étodos uméricos SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIOAS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

Transcrição

1 étodos uméricos SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIOAS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 2016

2 Conteúdo 1. Solução numérica de EDO. 2. Métodos de Runge-Kutta. 3. Métodos de Adams. 4. Comparação de métodos para EDO. 5. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.

3 Equações Diferenciais Ordinárias - EDO São ferramentas fundamentais para modelagem matemática de vários fenômenos físicos, químicos, biológicos, etc, quando esses fenômenos são descritos em termos de taxa de variação. Por exemplo: a taxa de variação da corrente i em função do tempo t, em um circuito RL Esse é um exemplo de EDO de primeira ordem. Essa ED é ordinária visto que a corrente i é função apenas de uma variável independente, o tempo t; Se a função de for definida em termos de duas ou mais variáveis, ter-se-ia uma equação diferencial parcial, por exemplo, a equação de Laplace:

4 Equações Diferenciais Ordinárias - EDO A EDO é de primeira ordem quando a derivada de maior ordem é de ordem 1. Quando a equação contiver uma derivada de ordem n, ela é dita EDO de ordem n A Solução de uma EDO é a função que satisfaz a equação diferencial e certas condições iniciais na função. Resolver uma EDO analiticamente é encontrar uma solução geral contendo constantes arbitrárias. Então determina-se essas constantes de modo que a expressão combine com as condições iniciais.

5 Solução Numérica de EDO Métodos analíticos são restritos apenas a algumas formas especiais de função. Nem toda EDO tem solução analítica. Métodos numéricos não possuem tal limitação. Solução numérica é obtida como uma tabela de valores da função para vários valores da variável independente. Solução analítica é uma relação funcional. Praticamente qualquer EDO pode ser resolvida numericamente. Se as condições iniciais forem alteradas, toda a tabela deve ser recalculada. Métodos numéricos para a solução de EDO, sujeitas às condições iniciais.

6 Solução Numérica de EDO 1 - Problema do Valor Inicial - PVI: O PVI de primeira ordem apresenta a forma: A solução do PVI é uma função y = y(x) contínua e diferençável que satisfaz o PVI. Calcular aproximação y i da solução exata y(x i ) do PVI nos pontos onde m é o número de subintervalos de [a, b] e h é o tamanho do intervalo. Solução numérica do PVI é uma tabela contendo os pares (x i, y i ) sendo que

7 Solução Numérica de EDO 2 Método de Euler: Apesar de ser utilizado raramente na prática, a sua simplicidade serve para exemplificar as técnicas envolvidas na construção de alguns métodos mais avançados, sem a enfadonha álgebra que acompanha essas construções. É um método da série de Taylor de ordem 1.

8 Solução Numérica de EDO Seja uma expansão da solução exata y(x), em série de Taylor, em torno do valor inicial x 0 Truncando a série após o termo de derivada primeira, sendo x 1 = x 0 + h e y 1 uma aproximação de y(x 1 ) e sabendo que y = f(x, y) Sucessivas aproximações y i de y(x i ) podem ser obtidas pela fórmula de recorrência Fórmula conhecida como método de Euler. Leonhard Euler propôs este método em 1768.

9 Solução Numérica de EDO Exemplo: Calcular a solução do PVI da função a seguir no [0, 1], com m = 10 subintervalos. intervalo

10 Solução exata: Solução Numérica de EDO Método de Euler com h = 0,1 só forneceu uma decimal exata para o PVI.

11 Solução Numérica de EDO Comparação com h = 0,01 Redução do passo h para 0,01 melhorou a solução numérica do PVI. Exatidão da solução é melhorada quando o valor do passo for reduzido.

12 Solução Numérica de EDO Exemplo: Utilize o método de Euler para aproximar a solução do PVI: Considerando n = 10. Então, h = (2-0)/10 = 0.2; x i = 0.2i; i=0, 1,..., 9; y 0 = 0,5. y i+1 = y i + h y (x i, y i ) = y i + 0.2(y i x i2 + 1) = 1.2y i 0,008 i 2 + 0,2 A solução analítica é y(x) = (x+1) 2 0,5e x. A tabela 1 a seguir mostra a comparação entre os valores aproximados e os valores exatos.

