CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 0: revisão de cálculo e álgebra linear

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1 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ 2016 LISTAS DE EXERCÍCIOS Lista 0: revisão de cálculo e álgebra linear 1. Ao longo desta curso usaremos frequentemente as seguintes propriedades de uma função contínua g definida em um intervalo fechado e limitado [a, b]: g admite um máximo e um mínimo em [a, b]; g assume todos os valores reais possíveis entre seu máximo e seu mínimo. O segundo resultado acima é conhecido como teorem do valor intermediário. 2. Esboce o gráfico: (a) de uma função contínua definida em (0, 1), que não tem máximo, nem mínimo neste intervalo; (b) de uma função contínua definida em [0, ], que não tem máximo ou não tem mínimo neste intervalo; (c) de uma função descontínua definida em [0, 1], que não satisfaz o teorema do valor intermediário. 3. Calcule f em função de g, sabendo-se que f e g são diferenciáveis e que f(x + 3) = g(x 2 ) 4. Considere a função f(x) = 3x 4 8x 3 + 6x 2 definida no intervalo [ 1/2, 3/2]. (a) Determine os pontos críticos e os zeros de y = f(x) no intervalo dado. (b) Determine os pontos de máximo, mínimo e inflexão de y = f(x) no intervalo dado. (c) Esboce o gráfico de y = f(x) no intervalo dado. 5. Considere a função f(x) = 1/(1 + 25x 2 ). (a) Calcule os máximos e mínimos de f(x) no intervalo [ 1, 1]. (b) Calcule os máximos e mínimos de f(x) no intervalo [ 1, 1]. 6. Considere a função f(x) = x cos(x). (a) Determine as cinco primeiras derivadas de f(x). (b) Determine a fórmula geral para a n-ésima derivada de f(x). (c) Calcule os máximos e mínimos de f(x) no intervalo [0, 5]. (d) Calcule o máximo de f(x) no intervalo [0, 5]. (e) Esboce o gráfico de f(x) no intervalo [0, 5]. 1

2 2 LISTAS DE EXERCÍCIOS 7. Seja y = f(x) uma solução da equação diferencial dy/dx = x ln(x). (a) Determine as cinco primeiras derivadas de f(x). (b) Determine a fórmula geral para a n-ésima derivada de f(x). 8. Resolva os sistemas abaixo pelo método de eliminação gaussiana. x 2y 7z = 24 x + 4y + 6z = 11 (a) 2x + 3y 2z = 2 (b) 2x + 3y + 4z = 9 3x 5y + 4z = 5 3x + 2y + 2z = 7 x + 7y + 14z = 20 3x + y + 2z = 0 (c) 3x + 9y + 12z = 24 (d) 9x + 3y z = 0 4x + 16y + 26z = 46 3x + 2y 3z = 0 x y 2z w = 0 3x + 3y + 2z + w = 2 (e) 3x + y + 3z + w = 0 (f) 5x + 2y + z 2w = 1 x y z 5w = 0 2x + 5y + 3z w = 1 9. Calcule o determinante da matriz 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 em função de a, b e c. 10. Seja f : [a, b] R uma função contínua, cuja segunda derivada existe e é contínua em (a, b), e que satisfaz f(a) = f(c) = f(b) para algum c (a, b). (a) Relembre o conteúdo do Teorema do Valor Médio. (b) Mostre, usando o Teorema do Valor Médio, que existem pontos ξ 1 (a, c) e ξ 2 (c, b) tais que f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ) = 0; (c) Mostre, usando o Teorema do Valor Médio, que existe um ponto η (ξ 1, ξ 2 ) tal que f (η) = 0.

3 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 1: ponto flutuante e erros 1. Em cada um dos itens abaixo são dados um número x e uma aproximação x de x. Determine, em cada caso, o erro absoluto, o erro relativo e a quantidade de algarismos corretos. (a) x = 123 e x = 1106; 9 (b) x = 1/e e x = ; (c) x = 2 10 e x = 1000; (d) x = 24 e x = Para cada um dos números dados abaixo determine uma aproximação com erro absoluto e uma aproximação com erro relativo (a) π; (b) 5; (c) ln(3); (d) 10/ ln(1.1). 3. Em cada item abaixo é dada uma aproximação x de um número x. Determine os possíveis valores de p quando o erro absoluto é e quando o erro relativo é (a) x = ; (b) x = ; (c) x = Determine x e x, sabendo-se que x aproxima x com erro absoluto 1/100 e erro relativo 3/ Determine os valores de x e x sabendo-se que x é uma aproximação de x para a qual o erro relativo e o erro absoluto coincidem. 6. Suponha que um computador C arredonda para duas casas decimais números escritos na notação padrão de ponto flutuante e considere as funções f(x) = 1 sen(x) e g(x) = cos(x)2 1 + sen(x). (a) Mostre que f(x) = g(x) e determine os valores obtidos se C for usado para calcular f(1.5) e g(1.5). (b) Sabendo-se que f(1.5) = g(1.5) = , determine o erro relativo correspondente a cada um dos cálculos executados em (a). (c) Por que f(1.5) é menos preciso que g(1.5)?

