoente, e o padrão de bits todo a 1 s (11..11) seja o maior expoente Este excesso é calculado por 2 n-1-1 Sendo n o número de bits reservado para o expoente Visão global do formato [S Expoente Parte fracionária] Expoente representado em excesso Sendo os campos representados em binário

30 Norma IEEE 754 Valor decimal de um fp em binário (normalizado) é dado por V = (-1) s X (1.F) x 2 (E Excesso) Em que S, F e E representam respectivamente os valores em binário do sinal, parte fracionária e o expoente em excesso, no formato em fp Representação de valores desnormalizados A norma reserva o E = 0 s e o F 0 s Para calcular o decimal utiliza-se a seguinte fórmula V = (-1) S x (0.F) x 2 (1-Excesso) O porquê de 1-Excesso? Será explicado mais à frente

31 Norma IEEE 754 Representação do zero E = 0 s e F= 0 s (casos especiais) Representação do infinito E = 1 s e F = 0 s Se sinal = 0 -> +00 Se sinal = 1 -> - 00 Representação do NaN E = 1 s e F 0 s Exemplo -1

32 Norma IEEE bits (vírgula flutuante de precisão simples) 1 bit para sinal 8 bits para expoente 23 bits para a parte fracionária Excesso = = bits (vírgula flutuante de precisão dupla) 1 bit para sinal 11 bits para expoente 52 bits para a parte fracionária Excesso = = 1023

33 Exemplo Prático Vamos usar um exemplo com 8 bits (apenas para feitos pedagógicos) que segue as mesmas regras que a norma 574 do IEEE Vamos utilizar 1 bit para sinal 3 bits para expoente 4 bits para a parte fracionária

34 Passar de decimal para representação binária fp Número : ) Converter para binário ) Normalizar o binário x 2-1 3) Identificar o sinal do valor Positivo => S = 0 0 _

35 ... continuação 4) Representação da mantissa sem bit escondido _ ) Calcular o expoente a ser gravado (E) Calcular o Excesso : 2 n-1-1 = = 3 E = expoente + excesso = = 2 Converter E para binário 2 10 = em formato binário de fp fica

36 Fp para decimal Utilizamos a fórmula V = (-1) S x 1.F x 2 (E excesso) Calcular o valor decimal de S = 0 (bit + à esq.) F = E = = 2 10 Temos que retirar do expoente gravado (E) o excesso Uma vez que o expoente é gravado com o excesso, agora é necessário retirá-lo para fazer o processo inverso Expoente = 2 3 = -1

37 ... continuação Substituímos na fórmula V = (-1) 0 x x 2 (2 3) = 1 x x 2-1 = x 0.5 = ??? Porque é que não deu ? Não podemos multiplicar o binário pelo decimal = x 2-1 = = Ou x = x =

38 Casos especiais ? E = 1 s, F = 0 s e S = 1 => ? E = 1 s, F = 0 s e S = 1 => +00 Não vale a pena tentar converter as sequencias acima porque não faz sentido. Estes padrões de bits estão reservados pela norma IEEE 754 para representar infinito

39 ... continuação ? E = 1 s e F 0 s => NaN Significa que o maior valor que podemos representar neste formato será? Neste caso (-1) 0 x (1.1111) x 2 (6-3) = 15.5 E não pode ser 111 senão o valor seria NaN E = 0 s e F = 0 s a norma diz que o valor é zero

40 Desnormalizados Maior positivo desnormalizado? Menor número positivo desnormalizado? O porquê do Expoente ser 1 Excesso? Desta forma o salto entre o maior desnormalizado e o menor normalizado positivo é o mesmo que entre dois valores desnormalizados consecutivos

41 FP valores = 1/ = 2/ = 15/64 De notar que nos desnormalizados a distância entre dois valores consecutivos é sempre a mesma (neste caso 1/64) = 16/64 = 0.25 (normalizados) = 31/ = 0.5 Parte interessante é que agora a distância entre 2 valores consecutivos dobrou. Então sempre que o expoente aumenta a distância entre dois valores aumenta

42 Porque deste comportamento? A ideia é que os valores mais próximo de zero terão mais precisão. Enquanto os valores mais afastados terão menos precisão, mas em compensação permitirá representar uma maior gama de valores

43 Sumário Description Bit Rep. Zero Smallest Pos Largest Denorm Smallest Norm One Largest Norm Infinity expo- Figure 2.23: Example Nonnegative Values for eight-bit Floating-Point Format. There are nent bits and significand bits. The bias is. Legenda: e expoente em excesso; E expoente; f parte fracionária; M mantissa (incluído o bit escondido); V valor real; Excesso = 7; Desnormalizados : V = (-1) s x 0.F x 2 (1- excesso) Normalizados : V = (-1) s x 1.F x 2 (e - excesso)

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45 Referências Material de apoio do Prof. Alberto Proença - Universidade do Minho Acetatos/RepresNum_Mar04.pdf Floating Point The Basics : Lecture/HTML/ch03s10.html What every computer scientist should know about Floating point Arithmetic: E / /ncg_goldberg.html

46 Referências Computer System: A Programmer s Perspective, 2/ E (CS: APP2e). Randal E. Bryant and David R. O'Halloran, Carnegie Mellon University Introduction to Computer Systems, Randy Bryant and Dave O'Halloran