UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Introdução ao Cálculo Numérico 2a. Edição Álvaro Luiz de Bortoli Carolina Cardoso Maria Paula GonçalvesFachin Rudnei Diasda Cunha Porto Alegre, abril de 2003.

2 Álvaro Luiz de Bortoli é professor adjunto da UFRGS, desempenhando suas atividades junto ao Departamento de Matemática Pura e Aplicada, do Instituto de Matemática, desde É formado em Engenharia Mecânica pela UFRGS (1987); Mestre em Engenharia Mecânica pela UFSC (1990); e Doutor em Aerodinâmica e Aeroelasticidade pela UFSC e Deutsches Luftund Raumfahrt Institut, Alemanha (1995). Carolina Cardoso é Bacharel em Matemática (ênfase Matemática Aplicada e Computacional) pela UFRGS (1998) e Mestre em Matemática Aplicada pela UFRGS (2001). Maria Paula Gonçalves Fachin é professora adjunta da UFRGS, desempenhando suas atividades junto ao Departamento de Matemática Pura e Aplicada, do Instituto de Matemática, desde É Licenciada em Matemática pela UFRGS (1986); Mestre em Matemática pela UFRGS (1990); e Doctor of Philosophy in Computer Science pela University of Kent at Canterbury, Reino Unido (1994). Rudnei Dias da Cunha é professor adjunto da UFRGS, desempenhando suas atividades junto ao Departamento de Matemática Pura e Aplicada, do Instituto de Matemática, desde ÉBacharelemCiênciasde Computação pela UFRGS (1988) e Doctor of Philosophy in Computer Science pela University of Kent at Canterbury, Reino Unido (1992). Exerceu asfunções de programador de computadores e analista de sistemas no Centro de Processamento de Dados da UFRGS ( ). Foi coordenador do Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada da UFRGS ( ) e atualmente ocupa o cargo de Vice-Diretor do Instituto de Matemática da UFRGS.

3 Sumário 1 Aritmética no Computador Introdução Representação em binário e decimal Bits, bytes e palavras Conversão entre representações Representação de números em um computador Representação de números inteiros Representação de números reais Representação racional de númerosreais Representação de númerosreaisem ponto-fixo Representação de númerosreaisem ponto-flutuante Tratamento do zero Caracterização de uma representação Arredondamentos Operaçõesaritméticas de ponto-flutuante Errosem operaçõesaritméticasde ponto-flutuante Perda de dígitossignificativos Subtração de valoresquase idênticos Teorema sobre a perda de precisão Condicionamento de um problema Computaçõesestáveise instáveis Desastres causados por erros aritméticosno computador Falha do sistema de mís s eis Patriot Explosão do foguete Ariane Exercícios Cálculo de Raízes de Funções Não-Lineares Introdução Método da Bissecção Métododaposição fals a Melhorando o métododaposiçãofals a Anális e do erro MétododeNewton-Raphson Anális e do erro Derivação numérica O método de Newton-Raphson e as raízescomplexasde f(x) Exercícios

4 3 Cálculo de Raízes de Polinômios Introdução Resultados teóricos Enumeração e localização de raízesde polinômios Regra de Des cartes Regra de Du Gua Regradalacuna Cota de Laguerre-Thibault Cota de Fujiwara Cota de Kojima Cota de Cauchy Método de Newton-Viéte Método de Horner Cálculo do quociente e do res to Deflação de um polinômio Calcular a expansão de Taylor de um polinômio O método de Horner e sua relação com a derivada de p(z) O método de Newton-Raphson usado em conjunto com o algoritmo parcial de Horner Raízescomplexasde equações polinomiais Método de Bairs tow Exercícios Resolução de Sistemas de Equações Lineares Introdução Resolução de Sistemas Triangulares de Equações Lineares Resolução de Sistemas de EquaçõesLinearespor Eliminação Gaussiana Dificuldades Eliminação Gaussiana e a Fatoração LU O Custo Computacional da Fatoração LU Resolução de sistemas com múltiplostermosindependentes Cálculo da invers a de uma matriz Resolução Iterativa de Sistemas de Equações Lineares Normas de vetores e de matrizes Normas de matrizes Número de condiçãodeumamatriz Erroscomputacionaise condicionamento Métodos iterativos Refinamento iterativo Método iterativo de Jacobi Método iterativo de Gaus s -Seidel Extrapolação de um método iterativo Método do Gradiente Forma Quadrática Descrição do método do Gradiente Método dasdireções -Conjugadas Método dos Gradientes-Conjugados Exercícios Resolução de Sistemas de Equações Não-Lineares Introdução Método de Newton Exercícios

5 6 Autovalores e Autovetores Introdução Teoremas de limites sobre autovalores Cálculo de autovalorese autovetoresvia determinantes Autovaloresde uma matriz tridiagonal simétrica Métodospara aproximação de autovalorese autovetores Métododapotência O métododapotência com translação da origem Métododaiteração invers a O métododaiteração inversa e o quociente de Rayleigh Exercícios Interpolação Introdução Interpolação polinomial Forma de Newton Forma de Lagrange Forma de Newton com diferenças divididas Forma de Newton com diferenças simples Interpolação invers a Interpolação por s plines Estudo do erro na interpolação Es timativa para o erro Exercícios Ajuste de dados experimentais Introdução Mínimosquadrados- domíniodiscreto Ajus te linear Ajus te polinomial Ajustamento por funçõesnão linearesnosparâmetros linearização Ajustamento por uma função exponencial Ajustamento por uma função potência Ajustamento por uma função hiperbólica a 0+a 1 x+a 2 x Ajustamento por uma função do tipo y = ae bx+cx Es colha do melhor ajus te Mínimosquadrados- domínio contínuo Polinômiosortogonais Exercícios x Ajustamento por uma função do tipo y = a 0+a 1 x Ajustamento por uma função do tipo y = 9 Integração Numérica Introdução Integração numérica via interpolaçãopolinomial Regra do Trapézio Método doscoeficientesa Determinar Regra de Simps on Regra de Simpson com exatidãocrescente Mudança do intervalo de integração Quadratura Gaus s iana Integração de funções mal comportadas Intervalosde integração infinitos Exercícios

6 10 Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias Introdução Problema de Valor Inicial Existência da Solução Errosna solução numérica MétododaSérie de Taylor Vantagense desvantagens Método de Euler Método de Heum Erro de truncamento para o método de Heum Métodos de Runge-Kutta Método modificado de Euler Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem Errosdo método de Runge-Kutta Avaliação da Função versus Ordem do Método Runge-Kutta Método Adaptativo de Runge-Kutta-Fehlberg Métodos de passo múltiplo Convergência, Estabilidade e Consistência Erros de truncamento Errosde truncamento globais Sistemas de EquaçõesDiferenciaisOrdinárias Método da Série de Taylor Método de Runge-Kutta Solução via decomposição em autovalores e autovetores O expoente de uma matriz Equaçõesrígidas Problemas de Valor de Fronteira Método do dis paro MétododeNewton Métododacolocação Derivação numérica Solução por diferenças -finitas O cas o linear Exercícios Solução Numérica de Equações Diferenciais Parciais Introdução Equaçõesparabólicas Método explícito Método de Crank-Nicols on Aproximação ponderada Condições de fronteira Equaçõesdiferenciaisparciaiselípticas Exercícios