4 4 LISTAS DE EXERCÍCIOS 7. Suponha que um computador C arredonda para quatro casas decimais números escritos na notação padrão de ponto flutuante e considere a função xcos(x) sen(x) f(x) =. x sen(x) (a) Calcule lim x 0 f(x) (b) Determine o valor de f(0.1) que seria calculado pelo computador C (c) Considerando f(0.1) = como sendo o valor exato, encontre o erro relativo correspondente à aproximação encontrada em (b). Sugerida por João Vitor de Oliveira.

5 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 2: fórmula de Taylor com resto 1. Considere a função f(x) = sen(πx/2) e seja P n (x) seu polinômio de Taylor de ordem n na origem. Determine n de modo que, para todo 0 x 2π, o polinômio P n (x) seja uma aproximação de f(x) para a qual as 6 primeiras casas decimais são corretas. 2. Seja f : [ a, a] R a função definida por f(x) = e x. (a) Calcule o polinômio de Taylor P 2 (x) de ordem dois de f(x) na origem. (b) Qual o maior valor de a para o qual podemos usar P 2 (x) para aproximar f(x) com erro inferior a em todo o intervalo [ a, a]? 3. Sejam f(x) = x 1/3 e x 0 < x 0 números reais positivos. Denote por E x o erro relativo cometido ao usar x 0 como aproximação de x 0 e por E f o erro relativo cometido ao usar f(x 0) como aproximação de f(x 0 ). (a) Determine uma cota superior para E f E x /3 em função de x 0 e de E x. (b) Qual a relação que E x e x 0 devem satisfazer para que E x /3 seja uma aproximação de E f com erro inferior a 10 6? 4. A função erro é definida por erf(x) = 2 x exp( t 2 )dt. π 0 (a) Calcule o polinômio de Taylor de ordem três de erf(x) na origem. (b) Determine a > 0 de modo que este polinômio aproxime o valor correto de erf(x) com erro inferior a 10 3 para todo 0 x a? 5. É comum em cursos de física realizar a substituição sen(θ) θ para ângulos pequenos. (a) Justifique porque esta substituição é válida usando a fórmula de Taylor de sen(θ) em θ 0 = 0. (b) Determine uma cota superior para o maior valor de θ 0 para o qual esta substituição pode ser feita sem incorrer em um erro (absoluto) superior a 0.1.

6 6 LISTAS DE EXERCÍCIOS Solução da questão 4 Tem um sinal errado na definição da função no exercício 4: deveria ser exp( t 2 ) e não exp(t 2 ) como está na lista. A correção já está feita no enunciado da página anterior e o exercício vai ser resolvido com a formulação correta. (a) Vou achar o polinômio de Taylor em 0 da função erf(x). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, d erf dx (x) = 2 exp( x 2 ); π de modo que Como, d 2 erf dx 2 (x) = 4 x e( x2 ) π e ( d 3 erf 8 x 2 dx 3 (x) = 4 ) e ( x2 ). π erf(0) = 0, erf (0) = 2 π, erf(0) = 0 e erf(0) = 4 π ; donde P 3 (x) = 2 π x 4 π x 3. (b) Começamos observando que d 4 erf dx 4 (x) = ( 16 x ) x exp ( x 2) π Como as funções erf(x) e P 3 (x) são contínuas e satisfazem erf(0) = P 3 (0) = 0 e exp(1) P 3 (1) > 3.84, devemos ter a < 1. Contudo, exp( x 2 ) e 16x são ambas positivas, mas decrescentes, em [0, 1] de modo que Logo, para todo x [0, a]. Portanto, exp( x 2 ) < exp(0) = 1 e 16x erf (iv) (x) 24x π 24a π. M = max{erf (iv) (x) 0 x a} 24a π. Assim, o erro cometido ao aproximar erf(x) usando P 3 (x) em [0, a] é sempre menor que 24ax 4 4! π 24a5 4! π a5 π.

