6.Elaboração de algoritmos...13

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1 Índice de conteúdos Capítulo 1. Computação Científica Definição Modelo genérico Modelo matemático Tipos de modelos matemáticos Modelação matemática Definição (formulação) do Problema Construção do Modelo Matemático Determinação da Solução (do Modelo) Validação do Modelo e Análise da Solução Implementação da Solução Exemplo Elaboração de algoritmos Estrutura do algoritmo Variáveis e comentários Expressões e comando de atribuição Expressões aritméticas Expressões lógicas Expressões literais Comandos de entrada e saída Estruturas condicionais Estrutura condicional simples Estrutura condicional composta...15 i

2 6.6.Estruturas de repetição Número indefinido de repetições Número definido de repetições Falha no algoritmo Exemplos de algoritmos Complexidade computacional...19 Capítulo 2. Computação Numérica Cálculo numérico Representação e conversão de números Representação de números em diferentes bases Representação de números inteiros Representação de números reais Conversão de números da base decimal para uma qualquer base b Conversão de números inteiros Conversão de números reais no formato com ponto fixo Conversão de números reais no formato com ponto flutuante Conversão de números de uma qualquer base b para a base decimal Conversão de números inteiros Conversão de números reais fracionários Número binário infinito Aritmética de ponto flutuante Operações com números em binário Adição binária Subtração binária Multiplicação binária Divisão binária Representação de números em computadores digitais Representação de números inteiros Representação de números reais Análise e Representação de Erros Teorema do Valor Médio...44 ii

3 3.2.Fontes de erros e incertezas Incerteza Precisão e exatidão Tipos de erros Erros iniciais (nos dados do modelo) Erros de modelação (ou de formulação) Erros grosseiros Erros de arredondamento Erros de truncatura Valores aproximados e erros Erro absoluto Erro relativo Fórmula fundamental dos erros Número de dígitos significativos Erros de arredondamento Arredondamento por defeito (ou corte do número) Arredondamento simétrico Erros de arredondamento na álgebra de ponto flutuante Erros de truncatura Cálculo de valores de funções transcendentes Discretização Condicionamento e estabilidade Análise de erros...63 Capítulo 3. Métodos Numéricos Iterativos Métodos numéricos Métodos analíticos versus métodos numéricos Necessidade de se usar métodos numéricos Métodos iterativos Resolução de problemas Problemas com equações não lineares Forma geral do problema...69 iii

4 6.2.Características do problema Zeros (raízes) e multiplicidade Utilização de métodos iterativos Localização e separação das raízes Estimativa para o erro de truncatura Critérios de paragem Método da Bissecção Fórmula geral Algoritmo para o método da Bissecção Método da Falsa Posição (ou da Corda Falsa) Fórmula geral Algoritmo para o método da Falsa Posição Método do Ponto Fixo Fórmula geral Convergência Algoritmo do método do Ponto Fixo Exemplo Método de Newton-Raphson Fórmula geral Newton-Raphson como caso particular do método do Ponto Fixo O método de Newton-Raphson a partir da série de Taylor Ordem de convergência do método de Newton-Raphson Um majorante do erro absoluto Uma estimativa do erro absoluto Critérios de convergência do método de Newton-Raphson Algoritmo para o método de Newton-Raphson Vantagens e desvantagens do método de Newton-Raphson Alguns casos patológicos do método de Newton-Raphson Método da Secante Forma geral Exemplo Convergência Algoritmo do método da Secante...89 iv

5 7.Problemas com equações lineares O problema da resolução de um sistema de equações lineares Utilização de métodos iterativos Método de Jacobi Fórmula geral Algoritmo para o método de Jacobi Método de Gauss Seidel Fórmula geral Algoritmo para o método de Gauss Seidel Exemplo Eficiência Interpolação polinomial Introdução Polinómio interpolador Definição Polinómios Cálculo de valores de um polinómio Interpolação polinomial de Lagrange Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Erros de Interpolação Polinomial Aproximação polinomial Introdução Conceitos e resultados básicos Métricas, normas e seminormas Melhor aproximação polinomial Aproximação dos mínimos quadrados para dados discretos Funções aproximantes e desvios Método dos Mínimos Quadrados Reta dos Mínimos Quadrados (Reta de Regressão) Parábola dos Mínimos Quadrados Algoritmo v

6 Capítulo 4. Modelação e Simulação de Sistemas A simulação de sistemas Definição As razões de usar modelos de simulação Modelos de simulação Introdução Sistema Modelo Cenários Parâmetros do Modelo Propriedades dos modelos de simulação Introdução Elementos de um modelo de simulação Classificação dos modelos de Simulação Modelos determinísticos e modelos estocásticos Modelos estáticos e modelos dinâmicos Modelos contínuos e modelos discretos Modelos de simulação dinâmicos discretos Componentes de um modelo de simulação Tipos de modelação Modelação orientada ao Evento Desenvolvimento de um projeto de simulação Formulação do problema Definição dos objetivos Planeamento do projeto Construção do modelo Recolha de informação Implementação do modelo Verificação Validação Desenho de experiências Execução do modelo e análise dos resultados vi

7 Mais execuções do modelo? Documentação e relatório Implementação da solução Implementação/codificação de um modelo de simulação discreta Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo Nível de detalhe dos modelos de simulação Modelos de simulação com filas de espera Introdução Estrutura de uma fila de espera Mecanismos de escalonamento Centros de serviço Análise de dados de entrada (inputs) Introdução Propriedades das distribuições teóricas Análise estatística dos dados de entrada (inputs) Geração de número aleatórios Métodos para gerar números aleatórios Métodos para gerar observações aleatórias Análise de resultados (outputs) Medidas de desempenho típicas Análise de resultados de um sistema Comparação de configurações alternativas de um sistema Modelos de simulação contínuos Modelos de simulação estáticos - método de Monte Carlo O método de Monte Carlo (ou simulação de Monte Carlo) Fases da simulação de Monte Carlo Exemplo Exercício - Admissão de utentes numa urgência vii