13 Solução Numérica de EDO

14 Solução Numérica de EDO

15 3 Definições: Solução Numérica de EDO Definição (Passo simples): Um método é de passo simples quando a aproximação y i+1 for calculada a partir somente do valor y i do passo anterior. Sendo a função incremento. Um método de passo simples é definido na forma Definição (Passo múltiplo): Sejam os p valores y i, y i-1, y i-2,..., y i-p+1 previamente calculados por algum método. Um método é de passo múltiplo se estes p valores y i, y i-1, y i-2,..., y i-p+1 forem utilizados para calcular y i+1, para i = p 1, p, p+1;..., m - 1. Definição (Erro local): Supondo que o valor calculado por um método de passo k seja exato, isto é, y i+j = y(x i+j ) para j = 0, 1,..., k - 1, então o erro local em x i+k é definido como

16 Solução Numérica de EDO Definição (Ordem): Um método de passo simples tem ordem q se a função incremento for tal que Definição (Consistência): Um método numérico é dito consistente com o PVI se a sua ordem q 1. Definição (Convergência): Um método de passo k é convergente se, para o PVI. é válido para todo x [a, b].

17 Solução Numérica de EDO Consistência significa que a solução numérica corresponde à solução do PVI. A consistência de um método limita a magnitude do erro local cometido em cada passo. Estabilidade controla a propagação do erro durante os cálculos. Um método é convergente se ele for consistente e estável.

18 Métodos de Runge-Kutta Exatidão dos resultados pode ser melhorada se o passo h for reduzido. Se exatidão requerida for elevada, esta metodologia pode acarretar grande esforço computacional. Melhor exatidão pode ser obtida mais eficientemente pela formulação denominada métodos de Runge-Kutta. C. D. T. Runge desenvolveu o primeiro método em M. W. Kutta elaborou a formulação geral em Runge-Kutta são métodos de passo simples.

19 Métodos de Runge-Kutta Métodos de Runge-Kutta explícitos: Forma geral de métodos explícitos de s estágios a, b, c: constantes de cada método particular.

20 Métodos de Runge-Kutta Constantes exibidas na notação de Butcher Os métodos de Runge-Kutta podem ser classificados de acordo com a sua ordem.

21 Métodos de Runge-Kutta 1 Métodos de Segunda Ordem: Seja a expansão em série de Taylor, na qual as derivadas em y são escritas em termos de f, a partir de dy/dx = f(x, y) Simplificando a notação f i = f(x i, y i ). Sendo As derivadas não são conhecidas explicitamente. Mas se f é suficientemente derivável, elas podem ser obtidas considerando-se a derivada total de y =f(x,y), com respeito a x, tendo em mente que y é função de x.

22 Métodos de Runge-Kutta Forma geral em termos de k 1 e k 2 Expandindo f(x, y), em série de Taylor, em termos de (x i, y i ) e retendo somente os termos de derivada primeira: Substituindo na equação anterior: Rearranjando:

23 Comparando com Métodos de Runge-Kutta Sistema não linear com 2 equações e 4 incógnitas Então pode-se gerar uma variedade de métodos de segunda ordem:

24 Métodos de Runge-Kutta Um exemplo de Metodo de Runge-Kutta de segunda ordem é o chamado Método de Euler modificado: Constantes do método na notação de Butcher Forma do método de Euler modificado

25 Métodos de Runge-Kutta Um outro método de Runge-Kutta de segunda ordem é o Método de Euler melhorado: Constantes do método na notação de Butcher Forma do método de Euler melhorado

26 Métodos de Runge-Kutta Exemplo: Comparar a solução do PVI para a função a seguir no intervalo [0, 1], com m = 10 subintervalos. Solução exata

27 Métodos de Runge-Kutta

28 Métodos de Runge-Kutta 2 Métodos de Quarta Ordem: Mesmo desenvolvimento para obter métodos de Runge-Kutta de ordem mais elevada. No caso de quarta ordem, obtem-se um sistema não linear com 11 equações e 13 incógnitas. Método clássico de Runge-Kutta. Constantes na notação de Butcher

29 Métodos de Runge-Kutta Exemplo: Calcular a solução do PVI no intervalo [0, 1], com m = 10 subintervalos para a função:

30 Métodos de Runge-Kutta

31 Métodos de Runge-Kutta

32 Métodos de Runge-Kutta Euler Melhorado + h + + h

33 Métodos de Runge-Kutta 3 Método de Runge-Kutta-Fehlberg: Uma forma de verificar se um método de Runge-Kutta produz valores dentro da exatidão desejada. Para isso deve-se recalcular o valor de y i+1 no final de cada intervalo, utilizando o passo h dividido ao meio. O valor deve ser aceito se houver apenas uma pequena diferença entre os dois resultados. Caso contrário, h deve ser dividido ao meio até que a exatidão desejada seja alcançada. Esta estratégia pode requerer um grande esforço computacional. Um processo proposto por E. Fehlberg utiliza dois métodos de ordens diferentes, um de ordem 4 e outro de ordem 5. Compara valores de y i+1 obtidos nos dois casos. Método de Runge-Kutta-Fehlberg é considerado método de ordem 4.