7 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Finalmente, como erf(x) P 3 (x) a5 π, basta que a seja escolhido satisfazendo a 5 π 10 3 para que tenhamos erf(x) P 3 (x) a5 π Efetuando os cálculos, obtemos que é a resposta desejada. a

8 8 LISTAS DE EXERCÍCIOS Lista 3: problemas de valores de contorno 1. Considere a função f(x) cujos valores são dados na tabela abaixo: x f(x) Calcule f (x) e f (x) em x = 0.1 e x = 0.3 usando diferenças centradas. 2. Resolva os seguintes problemas de valores de contorno no intervalo [0, 1] usando o método das diferenças finitas com o passo h = 0.2: (a) y + y = 0 com y(0) = 0 e y(1) = 1; (b) y = 4(y x) com y(0) = 0 e y(1) = 2; (c) y + 2y + y = x com y(0) = 2 e y(1) = 0; (d) y = 3y + 2y + 2x + 3, com y(0) = 2 e y(1) = 1; (e) y = (x + 1)y + 2y + (1 x 2 )e x com y(0) = 1 e y(1) = Considere o problema de valores de contorno no intervalo [0, π/2] dado por y + y = 0, com y(0) = 0 e y(π/2) = 2. (a) Resolva este problema pelo método das diferenças finitas com h = π/8. (b) Ache a solução exata deste problema usando o Maxima, ou outro sistema de computação algébrica, e determine os erros cometidos em cada ponto da malha. 4. Considere o problema de valores de contorno no intervalo [0, π/2] dado por ( π ) y = y + 2y + cos(x), com y(0) = 0.3 e y = (a) Resolva este problema pelo método das diferenças finitas com h = π/4. (b) Ache a solução exata deste problema usando o Maxima, ou outro sistema de computação algébrica, e determine os erros cometidos em cada ponto da malha. 5. A temperatura T (x) de uma barra uniformemente aquecida por uma fonte de calor é dada por T (x) = f(x). Supondo que f(x) = 25 o C e que as temperaturas nas extremidades da barra são T (0) = 40 o C e T (8) = 200 o C, esboce, usando splines lineares, a curva que descreve a distribuição de calor nesta barra quando tomamos h = 2.

9 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 4: interpolação e ajuste de curvas 1. A tabela abaixo contém alguns valores da função f : [ 2, 2] R. Use interpolação para achar uma aproximação para a raiz de f no intervalo [ 1.2, 1.1]. x f(x) A tabela abaixo resulta da medida da densidade do ar ρ em várias altitudes h. Use interpolação para encontrar o polinômio quadrático que modela a variação de densidade com a altitude. h(km) ρ(kg/m 3 ) Use uma calculadora para determinar os valores do cosseno nos pontos 0.8, 0.9, 1.0, 1.1,.2 e 1.3. Use estes dados e interpolação para achar um polinômio de grau 3 que lhe permita calcular cos(1.07). 4. Sejam v 1 = (1, 1, 2) e v 2 = (2, 1, 1) vetores do R 3. Determine: (a) um vetor perpendicular a v 1 e v 2 ; (b) a equação cartesiana do plano π que contém os vetores v 1 e v 2 ; (c) as equações paramétricas da reta que é perpendicular a π e passa pelo ponto (1, 1, 1); (d) o ponto do plano que está mais próximo de (1, 1, 1). 5. Considere os dados da tabela abaixo: x y (a) Determine a reta que melhor se adapta a estes dados. (b) Esboce a reta e os pontos dados. (c) Calcule os erros e i cometidos ao aproximar y i pelo ponto correspondente da reta que você obteve em (a). (d) Calcule a soma dos quadrados dos erros encontrados em (c). 6. Calcule o polinômio quadrático cujo gráfico melhor se ajusta aos pontos (1, 2), (0, 1), (1, 0) e (2, 4).

10 10 LISTAS DE EXERCÍCIOS x y Determine o polinômio linear e o polinômio quadrático cujos gráficos melhor se adaptam aos pontos da tabela abaixo. 8. Mostre que a reta que melhor se ajusta aos pontos (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ) passa pelo ponto (x, y), em que x é a média das abscissas e y a média da ordenadas dos pontos dados. 9. Considere os dados da seguinte tabela x y (a) Ache a curva da forma y = ax b que melhor se ajusta a estes dados. (b) Use a curva obtida em (a) para calcular uma aproximação de y em x = 9. Sugestão: Use ajuste polinomial para encontrar os valores de ln(a) e b que melhor se ajustam a ln(y) = ln(a) + b ln(x). Note que para isso é necessário calcular a tabela que relaciona ln(y) a ln(x). 10. Os dados abaixo foram obtidos monitorando a concentração da bactéria E. coli em uma certa praia, depois de uma tempestade: t c Nesta tabela, t corresponde ao tempo em horas transcorrido a partir do final da tempestade e c à concentração de bactérias em UFC/1000 ml (UFC = unidade de formação de colônias). (a) Calcule a reta e a curva da forma y = at b que melhor aproximam estes dados e mostre que produzem resultados impossíveis. (b) Determine a exponencial y = a exp(bt) que melhor se ajusta a estes dados. (c) Use a curva obtida em (b) para estimar a concentração de bactérias no início da tempestade. (d) Use a curva obtida em (b) para estimar depois de quantas horas a concentração atingirá 200 UFC/1000 ml.

