Arquitectura de Computadores I

Transcrição

1 Representação de Números e Aritmética Binária António M. Gonçalves Pinheiro Departamento de Física Covilhã - Portugal pinheiro@ubi.pt

2 Base Binária Aritmética Binária Base Hexadecimal Base Octal Representação de Números Números Inteiros e Reais Números Inteiros sem e com sinal Números Reais - Representações de Ponto Fixo e Ponto Flutuante Códigos BCD Circuitos Aritméticos ALU - Unidades Lógicas e Aritméticos

3 Base Numéricas Base b (a N 1 a N 2...a 2 a 1 a 0 ) b = (a N 1 b N 1 +a N 2 b N a 2 b 2 +a 1 b+a 0 ) 10, com a i {0, 1,..., b 1} Base Binária (b N 1 b N 2...b 2 b 1 b 0 ) 2 = (b N 1 2 N 1 + b N 2 2 N b b b 0 ) 10, com b i {0, 1} Exemplo: ( ) 2 = = = = = (169) 10

4 Base Numéricas Base b (a N 1 a N 2...a 2 a 1 a 0 ) b = (a N 1 b N 1 +a N 2 b N a 2 b 2 +a 1 b+a 0 ) 10, com a i {0, 1,..., b 1} Base Hexadecimal (x N 1 x N 2...x 2 b 1 x 0 ) 16 = (x N 1 16 N 1 + x N 2 16 N x x x 0 ) 10, com x i {0, 1..., 8, 9, A,B,C,D,E,F} Exemplo: (3FB) 16 = F 16 + B = = = = (1019) 10 Nota: 3 16 =(0011) 2 F 16 =(15) 10 =(1111) 2 B 16 =(11) 10 =(1011) 2 (3FB) 16 = ( ) 2 = = (1019) 10

5 Base Numéricas Base b (a N 1 a N 2...a 2 a 1 a 0 ) b = (a N 1 b N 1 +a N 2 b N a 2 b 2 +a 1 b+a 0 ) 10, com a i {0, 1,..., b 1} Base Octal (o N 1 o N 2...o 2 b 1 o 0 ) 8 = (o N 1 8 N 1 +o N 2 8 N o o 1 8+o 0 ) 8, com o i {0, 1..., 7} Exemplo: (1773) 8 = = = = (1019) 10 Nota: 1 8 =(001) =(111) =(111) =(011) 2 (3FB) 16 = ( ) 2 = = (1019) 10

6 Base Numéricas b = 10 b = 2 b = 16 b = A B C D E F 17

7 Números Inteiros sem sinal Usam normalmente a representação binária. com um byte: b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 entre 0 e 2 8-1=255 com 16 bits: b 15 b 14...b 3 b 2 b 1 b 0 entre 0 e com N bits: b N 1 b N 2...b 3 b 2 b 1 b 0 entre 0 e 2 N -1

8 Soma de Números Inteiros sem sinal

9 Soma de Números Inteiros sem sinal

10 Soma de Números Inteiros sem sinal - Overflow NOTA: Quando o número de bits não é suficiente para representar o resultado final, diz-se que ocorreu um overflow.

11 Soma de Números Inteiros sem sinal - Circuitos Somadores half-adder Somador de dois bits B 0 A 0 B 0 A 0 C 1 F 0 B 0 A 0 C 1 HA F F 0 C 1

12 Soma de Números Inteiros sem sinal - Circuitos Somadores full-adder Somador de três bits B i A i C i B i A i C i+1 F i C i B i A i C i+1 FA F i Ci F i C i+1

13 Somador de Números Inteiros sem sinal com N bits B N-1 A N-1 B 3 A 3 B 2 A 2 B 1 A 1 B 0 A 0 C N FA C N-1 C 4 FA C 3 FA C 2 FA C 1 HA F N-1 F 3 F 2 F 1 F 0

14 Exemplo Projecte um circuito baseado numa célula que iterativamente verifique qual é o maior de dois números.

15 Números Inteiros com sinal Sinal módulo bit mais significativo representa o sinal ( 1) Ex: = = 23 Intervalo Representado com N bits: { ( 2 N 1 1 ),..., 2 N 1 1 } Complemento para UM bit mais significativo representa o sinal ( 1) o módulo de um número negativo obtem-se por negação de todos os bits Ex: = - ( )= ( ) = 23 Intervalo Representado com N bits: { ( 2 N 1 1 ),..., 2 N 1 1 }

16 Números Inteiros com sinal Complemento para DOIS bit mais significativo representa o sinal (- 1) o módulo de um número negativo obtem-se por negação de todos os bits seguido de soma por 1 Ex: = - ( )+1 = - ( ) = = -23 Intervalo Representado com N bits: { ( 2 N 1),..., 2 N 1 1 } NOTA: Mais utilizado pois permite operações aritméticas directas em C 2 representa o número 2 N 1 (Se N=8, =-128)

17 Soma de Números Inteiros com sinal C = C = 5

18 Soma de Números Inteiros com sinal C = C = 98 NOTA: Overflow negativo porque 133 < 128 = 2 7

19 Somador/Subtractor de Números Inteiros com Sinal com N bits S=0 F=B+A Somador S=1 F=B A Subtractor B N-1 A N-1 B 3 A 3 B 2 A 2 B 1 A 1 B 0 A 0 S C N FA C N-1 FA FA FA FA C 4 C 3 C 2 C 1 C 0 F N-1 F 3 F 2 F 1 F 0 S=1 faz-se negação de todos os bits do número A e soma-se 1 Complemento para 2. NOTA: 0 A = A, 1 A =A

20 Unidade Lógica e Aritmética - ALU Sistema combinacional concebido para fazer diferentes operações Aritméticas e Lógicas entre duas palavras binárias M M 2 1 M 0 A ALU F B M 2 M 1 M 0 Operação A + B A - B A A A B A + B A B A Nota: M 2 =0 - Operações Aritméticas M 2 =0 - Operações Lógicas

21 Exemplo Projecte um circuito de que resulte uma variável O v que para o circuito somador/subtractor estudado sinalize sempre que há um overflow negativo ou positivo.

22 Aritmética Binária - Números Reais Ponto Fixo Ponto Flutuante Parte Inteira Parte Decimal Sinal 1 x(10) 2 Mantissa Expoente Underflow - Número com valor absoluto muito pequeno diferente de zero que não pode ser representado. Overflow - Número com valor absoluto muito grande que não pode ser representado. FPU - Floating Point Unit Circuito que se destina a fazer operações com números em vírgula flutuante.

23 Aritmética Binária - Números Reais Norma do IEEE Nome Número de bits Sinal Mantissa Expoente Polarização Precisão Simples Precisão Dupla Valor representado em decimal: ( Formato: ( 1) Sinal 1 + p 1 n=1 Sinal Expoente Mantissa Mantissa(n) 2 n ) 2 Expoente-Polarização Casos especiais: Tipo Expoente Mantissa Zero Infinito NaN Num. não normalizado

24 Códigos BCD - Binary Code Decimal Dígito Decimal BCD 8421 BCD 2421 BCD X