34 Métodos de Runge-Kutta 4 Metodo de Dormand-Prince: J. R. Dormand e P. J. Prince propuseram método similar ao de Runge-Kutta-Fehlberg, porém de ordem 5, cujos coeficientes são apresentados na tabela a seguir. Acrescentada uma linha e i contendo os coeficientes para calcular os erros globais, que são as diferenças entre y i+1 obtido pelo processo de ordem 5 e o de ordem 4.

35 Métodos de Runge-Kutta

36 Algoritmo Dormand-Prince:

37 Métodos de Runge-Kutta Exemplo: Calcular a solução do PVI no intervalo [0, 1], com m = 10 subintervalos para a função:

38 Métodos de Runge-Kutta subintervalos:

39 Métodos de Runge-Kutta subintervalos:

40 Métodos de Adams Uma outra classe de métodos para resolver PVI chamados métodos lineares de passo múltiplo. Um método de passo k pode ser escrito na forma e : constantes específicas de um método particular, sujeitas às condições Quando k = 0, o método é dito explícito e para k 0 ele é dito implícito. Explícitos: métodos de Adams-Bashforth. Implícitos: métodos de Adams-Moulton.

41 Métodos de Adams Os métodos de Adams são obtidos pela integração do PVI A função integrando f(x, y(x)) pode ser aproximada por polinômio interpolador P(x). P(x) passa pelos pontos (x j, f(x j, y j ))

42 1 Método de Passo dois: Métodos de Adams Seja o polinômio de Lagrange de grau 1, que passa pelos pontos de coordenadas (x 0, f 0 ) e (x 1, f 1 ) Valor de f 0 = f(x 0, y 0 ) obtido a partir de y 0 (condição inicial). Valor de y 1 para f 1 = f(x 1, y 1 ) tem que ser calculado utilizando um método de passo simples.

43 Métodos de Adams Fazendo Substituindo as expressões Integrando

44 Métodos de Adams Fazendo mudança de variável de x u e sendo Fórmula explícita de Adams-Bashforth de passo k = 2

45 Métodos de Adams Método explícito obtido pela integração do PI no intervalo [x 1, x 2 ]. P(x) determinado a partir dos pontos em [x 0, x 1 ]. Esta extrapolação não produz bons resultados. Se polinômio for construído usando pontos no intervalo [x 0, x 2 ] consegue-se método mais exato. Polinômio de Lagrange de grau 2 que passa pelos pontos (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ) e (x 2, f 2 )

46 Definindo uma variável auxiliar Métodos de Adams Substituindo na expressão de y i+1 Fazendo mudança de variável de x u

47 Métodos de Adams Fórmula implícita de Adams-Moulton, passo k = 2 O valor de f i+1 = f(x i+1, y i+1 ) é necessário para obter o próprio y i+1. No entanto o valor de y i+1 obtido por Adams-Bashforth pode ser usado em Adams-Moulton para avaliar f i+1 e calcular um valor melhor de y i+1. Assim as fórmulas implícitas necessitam ser utilizadas em conjunto com uma forma explicita fazendo um Método do tipo preditorcorretor.

48 Métodos de Adams Exemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, com m = 10 e m = 100 subintervalos. Utilizar o método preditor-corretor de passo dois. Valores de f 1 calculados por Dormand-Prince.

49 Métodos de Adams

50 2 Método de Passo três: Métodos de Adams Método explícito de Adams-Bashforth de passo 3 Obtido pela integração do polinômio de Lagrange de grau 2, no intervalo [x 2, x 3 ]. Substituindo na expressão de y i+1

51 Métodos de Adams f 0 = (x 0, y 0 ) avaliada a partir da condição inicial y 0, f 1 e f 2 obtidos por método de passo simples. Fórmula explícita de Adams-Bashforth com k = 3 Fórmula explícita obtida por extrapolação. Integração no intervalo [x i, x i+1 ]; Polinômio construído a partir de pontos em [x i-2, x i ]. Utilizando o mesmo raciocínio anterior obtém-se o Método implícito de Adams-Moulton com k = 3

52 Métodos de Adams 3 Adams-Bashforth-Moulton de quarta ordem: Um dos métodos mais populares de passo múltiplo. Preditor, explícito de passo k = 4 Corretor implícito é o de passo k =3 e deve ser aplicado mais de uma vez para melhorar ainda mais o resultado. Os valores de f 1, f 2 e f 3 podem ser calculados por um método de passo simples.

53 Métodos de Adams Exemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, no intervalo [0, 1], com m = 10 subintervalos.

54 Referencias Bibliográficas 1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.