11 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 5: decomposição PLU e solução de sistemas lineares 1. Resolva cada um dos sistemas triangulares abaixo pelo método substituição reversa. x y 2z w = 0 x + 2y w = 0 5y + 3z + w = 2 y + 2z w = 0 (a) (b) z w = 0 2z w = 0 w = 9 3w = 6 2. Calcule a decomposição LU das seguintes matrizes: [ ] A = B = C = D = Calcule a decomposição PLU das seguintes matrizes: A = 4 8 1, B = , C = Considere as matrizes: x A = 1 1 3, b = 1 e X = y z (a) Calcule a decomposição PLU da matriz A. (b) Ache as soluções de AX = b resolvendo os dois sistemas obtidos a partir da decomposição PLU de A. 5. Considere as matrizes A = , b 1 = 0 1 e X = 0 x 1 x 2 x 3 x 4 (a) Calcule a decomposição PLU da matriz A. (b) Escreva os sistemas que você precisaria resolver para obter a solução de AX = b. Não precisa resolvê-los.

12 12 LISTAS DE EXERCÍCIOS 6. Considere as matrizes A = , b 1 = 0 1 e X = (a) Calcule a decomposição PLU da matriz A. (b) Escreva os sistemas que você precisaria resolver para obter a solução de AX = b. Não precisa resolvê-los. 7. Considere as matrizes A = b 2 = e X = (a) Calcule a decomposição PLU da matriz A. (b) Escreva os sistemas que você precisaria resolver para obter a solução de AX = b. Não precisa resolvê-los. x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5

13 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 6: problemas de valor inicial Nesta lista a variável independente é sempre tomada como sendo t e ẏ, ÿ e... y denotam a primeira, segunda e terceira derivadas de y = y(t) em função de t. 1. Calcule a decomposição PLU, com pivoteamento parcial, das seguintes matrizes (a) (b) (c) Use o método de Euler para resolver os seguintes problemas de valores iniciais: (a) ẏ = te 3t 2y, 0 t 1, y(0) = 0, com h = 0.5; (b) ẏ = y + ty 1/2, 2 t 3, y(2) = 2, com h = 0.25; (c) ẏ = cos(2t) + sen(3t), 0 t 1, y(0) = 1, com h = 0.25; (d) ẏ = e t y, 0 t 1, y(0) = 1, com h = Ache a solução exata das equações do exercício 1 usando o Maxima ou outro sistema de computação algébrica. 4. Use as fórmulas do exercício anterior para calcular o erro relativo cometido em cada etapa da execução do algoritmo de Euler no exercício Considere a equação diferencial ẏ = y 1/3 e as funções ( ) 3/2 2t + 3c 2/3 f(t) = 0 e g c (t) =. 3 (a) Mostre que f(t) e g c (t) são ambas soluções da equação. (b) Mostre que f(t) e g 0 (t) são ambas soluções do problema de valor inicial dado pela equação com a condição inicial y(0) = 0. (c) Qual das duas soluções será produzida se você aplicar o método de Euler a esta equação com valor inicial y(0) = 0? (d) Verifique que, se c > 0 então g c (t) é a solução produzida pelo método de Euler para o problema de valor inicial dado pela equação com a condição inicial y(0) = c. Você pode usar h = Considere a equação diferencial ẏ = y sen(y) + t com y(0) = 1. (a) Calcule ẏ(0), ÿ(0) e... y (0). (b) Determine a série de Taylor de y até ordem três. (c) Use (b) para calcular y(0.2). 7. Converta as seguintes equações diferenciais em equações de primeira ordem da forma v = F (t, v), em que v é um vetor e F (t, v) é uma função vetorial de t e v e escreva a recorrência correspondente ao método de Euler para cada uma delas.

14 14 LISTAS DE EXERCÍCIOS (a) ln(ẏ) + y = sen(t); (b) ÿy xẏ 2y 2 = 0; (c)... y 4ÿ 1 y 2 = 0; (d) (ÿ) 2 = 32ẏt y Sejam g 1 = g 1 (t, y), g 2 = g 2 (t, y) e g 3 = g 3 (t, y) três funções contínuas e considere o problema de valor inicial dado pela equação de terceira ordem... y + g 1 ÿ + g 2 ẏ + g 3 = 0 com condições iniciais y(0) = ẏ(0) = ÿ(0) = 0. (a) Descreva o sistema de dimensão três correspondente à equação dada. (b) Explicite a recorrência obtida quando o método de Euler é aplicado a este problema. 9. Considere o problema de valor inicial dado por ẋ = λ 1 x ẏ = λ 2 y em que x(0) = 1 e y(0) = 1. (a) Escreva o sistema na forma Ẋ = F (X), em que X = X(t) = (x(t), y(t)) e F (X) é uma função linear de X. (b) Mostre que a origem é um ponto fixo deste sistema. (c) Ache a solução exata do sistema. (d) Descreva o comportamento da solução quando λ 1 λ 2 > 0. (e) Como se comportam as soluções quando λ 1 λ 2 < 0?

15 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 7: o método do ponto fixo 1. Mostre que cada uma das funções abaixo tem as raízes de f(x) = x 4 + 2x 2 x 3 como ponto fixo: (a) g 1 (x) = (3 + x 2x 2 ) 1/4 ; (b) g 2 (x) = x + 3 x 4 / 2; (c) g 3 (x) = (x + 3)/(x 2 + 2); (d) g 4 (x) = (3x 4 + 2x 2 + 3)/(4x 3 + 4x 1); 2. Para cada uma das funções do exercício anterior: (a) Efetue quatro iterações do método do ponto fixo a partir de x 0 = 1. (b) Qual das funções produz o melhor resultado? (c) Qual das funções satisfaz o critério de convergência do Teorema 2 no intervalo [1, 2]? 3. Dê um exemplo, gráfico ou analítico, de uma função f(x) para a qual o método do ponto fixo, com valor inicial x 0 : (a) não acha nenhum zero para alguma escolha x 0 ; (b) acha um zero qualquer que seja x 0 ; (c) alterna entre dois valores para qualquer x 0 ; (d) converge lentamente para um zero, para algum x 0 4. Use o método do ponto fixo para determinar uma raiz do polinômio x 4 3x 2 3 no intervalo [1, 2] com tolerância de Considere a função f(x) = π sen (x/2), definida no intervalo [0, 2π]. As perguntas abaixo referem-se ao método do ponto fixo: (a) usando a fórmula deduzida em sala estime quantas iterações seriam necessárias para encontrar o ponto fixo de f(x) com tolerância menor que 10 2 ; (b) determine uma aproximação do ponto fixo de f(x) com tolerância menor que 10 2 ; (c) como a quantidade de iterações necessárias em (b) se compara com a estimativa em (a)? 6. Para cada uma das equações abaixo: determine um intervalo em que a iteração de ponto fixo converge; estime quantas iterações seriam necessárias para encontrar uma solução com tolerância menor que (a) x = (2 e x + x 2 )/3; (b) x = 2 + (5/x 2 ); (c) x = (e x /3) 1/2 ; (d) x = 5 x ; (e) x = 6 x ; (f) x = (sen (x) + cos(x))/2.

16 16 LISTAS DE EXERCÍCIOS Usando o Scilab, o Maxima ou algum software semelhante, determine quantas iterações são efetivamente necessárias para achar uma raiz com a tolerância pedida no intervalo de convergência que você encontrou. 7. Considere a iteração x k+1 = x k x k. (a) Use o Teorema 2 para mostrar que x k converge para 2 quando x 0 > 2. (b) Use que 0 < (x 0 2) 2 quando x 0 2 para mostrar que se 0 < x 0 < 2, então x 1 > 2. (c) Use (a) e (b) para mostrar que x k converge para 2 para todo x 0 > Considere as funções g 1 (x) = 1 2 tan(x) e g 2(x) = arctan(2x). (a) Mostre que os zeros de tan(x) 2x = 0 são pontos fixos de g 1 e g 2 e vice-versa. (b) Analise a convergência destas iterações no intervalo [1, π/2].

17 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Lista 8: os métodos de Newton-Raphson e da bisseção 1. Use o método de Newton-Raphson para achar zeros com tolerância máxima de 10 4 para as seguintes funções, partindo do valor de x 0 dado em cada caso: (a) f(x) = x 3 2x 2 5 e x 0 = 2; (b) f(x) = x 3 + 3x 2 1 e x 0 = 1; (c) f(x) = x cos(x) e x 0 = π/4; (d) f(x) = x sen(x) e x 0 = π/4; (e) f(x) = e x 3x 2 e x 0 = 1; (f) f(x) = sen(x) e x e x 0 = Descreva um algoritmo, baseado no método de Newton-Raphson, que, tendo como entrada um número real b retorna uma aproximação de sua raiz cúbica com tolerância máxima igual a t. 3. A tabela abaixo contém o resultado da aplicação do método de Newton-Raphson à função f(x) = 2 cos(x) + e x + 2 x 6 no intervalo [1, 2], a partir de diferentes valores iniciais x 0. x x x x (a) Qual das três execuções do método de Newton-Raphson resultou na melhor aproximação para o zero de f(x) em [1, 2]? (b) Sabendo que apenas uma das três execuções retornou um valor abaixo da tolerância 10 m, determine o valor inicial e o valor de m correspondentes. 4. Determine os pontos críticos da função f(x) = x(ln(x) 1) + x 2 /2 usando o método de Newton. 5. Seja x = ξ um zero de uma função f(x) e considere a função g(x) = x 2f(x) f (x). (a) Mostre que, se f (ξ) = 0, então a convergência do método de Newton-Raphson não é quadrática. (b) Mostre, usando a regra de l Hospital, que g (ξ) = 0. (c) Mostre que se f (ξ) = 0, mas todas as outras hipóteses do método de Newton- Raphson são satisfeitas, então a iteração definida por x i+1 = g(x i ) tem convergência quadrática para ξ.

18 18 LISTAS DE EXERCÍCIOS 6. Seja f : [a, b] R uma função contínua. O método da secante é uma variação do método de Newton-Raphson na qual a tangente a y = f(x) em x k é substituída pela secante entre x k e x k 1. (a) Determine a iteração que deve ser usada no método da secante e descreva o algoritmo correspondente. Quais serão as entradas deste algoritmo? (b) Ilustre com um gráfico o método da secante de maneira semelhante ao que fizemos com o método de Newton-Raphson. (c) Aplique o método da secante para determinar uma aproximação α do zero de f(x) = x cos(x) no intervalo (0.5, 1.0) usando como critério de parada que f(α) < Considere a equação x 2 6 = 0. (a) Calcule duas iterações do método de Newton-Raphson para achar a raiz real positiva desta equação, tendo como valor inicial x 0 = 2. (b) Calcule duas iterações do método da secante para achar a raiz real positiva desta equação, tendo como valores iniciais x 0 = 2 e x 1 = 2. (c) Qual dos dois métodos chegou mais perto do valor correto da raiz? 8. Dê um exemplo, gráfico ou analítico, de uma função f(x) para a qual o método de Newton-Raphson, com valor inicial x 0 : (a) não acha nenhum zero para alguma escolha de x 0 ; (b) acha um zero qualquer que seja x 0 ; (c) alterna entre dois valores sem nunca achar um zero para qualquer x 0 ; (d) converge lentamente para um zero, para algum x 0 9. Considere a função f(x) = x. (a) Determine a iteração do método Newton-Raphson correspondente a esta função para um valor x 0. (b) De que forma o método de Newton-Raphson se comporta se tentarmos aplicálo para achar o zero de f(x) começando com um valor positivo de x 0? E com um valor negativo de x 0? 10. Determine, usando o método de bisseção, um intervalo de comprimento igual ou menor a 0.1 no qual há uma raiz positiva de x 3 2x 2 3x 10 = Determine a aproximação do zero de f(x) = x cos(x) obtida ao final da terceira iteração do método de bisseção aplicado ao intervalo [0, 1]. Qual o erro máximo cometido? 12. Determine, para cada uma das funções f(x) abaixo, uma aproximação com tolerância menor que t, do zero de f(x) no intervalo I dado, pelo método de bisseção: (a) f(x) = x 2 x = 0, t = 0.1 e I = [0, 1]; (b) f(x) = e x x 2 + 3x 2 = 0, t = 0.01 e I = [0, 1]; (c) f(x) = 2x cos(2x) (x + 1) 2 = 0, t = 0.1 e I = [ 3, 2]; (d) f(x) = x cos(x) 2x 2 + 3x 1 = 0, t = 0.01 e I = [0.2, 0.3].

19 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ Seja f : [a, b] R uma função contínua. O método de posição falsa é uma variação do método de bisseção. Nele o ponto médio do intervalo [α k, β k ] é substituído pelo ponto de interseção da reta que liga (α k, f(α k )) a (β k, f(β k )). (a) Determine a equação da reta que liga (α k, f(α k )) a (β k, f(β k )). (b) Determine a abscissa do ponto em que a reta acima corta o eixo x. (c) Descreva as etapas do algoritmo do método de posição falsa. (d) Aplique o método de posição falsa para determinar uma aproximação α do zero de f(x) = x cos(x) no intervalo (0.5, 1.0) usando como critério de parada que f(α) < 10 2.

20 20 LISTAS DE EXERCÍCIOS Lista 9: métodos iterativos para solução de sistemas lineares 1. Para cada um dos sistemas abaixo: i. determine R e c tais que a iteração de Gauss-Jacobi seja v (n+1) = Rv (n) + c; ii. calcule os autovalores e o raio espectral da matriz R; iii. use (ii) para decidir se o sistema converge para o método de Gauss-Jacobi; iv. caso o método de Gauss-Jacobi seja convergente, calcule as duas primeiras iterações neste método, tomando como ponto de partida v (0) = 0. (a) 2x + y + z = 1 2x + 4y + 2z = 4 2x + 2y + 4z = 5 (b) x + 2y 2z = 7 2x + y = 2 2x + z = 5 2. Para cada um dos sistemas abaixo: i. determine R e c tais que a iteração de Gauss-Seidel seja v (n+1) = Rv (n) + c; ii. calcule os autovalores e o raio espectral da matriz R; iii. use (ii) para decidir se o sistema converge para o método de Gauss-Seidel; iv. caso o método de Gauss-Seidel seja convergente, calcule as duas primeiras iterações neste método, tomando como ponto de partida v (0) = 0. (a) 2x + y + z = 1 2x + 4y + 2z = 3 2x + 2y + 4z = 9 (b) x + 2y + 2z = 7 (1/2)x + y + z = 2 x + 5y + z = 5 3. Quais dos sistemas abaixo têm diagonal dominante? Quais dos que não têm diagonal dominante passam a tê-la quando duas equações são trocadas de lugar? (a) (c) 11x + 4y + 6z = 11 4x + 3y + 4z = 9 3x + 2y + 2z = 7 6x 4y + 3z = 20 4x + 6y = 4 3x + 4z = 6 (b) (d) 4x 2y z = 21 x y + 5z = 5 2x + 3y z = 2 x + 2y 4z = 1 x + 3y z = 0 4x + y + 2z = 1 4. Para cada um dos sistemas abaixo: i. determine R e c tais que a iteração de Gauss-Seidel seja v (n+1) = Rv (n) + c; ii. mostre que v < Rv + c, qualquer que seja o vetor v; iii. mostre que o método de Gauss-Seidel diverge para todos estes sistemas.

21 (a) (c) CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ { { x 1 2x 2 = 1 x 1 + 4x 2 = 1 (b) 2x 1 + x 2 = 3 3x 1 2x 2 = 2 2x 1 3x 2 = 7 x 1 + 3x 2 x 3 = 5 x 1 + 3x 2 10x 3 = 9 (d) 3x 1 x 2 = 5 3x 1 + x 3 = 13 x 2 + 2x 3 = 1 5. Para cada um dos sistemas do exercício anterior. (a) Mostre que é possível trocar as equações de posição de modo que o método de Gauss-Seidel seja convergente quando aplicado ao sistema, qualquer que seja o vetor tomado como partida. (b) Calcule duas iterações do método de Gauss-Seidel aplicado ao sistema tendo o vetor nulo como ponto de partida. 6. Mostre que, apesar dos sistemas abaixo não terem diagonal dominante, o método de Gauss-Seidel converge quando aplicado a cada um deles. { 5 4x 1 + 5x 2 = 1 3 x 1 + 2x x 3 = 1, (a) (b) 2x x 1 + 2x 2 = 3 x 2 + 2x 3 = x 1 + 2x x 3 = 0

22 22 LISTAS DE EXERCÍCIOS Lista 10: interpolação e integração 1. A tabela abaixo contém alguns valores da função f : [ 2, 2] R. Use interpolação de Lagrange para achar uma aproximação para a raiz de f no intervalo [ 1.2, 1.1]. x f(x) A tabela abaixo resulta da medida da densidade do ar ρ em várias altitudes h. Use interpolação de Lagrange para encontrar o polinômio quadrático que modela a variação de densidade com a altitude. h(km) ρ(kg/m 3 ) Use uma calculadora para determinar os valores do cosseno nos pontos 0.8, 0.9, 1.0, 1.1,.2 e 1.3. Use estes dados e interpolação de Newton para achar um polinômio de grau 3 que lhe permita calcular cos(1.07). 4. Use o método de Newton para encontrar o grau e o coeficiente do termo de maior grau do polinômio que interpola os pontos (1, 3), (2, 1), (4, 51), (5, 109), (6, 197), (9, 701) Use a regra do trapézio e a regra de Simpson para calcular cada uma das integrais abaixo, dividindo o intervalo de integração na quantidade n de subintervalos indicada. (a) 2 1 x ln(x)dx com n = 4; (b) 2 2 x3 e x dx com n = 4; (c) dx com n = 6; x 2 +4 (d) π 0 x2 cos(x)dx com n = 6; (e) 2 0 e2x sen(3x)dx com n = 8; (f) x dx com n = 8; 2 4 (g) 3π/8 0 tan(x)dx com n = 8;

23 7. Considere a integral CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ f(x)dx. Calculando-a pela regra do trapézio com n = 1, obtemos 4 e, pela regra de Simpson com n = 2, obtemos 2. Quanto vale f(1)? 8. A velocidade de um carro de corrida é medida ao longo de uma volta inteira usando um radar. Os valores obtidos para a velocidade v, em metros por segundo, estão listados na tabela abaixo para cada tempo t medido em segundos a partir do início da volta na qual foram feitas as medições. Determine o comprimento da pista. t v Determine os valores de n e h necessários para calcular o valor da integral com erro inferior a 10 4 : (a) pela regra do trapézio; (b) pela regra de Simpson. 10. Considere a função f(x) = 2 0 e 2x sen(3x)dx { x 2 se 0 x 1 (x + 2) 3 se 1 < x 2. Qual o número mínimo de subintervalos em que é necessário dividir [0, 2] de modo a obter a melhor aproximação possível para esta integral 11. Seja f : [a, b] R uma função cuja segunda derivada é contínua. Mostre que se f (x) > 0 para todo x [a, b], então o valor da integral de f(x) entre a e b calculado pela regra do trapézio com n = 1 é maior que o valor exato da integral. Sugestão: use a fórmula do erro para a regra do trapézio. 12. Considere a função contínua f : [a, b] R e sejam T (n) e S(n) as aproximações de b a f(x)dx obtidas aplicando-se, respectivamente, a regra do trapézio e a regra de Simpson quando [a, b] é dividido em n subintervalos. Determine S(2m) em termos de T (2m) e de T (m). Resposta: S(2m) = (4/3)T (2m) (1/3)T (m).

24 24 LISTAS DE EXERCÍCIOS Lista 10: problemas de valor inicial 1. Use o método de Runge-Kutta de segunda ordem para resolver os seguintes problemas de valores iniciais: (a) ẏ = te 3t 2y, 0 t 1, y(0) = 0, com h = 0.5; (b) ẏ = y + ty 1/2, 2 t 3, y(2) = 2, com h = 0.25; (c) ẏ = cos(2t) + sen(3t), 0 t 1, y(0) = 1, com h = 0.25; (d) ẏ = e t y, 0 t 1, y(0) = 1, com h = Use as fórmulas das soluções exatas para estas equações encontradas no exercício 2 da lista 6 para calcular o erro cometido em cada etapa da execução do algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem no exercício Compare os resultados obtidos no exercício 1 com os que obteve para o método de Euler aplicado às mesmas equações no exercício 1 da lista Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem implícito: (a) ẏ = 1 + y/t, 1 t 2, y(1) = 2, com h = 0.25; (b) ẏ = t 2 (sen(2t) 2ty), 1 t 2, y(1) = 2, com h = 0.25; (c) ẏ = 5y + 5t 2 + 2t, 0 t 1, y(0) = 1, com h = 0.1; 5. Considere o problema de valor inicial ẏ = 20y e y(0) = 1. Deduza uma fórmula fechada (isto é, não recursiva) para a solução deste problema pelo método de Runge-Kutta de segunda ordem. 6. Considere a equação diferencial ẏ = ysen(y) + t com y(0) = 1. (a) Calcule ẏ(0), ÿ(0) e... y (0). (b) Determine a série de Taylor de y até ordem três. (c) Use (b) para calcular y(0.2). 7. Considere a aplicação do método de Euler ao problema de valor inicial ẏ = f(y) e y(t 0 ) = y 0 com o intervalo t 0 < t < t n sendo dividido em n partes iguais. (a) Escreva a expressão para a fórmula de Taylor de ordem um (com erro) de y(x) na vizinhança de y(x k ). (b) Use a fórmula obtida em (a) e o fato de x k+1 = x k +h, para expressar o erro de truncamento T k do método de Euler em função da segunda derivada de y(x). (c) Use a desigualdade (10) (das notas de aula sobre o erro no problema de valor inicial) para mostrar que se f (y(t)) < C 1 e y (t) < C 2, quando t 0 < t < t n, então e n < exp(c 1 (t n t 0 )) C 2 2C Considere o problema de valor inicial ẏ = y e y(0) = 1, cuja solução é dada por y(t) = e t. Os itens abaixo referem-se à aplicação do método de Euler a este problema com 0 t 1 e n = 10.

25 CÁLCULO NUMÉRICO UFRJ (a) Defina a função Φ(t, y, h) para este problema. (b) Ache uma cota superior para f (y(t)). (c) Calcule a cota superior para e 10, obtida no item (c) do exercício anterior, com 5 casas decimais. (d) Use a equação (9) das notas de aula sistemas dinâmicos para calcular y 10 usando o método de Euler. (e) Use (d) para calcular o valor de e n com 5 casas decimais exatas. (f) Qual a razão entre a estimativa para o erro obtida no item (c) e o valor do erro calculado em (e).